Retrospettiva, evoluzioni e applicazioni della sezione aurea. Analisi delle applicazioni della sezione aurea nell'arte, con particolare riferimento al lavoro di Leonardo Da Vinci

Annalisa Perissa Torrini

Lucio Cadeddu

Roberto Concas

Italian

Archivio istituzionale della ricerca - Università di Cagliari

94 95La sezione aureaLa sezione aurea è la soluzione a un problema posto da Eucli-de (300 a.C. circa) nei suoi Elementi, libro VI, proposizione 30:«Tagliare un segmento in rapporto medio ed estremo»Euclide scriveva che: «si dice che una linea retta sia stata ta-gliata in un rapporto estremo e medio quando, come l’intera li-nea è per il segmento più grande, così è tanto maggiore quanto minore». In un linguaggio più moderno, quello delle proporzio-ni, si può esprimere come segue:Il rapporto (o sezione) aureo è definito come il rapporto tra due lunghezze a e b tale che si verifichi(a+b) : a = a : bIndicando con l’incognita φ il rapporto ab si ha a+ba  = ab = φ ossia 1 + ba = φ e quindi: 1 + 1φ  = φ da cui l’equazione polino-miale a coefficienti interi: φ2- φ -1 = 0 che ha come soluzione po-sitiva φ= √–5+12  che è un numero irrazionale (cioè non esprimibile come una frazione, ovvero come rapporto tra due numeri interi) con infinite cifre dopo la virgola φ = 1,618033990…Retrospettiva, evoluzioni e applicazioni della sezione aureaLucio Cadeddu9796ProprietàIl numero φ ha diverse proprietà interessanti. Dall’equazione precedente si ricava che il suo quadrato è uguale a φ aumentato di 1 (φ2 = φ+1). Questa pro-prietà può essere iterata moltiplicando ambo i membri per φ, a passi successivi, per ottenere φ3 = φ2 + φ, φ4 = φ3 + φ2 e così via. Perciò, sostituendo si può scrivere che φ3 = 2φ + 1, φ4 = 2φ+1+ φ2 = 3φ +2 e ancora φ5 = 5φ + 3, φ6 = 8φ + 5, φ7 = 13φ + 8 e così via. In altre parole le potenze di φ si possono mettere in relazione diretta con il prodotto tra φ e i numeri della sequenza di Fibonacci (si veda in seguito).Un’altra proprietà interessante è che l’inverso di φ è uguale a φ -1 (1φ = φ – 1). A questa proprietà si riconduce l’algoritmo citato nei capitoli precedenti.Rettangoli aureiQuando due segmenti in proporzione aurea sono i lati di un rettangolo esso stesso si definisce rettangolo aureo.Al tempo nel quale questo tipo di relazione di pro-porzionalità cominciava a essere usata non erano noti, ovviamente, i calcoli di cui sopra, né i numeri irrazionali come φ. Era dunque necessario un sistema pratico che consentisse, ad esempio, la costruzione di un rettangolo aureo, utilizzando semplicemente riga e compasso, par-tendo da un quadrato. Come da figura, partendo da un quadrato, è sufficiente dividerlo a metà (risulterà quindi diviso in due rettangoli uguali), fissare il compasso nel punto medio e tracciare un arco di circonferenza di rag-gio pari alla diagonale di uno di questi rettangoli.  I rettangoli aurei hanno una straordinaria proprietà: Fig. 4Fig. 3.Fig. 2.Fig. 1.aa b9998La spirale logaritmica differisce da quella archimedea per il fatto che le distanze fra i bracci di una spirale lo-garitmica aumentano secondo una progressione geome-trica, mentre in una spirale archimedea queste distanze sono costanti (cfr. fig. 7). Anche la spirale aurea, come il rettangolo aureo, può essere costruita semplicemente utilizzando riga e compasso. Il centro asintotico di questa spirale è il centro d’interesse citato prima.Triangoli aureiSi possono definire, allo stesso modo dei rettangoli, i cosiddetti triangoli aurei o “sublimi”. Si tratta di triangoli isosceli nei quali il rapporto tra il lato obliquo e la base è pari a φ. Ne consegue