En este artículo se presenta una simplificación metodológica para el análisis cinemático de mecanismos formados a partir de grupos de Assur de segunda clase, por el método de los grafos. Se presenta un planteamiento general del método y la solución de un mecanismo especific

C., EDISON  HENAO

CALLE T., GABRIEL

DIAZ A., ALEXANDER

Spanish

Universidad Tecnológica de Pereira: Open Journal Systems

Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006 UTP. ISSN 0122-1701                                                                                                                      115                                                                                                                   Fecha de Recepción: 31 Enero de 2006 Fecha de Aceptación: 21 Junio de 2006 ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS PLANOS POR EL MÉTODO DE LOS GRAFOS  RESUMEN En este artículo se presenta una simplificación metodológica para el análisis  cinemático de mecanismos formados a partir de grupos de Assur de segunda clase, por el método de los grafos. Se presenta un planteamiento general del método y la solución de un mecanismo especifico.  PALABRAS CLAVES : Grafo, Contorno, Análisis cinemático,  Grupos de Assur.  ABSTRACT This paper present a methodological simplification of cinematic analyses  of mechanics formed for second type “assur” groups, using the graphs method. It presents a general planning of the method and a specific solution for a specific mechanism.   KEYWORDS: Graphs, Contour , Cinematic analyses,  Assur Groups.  GABRIEL CALLE T. Ingeniero Mecánico, Ph.D. Profesor Asociado Universidad Tecnológica de Pereira gcalle@utp.edu.co  ALEXANDER DIAZ A. Ingeniero Mecánico, Esp. Profesor Asistente Universidad Tecnológica de Pereira alexdiaza@utp.edu.co  EDISON HENAO C. Ingeniero Mecánico, M. Sc. Profesor Auxiliar. Universidad Tecnológica de Pereira edisonhenao@utp.edu.co   1. INTRODUCCIÓN  Existen varios procedimientos gráficos y analíticos para el análisis cinemático de mecanismos planos descritos ampliamente, en los diferentes textos de teoría de mecanismos y maquinas. Basados en la clasificación estructural  de los grupos de Assur se pueden plantear soluciones generales para cierto grupo de mecanismos de estructura similar. Teniendo en cuenta que en la representación de mecanismos por medio de grafos, se puede agrupar una  familia de mecanismos formados a partir de la síntesis estructural basada en los grupos de Assur, se puede llegar al  planteamiento rápido de ecuaciones cinemáticas a partir de un grafo representativo de una familia de mecanismos específica.  En este trabajo se describe el procedimiento para el análisis cinemático de los mecanismos formados por grupos de Assur de segunda clase, con el fin de dar una herramienta que permita sistematizar el análisis de este tipo de mecanismos.  2. CONTORNOS  ESTRUCTURALES   Un contorno estructural se forma al seguir, por medio de una línea ininterrumpida los eslabones y pares cinemáticos que conforman un mecanismo, regresando obligatoriamente al punto de partida.  Se considera un contorno como independiente si se diferencia de los otros por lo menos en un eslabón o en un par cinemático. Se considera como número de contornos independientes de un mecanismo el número mínimo de estos en los cuales ya entran todos los pares cinemáticos y eslabones que lo conforman.   3. GRAFOS  Debido a que los mecanismos (cadenas cinemáticas) son un conjunto de eslabones unidos por medio de pares, este conjunto de pares y eslabones puede ser representado en una forma más abstracta denominada grafo. En una representación en grafo los vértices representan los eslabones y las aristas los pares cinemáticos. Las aristas pueden ser etiquetadas o coloreadas. Comúnmente el número de movilidades de un par (arista) se representa por medio de líneas paralelas, tantas como grados de movilidad tenga el par. Por medio de líneas gruesas se muestran las aristas raíz que corresponden a los pares cinemáticos que constituyen las entradas del mecanismo.  