En este artículo se estudiará la solución de la ecuación del problema de Cauchy para la ecuación de onda de dimensión espacial mayor que uno

Gonzalez Granada, José Rodrigo

Posso Agudelo, Abel Enrique

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Universidad Tecnológica de Pereira: Open Journal Systems

Scientia et Technica Año XII, No 32, Diciembre de 2006. UTP. ISSN 0122-1701                                                                                                               413  Fecha de Recepción: 31 Agosto de 2006 Fecha de Aceptación: 20 Noviembre de 2006 MÉTODO DEL PROMEDIO ESFÉRICO EN  LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE TIPO HIPERBÓLICO  RESUMEN En este artículo se estudiará la solución de la ecuación del problema de Cauchy para la ecuación de onda de dimensión espacial mayor que uno.  PALABRAS CLAVES: Promedio esférico, ecuación de onda, Kirchhoff, Hadamard, Euler-Poisson-Darboux.  ABSTRACT In this paper the application of classical analysis for the solution of a wave equation for more than one space dimension, the spherical means is investigated.  KEYWORDS: Spherical means, The Cauchy problem for the wave equation for more than one space dimension, Kirchhof, Hadamard, Euler-Poisson-Darboux.  JOSÉ RODRIGO GONZALEZ GRANADA Matemático, Ph.D Profesor Auxiliar Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira jorodryy@utp.edu.co  ABEL ENRIQUE POSSO AGUDELO Matemático, Ph.D Profesor Titular Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira possoa@utp.edu.co    1. INTRODUCCIÓN  El estudio de las ecuaciones diferenciales parciales, EDPs,  emerge en el siglo XVIII cuando las ecuaciones diferenciales ordinarias fallan al describir los principios físicos estudiados. Así, la importancia de estas ecuaciones es reconocida desde hace muchos años y el aumento de la complejidad de la tecnología actual requiere que los ingenieros y científicos conozcan el tema.  Las EDPs suelen ser útiles en el diseño y construcción y su estudio es una gran empresa que involucra grandes áreas de la matemática. En un extremo el principal interés está en la existencia y unicidad de las soluciones y el análisis funcional es una herramienta fundamental para este propósito. En el otro extremo se tiene el interés de hallar soluciones analíticas y numéricas a dichas ecuaciones y en esta tarea es fundamental el análisis numérico.  En la mayoría de los casos, el estudio de las EDPs se inicia con el caso unidimensional para después tratar de generalizar a dimensiones superiores, generalización que por lo general es difícil de realizar. En este artículo se estudia el método de los promedios esféricos, el cual permite la generalización a dimensiones superiores del método de D’alambert aplicado al problema de Cauchy de la ecuación de onda.     2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA  Consideremos el problema de Cauchy para la ecuación La ecuación de onda 210j jnx x ttju c u u== − =∑ ,   (1)   ( ,0) ( )u x f x= ,  ( ,0) ( )tu x g x= ,  (2) donde 2( , ) ( )nu x t C +∈ ×R R . El operador “ ” es conocido como el operador de D’alambert. La ecuación (1) para el caso tridimensional puede representar ondas acústicas u ópticas, el caso bidimensional puede representar ondas sobre la superficie del agua y el caso unidimensional ondas de sonido en tubos (pipes) o vibraciones de una cuerda. El problema unidimensional se puede resolver utilizando el método de D’alambert. Para dimensiones mayores que uno, utilicemos el método de los promedios esféricos el cual también es de gran utilidad para analizar las principales propiedades de funciones armónicas y los promedios esféricos de Gauss.  