The triangulation of a point cloud of a 3D object is a complex problem, since it
depends on the complexity of the shape of such object, as well as on the density
of points generated by a specific scanner.
In the literature, there are essentially two approaches to the reconstruction of
surfaces from point clouds: interpolation and approximation. In general, interpolation
approaches are associated with simplicial methods; that is, methods
that directly generate a triangle mesh from a point cloud. On the other hand,
approximation approaches generate a global implicit function — that represents
an implicit surface — from local shape functions, then generating a triangulation
of such implicit surface.
The simplicial methods are divided into two families: Delaunay and mesh growing.
Bearing in mind that the first of the methods presented in this dissertation
falls under the category of mesh growing methods, let us focus our attention
for now on these methods. One of the biggest problems with these methods is
that, in general, they are based on the establishment of dihedral angle bounds
between adjacent triangles, as needed to make the decision on which triangle
to add to the expansion mesh front. Typically, other bounds are also used for
the internal angles of each triangle. In the course of this dissertation, we will
see how this problem was solved.
The second algorithm introduced in this dissertation is also a simplicial method
but does not fit into any of the two families mentioned above, which makes
us think that we are in the presence of a new family: triangulation based on
the atlas of charts or triangle stars. This algorithm generates an atlas of the
surface that consists of overlapping stars of triangles, that is, one produces a
total surface coverage, thus solving one of the common problems of this family
of direct triangulation methods, which is the appearance of holes or incomplete
triangulation of the surface.
The third algorithm refers to an implicit method, but, unlike other implicit
methods, it uses an interpolation approach. That is, the local shape functions
interpolate the points of the cloud. It is, perhaps, one of a few implicit methods
that we can find in the literature that interpolates all points of the cloud.
Therefore, one of the biggest problems of the implicit methods is solved, which
has to do with the smoothing of the surface sharp features resulting from the blending of the local functions into the global function.
What is common to the three methods is the interpolation approach, either in
simple or implicit methods, that is, the linearization of the surface subject to
reconstruction. As will be seen, the linearization of the neighborhood of each
point allows us to solve several problems posed to the surface reconstruction
algorithms, namely: point sub‐sampling, non‐uniform sampling, as well as sharp
features.A triangulação de uma nuvem de pontos de um objeto 3D é um problema complexo,
uma vez que depende da complexidade da forma desse objeto, assim
como da densidade dos pontos extraídos desse objeto através de um scanner 3D
particular.
Na literatura, existem essencialmente duas abordagens na reconstrução de superfícies
a partir de nuvens de pontos: interpolação e aproximação. Em geral, as
abordagens de interpolação estão associadas aos métodos simpliciais, ou seja,
a métodos que geram diretamente uma malha de triângulos a partir de uma
nuvem de pontos. Por outro lado, as abordagens de aproximação estão habitualmente
associadas à geração de uma função implícita global —que representa
uma superfície implícita— a partir de funções locais de forma, para em seguida
gerar uma triangulação da dita superfície implícita.
Os métodos simpliciais dividem‐se em duas famílias: triangulação de Delaunay
e triangulação baseada em crescimento progressivo da triangulação (i.e., mesh
growing). Tendo em conta que o primeiro dos métodos apresentados nesta dissertação
se enquadra na categoria de métodos de crescimento progressivo, foquemos
a nossa atenção por ora nestes métodos. Um dos maiores problemas
destes métodos é que, em geral, se baseiam no estabelecimento de limites de
ângulos diédricos (i.e., dihedral angle bounds) entre triângulos adjacentes, para
assim tomar a decisão sobre qual triângulo acrescentar à frente de expansão da
malha. Tipicamente, também se usam limites para os ângulos internos de cada
triângulo. No decorrer desta dissertação veremos como é que este problema foi
resolvido.
O segundo algoritmo introduzido nesta dissertação também é um método simplicial,
mas não se enquadra em nenhuma das duas famílias acima referidas, o que
nos faz pensar que estaremos na presença de uma nova família: triangulação
baseada em atlas de vizinhanças sobrepostas (i.e., atlas of charts) ou estrelas
de triângulos (i.e., triangle star). Este algoritmo gera um atlas da superfície
que é constituído por estrelas sobrepostas de triângulos, ou seja, produz‐se a
cobertura total da superfície, resolvendo assim um dos problemas comuns desta
família de métodos de triangulação direta que é o do surgimento de furos ou de
triangulação incompleta da superfície.
O terceiro algoritmo refere‐se a um método implícito, mas, ao invés de grande parte dos métodos implícitos, utiliza uma abordagem de interpolação. Ou seja,
as funções locais de forma interpolam os pontos da nuvem. É, talvez, um dos
poucos métodos implícitos que podemos encontrar na literatura que interpola
todos os pontos da nuvem. Desta forma resolve‐se um dos maiores problemas dos
métodos implícitos que é o do arredondamento de forma resultante do blending
das funções locais que geram a função global, em particular ao longo dos vincos
da superfície (i.e., sharp features).
O que é comum aos três métodos é a abordagem de interpolação, quer em
métodos simpliciais quer em métodos implícitos, ou seja a linearização da superfície
sujeita a reconstrução. Como se verá, a linearização da vizinhança de
cada ponto permite‐nos resolver vários problemas colocados aos algoritmos de
reconstrução de superfícies, nomeadamente: sub‐amostragem de pontos (point
sub‐sampling), amostragem não uniforme (non‐uniform sampling), bem como
formas vincadas (sharp features)