Isomorfismo de grafos  Dos grafos G1 y G2 se dice que son isomórficos si existe una correspondencia uno a uno entre sus vértices y ejes que preserva la incidencia. Por lo tanto poseen: el mismo número de vértices, el mismo número de ejes y el mismo grado para los vértices.  Ecuación de  Euler  La ecuación de Euler  permite obtener el número de contornos independientes de un mecanismo. L = e – v + 1   (1) Donde: L es el número de contornos independientes  e es el número de aristas (Pares cinemáticos) v es el número de vértices (Numero de eslabones)   Nota: Se supone aquí que las cadenas cinemáticas abiertas conforman un contorno independiente.                                                                                                                                                  Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006. UTP     116 4. ECUACIONES DE CONTORNO  Posición  Se da por hecho que el análisis de posiciones es conocido es decir se conocen las posiciones angulares de los eslabones, y las coordenadas absolutas  de los pares.  Ecuaciones de contorno para las velocidades  En la Figura 1 se muestra una cadena cinemática cerrada monocontorno con una cantidad n de eslabones. La junta Ai ;  i = 1, 2, ... n es la conexión entre los eslabones (i) y (i-1). El último eslabón n, está conectado al primer eslabón 0 de la cadena. En una cadena cinemática cerrada se puede hacer un recorrido desde el eslabón 0 hasta el eslabón n.   Figura 1. Cadena cinemática monocontorno   En la junta Ai hay dos puntos instantáneamente coincidentes: el punto Ai,i  perteneciente al eslabón (i), es decir  Ai,i ∈ (i), y el punto Ai,i -1 perteneciente al eslabón (i-1), es decir  Ai,i -1 ∈ (i-1). Se establece la siguiente relación entre la velocidad iAiv , del punto Ai,i  y la velocidad 1, −iAiv del punto Ai,i -1  rAiiAiiiAiiAi vvv 1,1,, −− +=                 (2) donde rAiiAiiv 1, − es la velocidad relativa de Ai,i del eslabón (i), con respecto a Ai,i -1 perteneciente al eslabón (i-1). Usando la relación de velocidad entre dos partículas pertenecientes al mismo cuerpo (i) podemos escribir   1,,1 ++ ×+= iiiiiiAiiAi AAvv ω lo que es igual 1,,1 ++ ×+= iiiiAiiAi AAvv ω        (3)  Figura 2. Cuerpo i  Sustituyendo (2) en (3) obtenemos: rAiiAiiiiiiAiiAi vAAvv 1,11,,1 −+−+ +×+= ω         (4)  Aplicando la ecuación (4) a cada uno de los n eslabones de la cadena cinemática cerrada obtenemos las siguientes expresiones:  i=2    rAAAA vAAvv 21,223221,22,3 +×+= ω   i=3 rAAAA vAAvv 32,334332,33,4 +×+= ω   i r Aii,Aiiiiii,Aii,Ai AA 1111 −+−+ +×+= νωνν   i=n rAnn,Annnnn,Ann,A AA 1010 −− +×+= νωνν   i=0 rnA,An,A,A AA 000100001 νωνν +×+=   i=1 r A,A,A,A AA 10112110112 νωνν +×+=  (5)  Sumando las relaciones (5) se obtiene:  [ ][ ] 00001212210111001322211=+++++++×++×++×+×−+rnA,ArAii,AiirA,ArA,Aiii......AA...AA...AAAAννννωωωω    (6)  El vector 1+ii AA puede ser escrito en términos de los vectores de posición de los puntos Ai+1 y Ai :  11 ++ =+ iiii OAAAOA , es decir:  iiii OAOAAA −= ++ 11                                            (7)  Fig. 3  Teniendo en cuenta (7) la ecuación (6) quedará  ( ) ( )( ) ( )00001212210110101232121=++++++−×++−×++−×+−×−+rnA,ArAii,AiirA,ArA,Aiii......OAOA...OAOA...OAOAOAOAννννωωωω  0000121221011001022321121=++++++×−×++×−×+×−×−rnA,ArAii,AiirA,ArA,A......OAOA...OAOAOAOAννννωωωωωω Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006. U.T.P    117 ( ) ( )( )000012122101100221110=+++++++×−++×−+×−−rnA,ArAii,AiirA,ArA,An......OA...OAOAννννωωωωωω  Reorganizamos teniendo en cuenta las reglas del producto vectorial  ( ) ( ) ( )000012122101100122011 r=+++++++−×++−×+−×−rnA,ArAii,AiirA,ArA,An......OA...OAOAννννωωωωωω  (8)         Podemos escribir las siguientes relaciones entre la velocidad angular absoluta iω del cuerpo i y la velocidad angular relativa 1−i,iω del cuerpo i con respecto al cuerpo (i-1)  0101 ,ωωω +=  1212 ,ωωω +=  ............................ 