The paper presents a calculation of two-mass vibrating system, which has a resilient element in an energy  storage device. Graphical results of calculations in the form of sampling analogue-frequency characteristics are given in the paper. Представлены расчет двухмассовой вибрационной системы с упругим элементом в устройстве накопления энергии и графические результаты расчетов в виде выборочных аналого-частотных характеристик.

I. V. Lugovoy

И. В. Луговой

Science & Technique (E-Journal) / НАУКА и ТЕХНИКА

М Е Х А Н И К А УДК 621.79 (075.П ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУХМАССОВОИ АКУСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С УПРУГИМ ЭЛЕМЕНТОМ Инж. ЛУГОВОЙ И. в. Белорусский национальный технический университет Упругими называются тела, способные су-щественно деформироваться под действием внешних сил и восстанавливать свои размеры после снятия внешних нагрузок [1]. Упругие тела используются в качестве чувствительных элементов в измерительных системах, для соз-дания силового контакта и натяга между дета-лями, в качестве упругих опор, амортизаторов и пр. Кроме того, такие элементы могут быть использованы для аккумулирования механиче-ской энергии. Существуют различные конфи-гурации упругих элементов. По геометриче-ским признакам они разделяются на стерж-невые, полученные из проволоки или ленты, и упругие в виде оболочек из листового мате-риала. Стержневые пружины могут быть вин-товыми и плоскими. Винтовые бывают цилин-дрическими, коническими и фасонными. В конструкциях машин и механизмов упру-гие элементы могут воспринимать действие вынужденных колебаний в широком диапазоне частот, преимущественно низких. Расчеты уп-ругих тел заключаются в составлении уравне-ния деформаций, определении частот собст-венных колебаний и проверке вероятности сов-падения собственных частот с вынужденными для исключения резонансного явления, или на-оборот, создания резонанса в колебательной системе. Известны методики определения и исследования параметров упругих элементов [2-4], среди которых можно выделить расчеты: на жесткость, напряжений в сечениях, на устой-чивость. Анализ использования ультразвуковых ко-лебательных систем показал, что рассматри-ваемые акустические системы состоят из жест-ких элементов, а это обусловлено необходимо-• • Н а у к а итехника, № 5, 2012 стью создания в них стоячей волны. В то же время использование упругих элементов в по-добных системах изучено в недостаточной мере и ограничивается в отдельных случаях приме-нением в качестве передающего или рабочего инструмента в технологических системах и бу-рильных машинах [5, 6]. Практика же использования упругих тел в ультразвуковых системах ограничена несколь-кими известными изобретениями, к числу ко-торых относятся: ультразвуковой инструмент, выполненный в виде петли из упругого мате-риала; ленты или проволоки [7]; устройство для ультразвукового полирования и упрочняюще-чистовой обработки [8], содержащее спира-левидный пружинящий волновод; устройство в виде излучателя изгибных колебаний в инст-рументе из ленты, свернутой в спираль вдоль продольной оси, для обработки глубоких кана-лов, щелей и отверстий [9]; упругий элемент в виде плоскоовальной пружины для вибрацион-ного преобразователя, используемый для рас-ширения частотного диапазона в измеритель-ной технике [10]. В связи с этим автором статьи поставлена цель - изучить возможность применения упру-гих элементов в акустических технологических системах при обработке материалов. Для этого могут быть использованы упругие кольца, вин-товые и плоские пружины, упругие элементы с плоскоовальной и эллиптической формами (так называемые пружины Бурдона), витые трубчатые пружины с различным поперечным сечением, сильфонные упругие тела. Кроме того, необходимо сделать прогноз колебатель-ных процессов, возникающих в акустических системах с упругими элементами, на основе теоретических расчетов динамических систем. В число исследуемых задач входит также рассмотрение динамики колебательных систем в диапазоне ультразвуковых частот. Распро-странение ультразвуковых колебаний в акусти-ческой системе имеет волновой характер, одна-ко работа, совершаемая инструментом, осуще-ствляется в условиях динамического взаимо-действия с обрабатываемой поверхностью. Ввиду