En este artículo damos un enunciado equivalente a la Conjetura de Goldbach y hacemos una demostración por inducción. Para lograr nuestro objetivo enunciamos varios resultados que nos conducirán a deducir el resultado mencionado

GONZÁLEZ P., CAMPO  ELÍAS

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Universidad Tecnológica de Pereira: Open Journal Systems

Scientia et Technica Año XI, No 27, Abril 2005. UTP. ISSN 0122-1701                                                                                                                              213        Fecha de Recepción: 31 Enero de 2005 Fecha de Aceptación: 16 Marzo de 2005 UNA NOTA SOBRE LA CONJETURA DE GOLDBACH  RESUMEN En este artículo damos un enunciado equivalente a la Conjetura de Goldbach y hacemos una demostración por inducción. Para lograr nuestro objetivo enunciamos varios resultados que nos conducirán a deducir el resultado mencionado.  PALABRAS CLAVES: Par, primo, impar.  ABSTRACT In this paper we try to prove the Goldbach’s conjecture. We give an equivalent expression which seems simpler than the first one. To get the objective we need some important results during the process.  KEYWORDS: Even, prime, odd.   CAMPO ELÍAS GONZÁLEZ P. Ms.C en matemáticas Profesor Auxiliar Universidad Tecnológica de Pereira cegp@utp.edu.co   1.   INTRODUCCIÓN  En 1742 Christian Goldbach afirmó que todo número par mayor o igual a 4 se puede expresar como la suma de dos números primos positivos, esta afirmación es conocida como la conjetura de Goldbach y es uno de los problemas importantísimos que no ha sido resuelto por las matemáticas. Nadie ha presentado una demostración formal pero ha sido verificada por cálculo directo. En el año 2000 por medio de una red de computadores se verificó la conjetura hasta un número de 4*1014.  2. CONTENIDO  El primer resultado que necesitamos es el siguiente.  Teorema 1. Todo entero impar es de la forma 14 +n  ó 14 −n .  La demostración de este resultado es simple y se deja al lector. Lo importante es que todo número primo distintito de 2 es impar y por tanto es de esta forma. De otro lado analicemos algunos casos en los que se comprueba la conjetura por cálculo directo.  4 2 2                     16=13+3=11+56 3 3                     24 17 7 19 58 5 3                     80 73 7 37 4310 5 5 7 3        8900 7 8893 13 888712 7 514 7 7 11 3= += + = + = += + = + = += + = + = + = += += + = +  Observemos los números pares de la forma 2k  donde k es par y los números  pares de la forma 2k donde k es impar. Una sencilla observación a los resultados anteriores es que los números primos involucrados en cada caso  no son únicos necesariamente. Además si la conjetura fuera cierta tendríamos lo siguiente:  Si k es par buscamos un impar I de tal manera que  212 ppIkIkkkk +=−++=+=  con 1p  y 2p  números primos positivos. Si k es impar buscamos un par P de tal manera que  212 ppPkPkkkk +=−++=+=  donde 1p  y 2p  números primos positivos. Si las dos afirmaciones anteriores son ciertas tendríamos demostrada la conjetura. Más aún, podemos enunciarlas de la siguiente manera.  Teorema 2. Las siguientes proposiciones son equivalentes 1. Sea 3≥I  un impar dado. Entonces, existe un par P de tal manera que  1pIP =+  e 2pPI =−  donde 1p  y 2p  números primos positivos. 2. Sea 3≥I  un impar dado. Entonces, existen m y n enteros positivos de tal forma que  1)(2 ++= nmI    ó   1−+= n)2(mI   y números primos   141414142121−=−=+=+=mpnpmpnp ,ó   , Demostración  )⇒  Por hipótesis, existe un par P tal que  1pIP =+  e 2pPI =−  de donde concluimos que  221 ppI +=  Scientia et Technica Año XI, No 27, Abril 2005. UTP    214Como I es impar, los números primos dados son de la forma 14,14 21 +=+= mpnp   o de la forma 14,14 21 −=−= mpnp  . Por lo que   1)(21)(2−+=++=nmInmI ó    )⇐ Basta hacer )(2 mnP −=  y el resultado se tiene.  Teorema 3. Las siguientes proposiciones son equivalentes 1. Sea 4≥P  un par dado. Entonces, existe un impar I de tal manera que   21 pIPpIP =−=+  y     donde 2,1 pp  son números primos. 2. Sea 4≥P  un número par dado. Entonces, existen m y n números positivos tales que )(2 nmP +=  y números primos  14,14 21 −=+= mpnp     Demostración )⇒  Notemos que   221 ppP +=   como P es par es claro que los primos son de la forma  14,14 21 −=+= mpnp     Luego, )(2 mnP +=  y el resultado se tiene.  )⇐  Hagamos 1)(2 +−= mnI . Luego,  141)(2)(214)(21)(2−=−−−+=−+=+++−=+mmnmnIPnmnmnPI  Bien, se trata de demostrar una de las proposiciones de cada uno de los teoremas anteriores. Es claro que los resultados dependen del siguiente enunciado.  Teorema 4. Sea 4≥m  un entero. Existen l, q enteros positivos tales que qlm +=   para cada una de las siguientes situaciones: 1. 14,14 ++ ql    son números primos. 2. 14,14 −− ql    son números primos. 3. 14,14 +− ql    son números primos.    Demostración.  El resultado es cierto para  4,5,… supongamos que el resultado se cumple para m. Deben existir l, q tales que   1m l q+ = +  Como ,l m q m≤ ≤  existen enteros ,r s  tales que ,l r m q s m+ = + =  y por la hipótesis de inducción pueden escogerse de tal forma que cumplan las  condiciones del teorema y el resultado se  tiene. El teorema anterior implica los teoremas 2 y 3. Como consecuencia de esto tenemos:  Teorema 5. Goldbach-Elías. Todo entero par mayor o igual a 4 se puede escribir como la suma de dos números primos positivos.  Demostración.  Sabemos que todo par es de la forma k2 ,  Ζ∈k . Consideremos los pares de la forma k2  con k par. Por el teorema 3, existe un impar I tal que   212 ppIkIkkkk +=−++=+=   donde 21, pp  son números primos. De igual forma si k es impar, existe un par P tal que   212 ppPkPkkkk +=−++=+=   donde 21, pp  son números primos y el teorema se tiene.  3.   CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES  Lo importante en este artículo es ver la simplicidad con que algunos temas pueden ser tratados. Es de especial importancia, aclarar que aunque no es una demostración fantástica se muestra lo maravilloso de la Teoría de Números.   4.     BIBLIOGRAFÍA  [1] LEVEQUE, william J. Teoría elemental de los números. Centro regional de ayuda técnica, 1968.  [2]   NIVEN Ivan. Teoría de los números. Limusa Wiley, 1969.    

UNA NOTA SOBRE LA CONJETURA DE GOLDBACH

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