11 −− += i,iii ωωω  ............................ n,n 00 ωωω +=  (9)  Teniendo en cuenta las ecuaciones (9), la ecuación (8) puede ser rescrita:  00002122101100122011=++++×++×+×rnA,ArA,ArA,An,,...OA...OAOAνννωωω               (10)  y generalizando 011 =+× ∑∑ −−irAii,Aiiii,iiOA νω                         (11)  Sumando las ecuaciones en (9)  001201 =+++ n,, ... ωωω   y generalizando  01 =∑ −ii,iω                                                             (12)  Las ecuaciones (11) y (12) representan las ecuaciones de velocidad para una cadena cinemática simple cerrada.  Aceleraciones  Se establece la siguiente relación para el movimiento  relativo entre dos cuerpos. Sea iAia , la aceleración del punto Ai,i perteneciente al eslabón i 1−i,Aia la aceleración del punto Ai,i -1 perteneciente al eslabón i-1.   ciAriAiiAiiAi aaaa 1,1,1,, −−− ++=              (13)  donde 1,, −iAiiAi aya son la aceleracion lineal de los puntos Ai,i y Ai,i -1 , riAia 1, −  es la aceleración relativa del punto Ai, perteneciente al eslabón i, Respecto al punto Ai-1 perteneciente al eslabón i-1 ,y la aceleración de coriolis, riAiiciAi va 1,11, 2 −−− ×= ω . Efectuando operaciones similares al análisis de velocidades se obtienen las ecuaciones generales.  ∑ −ii,i 1α            (14)  012111=−++×+∑∑∑ −−−iiiAAiii,icii,irii,iAraarωα         (15)  5. REPRESENTACIÓN POR MEDIO DE  GRAFOS DE LOS GRUPOS DE ASSUR DE SEGUNDA CLASE  Un grupo de Assur de segunda clase es una cadena cinemática de grado de libertad cero conformada por 2 eslabones y 3 pares cinemáticos, las cuales son de 5 tipos, GGG, GGD, GDG, DGD, DDG, siendo el par intermedio el par que une los dos eslabones. Suponiendo que con estas cadenas cinemáticas se conforman mecanismos de un grado de libertad, las posibles entradas de movimiento son un eslabón unido al bastidor por medio de un par de rotación G, o un par de deslizamiento D. El bastidor se enumerara con el numero 0 y el eslabón de entrada con el numero 1 y el par que los une se denotara con A, los eslabones del grupo de segunda clase se enumeraran con los numeros 2 y 3  y los pares se denotaran por B, C ,D, de acuerdo al orden como hallan sido unidos al eslabón  de entrada.  Posibles combinaciones de mecanismo de primera clase y un grupo de assur de segunda clase.  ESLABON DE ENTRADA  GGG  GGD  GDG  DGD  DDG           Tabla. 1. Posibles combinaciones de grupo de Assur de II clase                                                                                                                                                 Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006. UTP     118 Como se observa los posibles mecanismos para estas combinaciones son 14 los cuales se pueden representar con el mismo grafo, solo queda por definir si los pares A,B,C,D, son de giro o deslizamiento respectivamente.    Figura 4. Representación por grafos  Ecuaciones de velocidad  003322110 =+++ ωωωω     (16)  000003,02,31,20,103322110=++++×+×+×+×ννννωωωωrDrCrBrADCBA  (17)  Ecuaciones de aceleración  003322110 =+++ αααα    (18)  000002032202103,02,31,20,13,02,31,20,103322110=⋅+⋅+⋅+++++++++×+×+×+×CDBCABDCBAaaaaaaaacDcCcBcArDrCrBrAωωωαααα (19)   Donde    01, =−iiω , si el par cinemático que une los eslabones i  y 1−i  es de deslizamiento.  01,=−rA iiν , si el par cinemático que une los eslabones i  y 1−i  es de giro.  01, =−iiα , si el par cinemático que une los eslabones i  y 1−i  es de deslizamiento.  