этого ультразвуковую систему «упругое тело - инструмент» (рис. 1а) можно предста-вить в виде динамической системы, состоящей из двух отдельных приведенных сосредоточен-ных масс и «2 (рис. 16) при действии кинема-тических колебаний XosinB^ . Рассмотрим кинема-тическое возбуждение колебательной системы. Для анализа воспользуемся методом переме-щений [11], основная система которого пред-ставлена на рис. 1в, г. Исходным условием для расчета являет-ся жесткий контакт инструмента с опорой (рис. 1в). Смещения масс обозначим соответст-венно Х2 и Хь Представленная схема пред-варительно описывается системой уравнений: k^  I 2 ^ р — ^' ИЛИ ^jXj - + = 0; -^jXj + (^j + к^х^ + т^х^ = О п\х^ -^jXj = 0; WjXj + (^ 1 + ^ 2)^2 ~ - О-(1) Будем считать, что верхняя опора упругого элемента колеблется по закону = x^sinG^. Тогда силы инерции и I2 колеблющихся масс можно определить по формулам: -mjB^XgSinB^; -m^B^XgSinB .^ (2) Введем обозначения для свободных членов системы (1) [11] и примем т-, т-. т, • = у; q = -Таким образом, систему уравнений можно представить в следующем виде: щх^ -к^х^ = 0; < т^х^ + (^j + ^2)^2 -K^i = -^ok^ sin Ш или где 2 — , к^2 — 2^1 — ' 2^2 — к-^ ? ^ ? ^2 соответственно жесткость нижней и верхней пружины; = О - реактивное усилие связи 1 в основной системе метода перемещений; 2^р = = -к2Хо?,тШ. С учетом решения подобных задач [3] коле-бания системы можно описать уравнениями: i j + yXj - 7X2 = 0; X к (3) x2+ax2-|3xj =—^-^sinB^ = ^sinB^. то 1 h к. Jl Xl kn у ' Ф -f \ Ж Q о А ^ Ж Наука итехника, № 5, 2012 Рис. 1. Динамическая модель и схема перемещений Смещения масс носят гармонический харак-тер, поэтому принимаем частные решения (3) в виде: Xj = Aj sin т и В^  sin 0 .^ Тогда система уравнений (3) после упроще-ния примет вид: (4) Решая ее, получаем: qj Решения системы (4) складываются из ре-шения однородной системы и частного реше-ния, соответствующего виду свободных членов. Поскольку колебания масс имеют гармониче-ский характер, это решение можно описать вы-ражениями: Xj {t) = Д sin(cOj^  + Vj) + Л; sin(co2^ + Vj) + sin0^; (5) Xj(0 = л sin(cOj/^  + Vj) + sin(co2'^  + + sin0^, где coi и CO2 - частоты собственных колебаний системы; Vj и V2 - сдвиги фаз, находятся из ре-шения однородной системы (3). Учитывая, что в [4] В^  = Д . у-со, . . . = А^  , из (5) получим уравнения: у , а 52 = У Xj ( t ) = Д s i n ( O j ^ + V j ) + + V ^ j + +^sinG/'; — ri^  " X2(t) = 4 -—^s in ( (B i / ' + Vi)+ (6) ^ ^^ sin (coj^ ' + Vj) + 5з sinQt. Начальными условиями при ^ = О будут на-чальные отклонения масс Yi, /2 и их скорости Vl, V2. У, sinVj + ^ s i n v 2 ; Vj = /5; sin Vj + sin Vj; (7) Y^ =A^-—^sinvj ^-sinvj; у у ^ У"®! ^ y-CO. V2 = i-cos Vj + ^jCOj 1- Bij-у у 3-Подставив в (6) A3 и Вз из решения уравне-ния (4), получим: Xj (t) = Д sin((Bj^ + Vj) + л, sin((B,f + V2) + qj ( a - 0 ^ ) ( y - 0 ^ ) - y P Xj (t) = A, -—^sin (со/ + Vj) + ^ sine/*; (8) 7 ;<sin(co2'^  + V2)-l-^ ( y - e ^ ) ( a - 9 = ) ( y - e = ) - y P sine/*. Таким образом, разрешающая система урав-нений для определения характеристик колеба-тельного процесса ^ ь ^2, Vi, V2 примет вид: У^ = Д sinVj+^2sinv2; . y-CO, . , I Шу I2 = A^ ^SinVj -r^- ^SinV2, (9) У где X, +x , = К; 7 - ю , 7 - 0 ) . у у Для начальных скоростей ^ = О дифферен-цированием уравнений (8) по времени имеем: ДсО; COSVj + ^ 2 ® 2 ^ 0 S V 2 + + 0 -qj ( а - 0 ^ ) ( у - 0 ^ ) - у | 3 (10) Дсо, ^cosv, +A,co,_ ^cosv. + 0 -^ ( а - 0 ^ ) ( а - 0 ^ ) ( у - 0 ^ ) - у | 3 Наука итехника, № 5, 20Т2 В системах уравнений (9, 10) неизвестными являются Л1, Л2, Vi и V2. Несмотря на нелинейный характер системы уравнений (10), ее можно решить точно отно-сительно ^isinvi и ^2sinvi; ^icoicosvi и 2^ra2COSV2. Находим: i^COlCOSVi =i^2i; A2G>2C0S,\>2= F22, (11) где выражения для R,k (i = 1,2; k = 1,2) вследст-вие сложности не приводятся. Из равенств (11) получаем формулы для сдвига фаз: F F t g V i = ^ O i ; (12) /<21 Poo что позволяет определить Л i и ^ 2-При расчете с учетом сил собственно веса масс и «2 (рис. 2) из (1) получим следующие уравнения: AtjXJ -ATJXJ = -m^g; Рис. 2. Динамическая модель для расчета с учетом сил тяжести Отсюда следует, что х, ^Xj и + К Таким образом, перемещения масс можно представить в виде: X, = X, = - Щё Щ+т, ко (13) к. Я-Вследствие линейности рассматриваемых