3. METODO DE LOS PROMEDIOS ESFÉRICOS.  El promedio esférico para la función ( , )u x t , que satisface la ecuación (1), esta dado por                                                                                                                                         Scientia et Technica Año XII, No 32, Diciembre de 2006. UTP                                 414 1| |1( , ) ( , )u nn y x rr t u y t dSrµω − − === ∫ , donde nω  es el área de la superficie de la esfera unitaria en nR , dada por la siguiente fórmula 12| | 122nny xndω ω π−− =⎛ ⎞⎛ ⎞= = Γ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ , siendo Γ  la función Gamma dada por 10( ) xe x dxαα∞− −Γ = ∫ , para 1α ≥ . De manera análoga podemos calcular los promedios esféricos de las funciones f  y g  respectivamente 1| |1( ) ( ,0) ( ,0)f u nn y x rr r u y dSrµ µω − − == = ∫    1| |1nn y x rfdSrω − − == ∫ , ( ) 1| |1( ) ( ,0) ( ,0)g u tntn y x rr r u y dSrµ µω − − == = ∫       1| |1nn y x rgdSrω − − == ∫ . Consideremos el vector rξ  de longitud r , que va desde x  hasta y , es decir y x rξ= + . Dado que dω  es el elemento de ángulo sólido generado por la esfera unitaria tenemos que  1ndS r dω−= .  De esta forma,  | | 11( , ) ( , )unr t u x r t dξµ ξ ωω == +∫ .                   (3) Observando que la región de integración es independiente del radio r  podemos hallar la función ( , )u x t  como el límite del promedio esférico. Esto es,  0( , ) lim ( , )uru x t x tµ+→= .  Derivando (3) con respecto a r  obtenemos ( )1| | 11( , ) ( , )jnu x jrjnx t u x r t dξµ ξ ξ ωω === +∑∫        11| |1jny jnjn y x ru dSrξω − =− == ∑∫ , donde jξ es la componente j-ésima del vector ξ .  Utilizando el teorema de Ostrogradski-Gauss y asumiendo además que ξ  es normal exterior se obtien  ( ) 1 211| |1( , )j jnu y y nnrjn y x rx t u dy dy dyrµω − =− ≤= ∑∫ …        11| |1jny jnjn y x ru dSrξω − =− == ∑∫ . Teniendo en cuenta (1) y pasando a coordenadas polares, obtenemos  ( )1 2| |1( , )n u ttrn y x rr x t u dScµω−− == ∫              12 1| |1nttnn y x xr u dSc rω−−− =⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ , ( )1 2 12 2 1 2| |1 ( , )n nun ttn y x xr rudS r tc t r cµω− −−− =⎛ ⎞∂=⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫ .  Así,  ( ) ( )1 2 1( , ) ( , )n nu r u ttrr r t c r r tµ µ− − −= . Luego 21( , ) ( , ) ( , )u rr u r u ttnr t r t c r trµ µ µ−−+ = .  (4).  La ecuación (4), conocida con el nombre de ecuación de Euler-Poisson-Darboux, es difícil de resolver para dimensiones pares. Para resolver un problema en dimensión espacial par se utiliza el método del descenso de Hadamard.  A modo de ejemplo resolvamos el problema de Cauchy en dimensión espacial tres.  4. APLICACIÓN DEL METODO A partir de la función ( )2 3( )g x C∈ R  construyamos la función ( , )g x tµ ,  0t > , 2| |1( , ) ( )4g x ctx t g dSc t ξξµ ξπ − == ∫  | | 1( )4t g x ct dSηηηπ == +∫ .  (6) Para cualquier función ( )2 3( )g x C∈ R  se tiene que 222 ( , ) ( , )g gx t c x ttµ µ∂ = ∆∂, 0t > , 3x∈R ,  (7) Scientia et Technica Año XII, No 32, Diciembre de 2006. UTP  415( ,0) 0g xµ =      (8) ( )( ,0) ( )g tx g xµ =     (9)  La condición inicial (8) se deriva de (6). Además utilizando (6) encontramos que  ( )| | 11( ,0) ( )4g tx g x ct dSηηµ ηπ == +∫  ( )( )| | 1,4t g x ct c dSηηη ηπ =+ ∇ +∫ .  (10)  Así ( )| | 11( ) ( ,0) ( )4g tg x x g x dSηηµπ == = ∫ . Transformemos la ecuación (10) de la forma  ( ) ( )( )| | 1( , ) ,4gg tctx t g x ct dSt ηηµµ η ηπ == + ∇ +∫  ( )( )| |1 ,4gx ctg dSt ct ξξµξ ηπ − == + ∇ =∫  ( )| |14gx ctg dt ct ξµξ ξπ − =+ ∇∫ . Si de nuevo regresamos a las variables x ctξ η= + , y para después hallar ( )g ξ∇  a través de la superficie de la esfera | |x ctξ − = , con ayuda de la fórmula de Ostrogradski-Gauss, obtenemos que: ( ) ( )| |1( , )4g tt x ctx t g dct t ξµ ξ ξπ − <⎛ ⎞∂= ∆⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫ ,(11) ya que ( ) ( ) 21( , ) gg gtx t t t tµµ µ∂= − =∂ ( )2 2 2| |14g gx ctg dt ct tξµ µξ ξπ − <+ ∆ − =∫  ( )2| |14 x ctg dct ξξ ξπ − <∆∫ ; ( ) ( )2| | | |1 14 4x ct x ctg d g dt ct ctξ ξξ ξ ξ ξπ π− < − <⎛ ⎞∂∆ = ∆ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫ ∫( )| |14 x ctg dct t ξξ ξπ − <⎛ ⎞∂∆⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫ .  La derivada en (11) es fácil de realizar en coordenadas esféricas: ( ) ( ) 2| | 0 | | 1ctx ctg d g x r r dS drt t ηξ ηξ ξ η− < =⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∆ = ∆ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫( ) ( )2 2| | 1 | | 1( ) ( )c g x ct ct dS c ct g x ct dSη ηη ηη η= == ∆ + = ∆ +∫ ∫de aquí obtenemos ( ) ( )2| | 1( , )4g ttc tx t g x ct dSηηµ ηπ == ∆ +∫ . De otro lado de (6) tenemos:  ( )| | 1( , )4gtx t g x ct dSηηµ ηπ =∆ = ∆ +∫ . Ahora sea 3 3( ) ( )x Cφ ∈ R , 2 3( ) ( )x Cψ ∈ R . Entonces la solución del problema de Cauchy 2 ( , )ttu c u x t= ∆ , 0t > , 3x∈R , ( ,0) ( )u x xφ= , ( ,0) ( )tu x xψ= , está dada de la forma ( , ) ( , ) ( , )u x t x t x tt φ ψµ µ∂= +∂.  (12)  Esta última ecuación representa la fórmula de Kirchhoff. Sea ahora el problema tridimensional  2 2 2 222 2 2 2u u u uct x y z⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠,   (13) 0 ( , , )t ou x y zφ= = , 10( , , )tu x y ztφ=∂=∂.    (14)  Y asumamos que 3o Cφ ∈  y 21 Cφ ∈ .  Primero observamos que   1( , , , ) ( , , )4ctrSu x y z t dcφ ξ η ς σπ= ∫∫ ,  (15) dónde ctS  es la superficie de la esfera con centro en el punto ( , , )M x y z  y radio r ct= .  Escogemos , ,ξ η ς  de la siguiente manera x ctξ α= + , y ctη β= + , z ctς γ= + ,                                                                                                                                          Scientia et Technica Año XII, No 32, Diciembre de 2006. UTP                                 416 donde α , β  y γ  son los cosenos directores de la esfera ctS , los cuales podemos escribir como cossenα θ ψ= , sen senβ θ ψ= , cosγ θ= .  0 θ π≤ ≤ , 0 2ψ π≤ ≤ . Teniendo en cuenta que   2 2 2 2 21 1rd r d c t d c t sen d dσ σ σ θ θ ψ= = = , de (15) obtenemos 111( , , , ) ( , , )4 Su x y z t x ct y ct z ct dφ α β γ σπ= + + +∫∫De aquí tenemos que  12 2 2 2 2 212 2 2 2 2 24 Su u u t dx y zφ φ φ σπ ξ η ς⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫2 2 22 2 2 214ctrSdc tφ φ φ σπ ξ η ς⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫ . Diferenciando ( , , , )u x y z t  con respecto a t, 111 ( , , )4 Su x ct y ct z ct dtφ α β γ σπ∂= + + +∂ ∫∫  114 Sct dφ φ φα β γ σπ ξ η ς⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫ .  (17) Para hallar 22ut∂∂, escribimos (17) así  14ctrSu u dt t ctφ φ φα β γ σπ ξ η ς⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫ .  Utilizando la fórmula de Ostrogradski-Gauss obtenemos  2 2 22 2 214ctDu u d d dt t ctφ φ φ ξ η ςπ ξ η ς⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫∫ ,  Dónde ctD  es una esfera de radio r ct= con centro en el punto ( , , )M x y z . Si denotamos a I  como  2 2 22 2 2ctDI d d dφ φ φ ξ η ςξ η ς⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫∫  vemos que  4u u It t ctπ∂= +∂.  Diferenciando esta última expresión con respecto a t, 22 2 21 14 4 4u u u I I It t t t ct ct ct tπ π π∂ ∂⎛ ⎞= − + + − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠  4I Ict tπ∂=∂.  