0,01,1,==−−cArA iiiiaa , si el par cinemático que une los eslabones i  y 1−i  es de giro.   6. EJEMPLO DE APLICACIÓN   Figura 5. Mecanismo de segunda clase GGD  Analicemos el mecanismo de la figura 5 formado por un eslabón de entrada de giro y un grupo de assur  de segunda clase del tipo GGD, el cual por medio del par de deslizamiento se une al eslabón de entrada. Se conocen los siguientes datos: AD = 0,100 m , CD =0,300 m. El Angulo del eslabón de entrada 1 con el eje horizontal es o451 =φ ,  se asume el origen del sistema de coordenadas coincidente con A.  Del análisis de posición se tiene: ADxD = , 0=Dy , mxx CB 256,0== , myy CB 256,0==  srad /472,10101 == ωω    Figura 6. Grafo extendido  Para el análisis de velocidad se escriben las siguientes ecuaciones:  0033210 =++ ωωω  0001,20332=+×+× νωω rBDC   Efectuando la descomposición vectorial se tiene:  0033210 =++ kkk ωωω   ( ) ( )( ) ( ) 012120332=++×+×+jSeniCoskixkjyixr,Br,BDCCφφωωνν  Efectuando el producto y agrupando los términos de cada componente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:  0033210 =++ ωωω  Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006. U.T.P    119 01,20332=+⋅+⋅ φωω ν Cosyy rBDC  01,20332=+⋅−⋅− φωω ν Senxx rBDC   Reemplazando los términos conocidos  ( 10ω , φ , Cx , Cy , Dx , Dy ) y efectuando las operaciones necesarias se obtienen los valores de:  srad /539,232 =ω ,  srad /011,1303 −=ω , smrB/920,01,2−=ν   La velocidad absoluta del eslabón 3 es: 30ω  = srad /011,1303 =− ω .   La velocidad de C se determina de la siguiente manera:  ( ) ( )[ ]jyyixxk DCDCDC −+−×+= 30ωνν   donde 0=Dν , por lo tanto:  ( ) smjiC /032,2333,3 +−=ν   La velocidad del punto B que pertenece al eslabón 1 es:  ( )jyixk BBAB +×+= 10ωνν   ( ) smjiB /651,0651,0 −−=ν   Para el análisis de aceleración se tienen las siguientes ecuaciones:  00332 =+αα  0002032101,21,20332=⋅+⋅+++×+×CDABDC aa cBrBωωαα  Efectuando la descomposición vectorial se tiene:  00332 =+ kk αα   ( )( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] 022302101,21,2101,21,20332=−+−⋅++⋅++×⋅+++×+×+jyyixxjyixjSeniCosjSeniCoskixkjyixDCDCBBrBrBrBrBDCCaaωωφφωφφαανν   Efectuando el producto y agrupando los términos de cada componente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:  00332 =+αα  ( ) 022302101,2101,20332=−⋅−⋅−⋅⋅−+⋅+⋅DCBrBrBDCxxxSenCosyy aωωφωφαα ν ( ) 022302101,2101,20332=−⋅−⋅−⋅⋅−+⋅+⋅DCBrBrBDCyyyCosSenxx aωωφωφαα ν   Reemplazando los términos conocidos ( 10ω , 30ω , ν rB 1,2 , φ , Cx , Cy , Dx , Dy , ) y efectuando las operaciones necesarias se obtienen los valores de:  232 /032,25 srad−=α , 203 /032,25 srad=α  y 2/865,721smarB −=   La aceleración absoluta del eslabon 3 es:  20330 /032,25 srad−=−= αα   La aceleración  de C se determina de la siguiente manera:  ( ) ( )[ ]jyyixxkaa DCDCDC −+−×+= 30α   donde 0=Da , por lo tanto:  ( ) smjiaC /277,47026,20 −−=   7. CONCLUSIONES   En este artículo se ha propuesto un método para el análisis cinemático de mecanismos planos el cual combina la clasificación estructural de los grupos de assur y la representación por medio de grafos. Este método presenta una viabilidad de análisis que permite el planteamiento general y facilita la sistematización de los  grupos de assur  y plantea un método general de solución que puede ser de gran apoyo en el proceso de enseñanza aprendizaje.  8. BIBLIOGRAFÍA  [1] CALLE G., DÍAZ A., QUINTERO. Curso de Teoría de Mecanismos y Máquinas. Notas de clase. UTP. 2004. http://www.geocities.com/mecanautomat. [2] ARTOBOLEVSKY I.I. Teoría de Mecanismos y Máquinas. Moscú. Nauka, 1988 -639 pag. [3] MARGHITU D.B. Analytical Elements of Mechanisms Auburn University, Alabama, 2001 - 286 [4] SMELYAGUIN A.I. Estructura de Mecanismos y Máquinas. Novosibirsk. NGTU, 2001 – 286 pag. [5] TSAI L.W. 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ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS PLANOS POR EL MÉTODO DE LOS GRAFOS

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