задач решение (13) накладывается на получен-ное решение (10). Выведенные уравнения по-зволяют произвести численный расчет с ис-пользованием компьютерных программ. Как пример рассмотрим частный случай, когда на массу mi воздействуют вынужденные колеба-ния частотой 20 кГц. В качестве упругого эле-мента массой mi было принято кольцо из стали диаметром 20, шириной 10 и толщиной 1 мм. Рабочим инструментом акустической системы (масса «2) являлась игла диаметром 2 и длиной 50 мм. Полученные результаты расчета пред-ставлены в виде осциллограмм на рис. 3. Они характе-ризуют амплитудные свойства масс «i и «2 (рис. За, б), а также изменения силы W в точке прижатия иглы к опоре (рис. Зв) (смещениям Xi и Х2 на осциллограммах соответствуют зна-чения Yi и Y2). Характер кривых смещений масс на осцил-лограммах в данном примере свидетельствует, что рассматриваемый случай представляет со-бой сложное колебание, при котором наблюда-ется сложение двух несинхронных коллинеар-ных гармонических колебаний каждой из масс Wi и »72 с близкими частотами собственных ко-лебаний. В результате сложения этих колеба-ний образуются биения, при которых размах суммарных колебаний колеблется между ми-нимальным и максимальным значениями. По-добный характер несинхронного изменения силы наблюдается на кривой для силы Ж между массой т2 и опорой. 2-10"' 4-10-^  2-10"" W, н 30 20 10 - 2 - 1 0 ^ -4-10-^  -2-10" -4-10" - 1 0 - 2 0 -30 Наука итехника, № 5, 2012 flih J f t I N t, с Рис. 3. Осциллограммы перемещений В Ы В О Д Ы 1. Рассмотрена математическая модель уль-тразвуковой системы с упругим элементом, ра-ботающая в условиях контакта рабочего инст-румента с заготовкой без зазора. 2. Анализ динамической модели позволяет моделировать процессы двухмассовой системы путем варьирования геометрических (размер-ных) и акустических параметров упругих эле-ментов и рабочего инструмента в широком диапазоне частот. 3. Численные расчеты динамической моде-ли позволяют осуществить выбор оптимальных размеров и условий достижения резонанса аку-стической системы и в результате обеспечить максимальную эффективность технологическо-го процесса. Л И Т Е Р А Т У Р А 1. Андреева, Л. А. Упругие элементы приборов / Л. А. Андреева; под ред. В. И. Феодосьева / ГНТИ машиностроительной литературы. - М., 1962. - 500 с. 2. Ильин, М. М. Теория колебаний: учеб. для вузов / М. М. Ильин, К. С. Колесников, Ю. С. Саратов; под общ. ред. К. С. Колесникова. - М.: Изд-во МГТУ имени И. Э. Баумана, 2003.-272 с. масс и силы в точке прижатия иглы 3. Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле / С. И. Тимошенко. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1959.-437 с. 4. Пфейффер, П. Колебания упругих тел: пер. с нем. / И. Ифейффер. - Л.: ОНТИ, Гос. технико-теоретическое изд-во, 1934. - 154 с. 5. Упругие элементы вибромашин: обзор / ЦНИИ и ТЭИ по строительному, дорожному и коммунальному машиностроению. -М., 1971. - 82 с. 6. Симонов, В. В. Волновые процессы в бурильной машине / В. В. Симонов. - М.: МИИХиГИ, 1979. - 113 с. 7. Ультразвуковой инструмент: пат. 38243 СССР, МКИ В 06 в 3/00, В 23р 1/00 / А. А. Горбунов, В. М. Сал-танов [и др.]; опубл. 23.05.73 //БИ. - 1973. - № 2 3 . 8. Устройство для ультразвукового полирования: пат. 854685 СССР, МКИ В 24 в 1/04, В 06 в 1/00 / В. Ф. Зи-мовец, П. М. Герасимчук, С. И. Стручков; опубл. 15.08.81 // Б И - 1 9 8 1 . - № 3 0 . 9. Излучатель изгибных колебаний: пат. 657868 СССР, МКИ В 06 в 1/00 / Ю. С. Андреев, В. И. Бокановский; опубл. 25.04.79//БИ. - 1979. - № 15. 10. Вибрационный преобразователь: пат. 315479 СССР, МКИ В 06 в 1/08 / В. И. Каспирович; опубл. 01.10.71//БИ-1971.-№29. 11. Борисевич, А. А. Строительная механика: учеб. пособие для вузов / А. А. Борисевич, Е. М. Сидорович, В. И. Игнатюк. - Минск: БИТУ, 2009. - 756 с. Поступила 22.12.2011 Наука итехника, № 5, 20TZ 

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУХМАССОВОЙ АКУСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С УПРУГИМ ЭЛЕМЕНТОМ

https://sat.bntu.by/jour/article/download/349/342

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУХМАССОВОЙ АКУСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С УПРУГИМ ЭЛЕМЕНТОМ

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Science & Technique (E-Journal) / НАУКА и ТЕХНИКА