No es difícil observar que 2 2 22 2 2ctrSI c dtφ φ φ σξ η ς⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫ .  Si ahora utilizamos el sistema de coordenadas esféricas para I y diferenciamos con respecto a t , obtenemos  2 2 2 222 2 20 0 0ctI sen d d dπ π φ φ φ ρ θ θ ψ ρξ η ς⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ,  diferenciando I  con respecto a t , hallamos  2 2 2 22 22 2 20 0I c c t sen dtπ π φ φ φ θ ψξ η ς⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫          2 2 22 2 2ctrSdφ φ φ σξ η ς⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫ .  Como vemos la función ( , , , )u x y z t  es solución de la ecuación (13) y además, por (16) y (17), satisface las condiciones iniciales  0 0tu = = ,      0( , , )tu x y ztφ=∂=∂.  (18)  Como ( , , , )u x y z t  es solución de (13) que satisface las condiciones iniciales (18), la función  ( , , , ) uw x y z tt∂=∂  también es solución de (13) y satisface las condiciones iniciales 0 ( , , )tw x y zφ= = , 2 2 2 222 2 2 20 0 00t t tw w u u uct t x y z= = =⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠. (19)  Scientia et Technica Año XII, No 32, Diciembre de 2006. UTP  417Si en (18) tomamos la función 1( , , )x y zφ en lugar de la función ( , , )x y zφ  y en (19) hacemos lo mismo  con la función ( , , )o x y zφ  y después sumamos estas soluciones obtenemos la solución de (13), que satisface las condiciones (14)  ( , , )1( , , , )4ctorSu x y z t dc t rφ ξ η ς σπ∂=∂ ∫∫        1( , , )14ctrSdc rφ ξ η ς σπ+ ∫∫ .  (20)   (20) es denominada fórmula de Poisson y es una generalización de la fórmula de D’alembert para el caso tridimensional. Para el caso bidimensional se resuelve el problema de Cauchy en dos dimensiones espaciales  21 2 1 2( , , ) ( , , ) 0ttu x x t c u x x t− ∆ = , 1 2 1 2( , ,0) ( , )u x x f x x= , 1 2 1 2( , ,0) ( , )tu x x f x x= .  Ahora consideramos los datos iniciales como funciones definidas en 3 ×R R , pero independientes de 3x , así:  1 2 3 1 2( , , ) ( , )f x x x f x x= , 1 2 3 1 2( , , ) ( , )g x x x g x x= ,  y calculamos la solución del problema de Cauchy en dimensión espacial tres como lo hicimos anteriormente, pero con los datos dados por las funciones f  y g  respectivamente.  5. CONCLUSIÓN GENERAL  Como hemos visto, el método de los promedios esféricos nos ayuda a la solución y posterior análisis de problemas clásicos de las ecuaciones diferenciales parciales en dimensiones espaciales mayores que uno.  Las funciones armónicas en una sola dimensión espacial son funciones lineales y el valor de la función lineal en el punto medio de un intervalo finito es el promedio de sus valores en sus puntos extremos. Para  generalizar esta propiedad a dimensiones mayores que uno tenemos que mostrar que el valor de una función armónica en el centro η  de una bola de radio r  es el promedio de la función sobre la superficie de la esfera. Es decir,  para una función armónica u , 1( ) (0)( ) ( ) ( )rnn nB x Bn nu x u y dy u x rz dzr ω ω= = +∫ ∫ , donde { }( ) :| |rB z z rη η= − < ⊂ Ω , 2 ( )u C∈ Ω , η∈Ω .   6. BIBLIOGRAFÍA  [1] John Fritz. Partial Differential Equations 4th ed., Springer-Verlag, New York, 1982. [2] Robert C. McOwen Robert. Partial Differential Equations: methods and applications, Prentice Hall, New Jersey 1996.  [3] L. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998.  [4] V.P. Mijaylov. Ecuaciones en derivadas parciales, Nauka, Moscú 1976.   

Método del promedio esférico en la solución de ecuaciones diferenciales parciales de tipo hiperbólico

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