che l’angolo al vertice è pari a π5  cioè 36°. Gli angoli alla base saranno, conseguente-se da un rettangolo aureo si elimina un quadrato di lato pari all’altezza (quello azzurro in figura) il rettangolo re-stante (quello giallo in figura) è ancora un rettangolo au-reo. Questo procedimento può essere iterato all’infinito (si veda fig. 3).Ora, tracciamo le diagonali dei due rettangoli più grandi che appaiono nella sequenza, si prova facilmente che esse siano perpendicolari tra loro. Iterando questo procedimento si vede che tutte le infinite diagonali degli infiniti rettangoli aurei contenuti in quello iniziale sono sempre perpendicolari tra loro. Tutte queste diagonali hanno un unico punto d’intersezione. Lo scienziato e scrittore americano Clifford Pickover definì questo pun-to “magico” l’Occhio di Dio1.In realtà, eliminando il quadrato iniziale a destra anzi-ché a sinistra e iterando il procedimento di cui sopra, in modalità diverse, si arriva a identificare quattro centri pos-sibili, che alcuni artisti hanno chiamato centro d’interesse. In fotografia, questi punti sono chiamati anche punti di forza o punti visivi d’interesse, e sono quelli nei quali il fotografo posiziona gli elementi dell’immagine che devono attrarre maggiormente l’interesse di chi guarda (fig. 5).Se ora tracciassimo, in ogni quadrato che sia via si costruisce, un arco di circonferenza come in fig. 6 otter-remmo una curva (di lunghezza asintoticamente infinita) che è una particolare spirale logaritmica.Tale curva si ritrova in natura nella disposizione dei semi di girasole, delle spine di una pianta grassa, in al-cune conchiglie (ad esempio il nautilo), nella traiettoria di avvicinamento di un falco alla sua preda, all’interno di una tela di ragno, nella forma di alcune galassie e persino nei vortici creati da un uragano. La spirale “aurea” è una particolare spirale logaritmica la cui distanza dal centro aumenta ogni quarto di giro come una progressione ge-ometrica di ragione φ.La spirale logaritmica è stata descritta la prima volta da Cartesio nel 1638 e successivamente studiata da Evan-gelista Torricelli (1645) e Jakob Bernoulli, il quale coniò il termine Spira mirabilis (1692) e chiese che ne fosse in-cisa una sulla lapide della sua tomba. Per errore, però, fu incisa una più banale spirale archimedea2.mente, di 72° ciascuno. Per questo motivo, talvolta, si definisce un rettangolo aureo uno con due angoli da 72° e uno da 36°. Un decagono regolare può essere suddiviso in dieci triangoli aurei, che hanno le basi coincidenti coi lati del poligono. I vertici sono in comune, al centro del decagono. Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è la parte aurea del raggio.Anche per i triangoli aurei vale la proprietà di scom-ponibilità iterata, mantenendo le stesse proporzioni ini-ziali, come per i rettangoli aurei. Più precisamente bise-cando uno degli angoli alla base si formano due triangoli, uno aureo e l’altro, isoscele, con la proprietà di avere uguale a φ il rapporto tra base e lato obliquo. Tale trian-golo viene chiamato gnomone aureo. Iterando questa sud-divisione il processo continua indefinitamente. Anche in questo caso può costruirsi, in questa sequenza di triango-li, una curva simile alla spirale aurea.Fig. 7. Spirale logaritmica (a sinistra) e archimedea (a destra)Fig. 6.Fig. 5.101100facciata pari a circa 51° 49’. La piramide reale ha un’al-tezza di circa 147 m e lati da 230m, con un’inclinazione della pareti di 51° 50’ 35”, molto simile all’inclinazione teorica! Facendo i calcoli tra il semilato e l’altezza “reali”: 186,64115 = 1,62295652… ossia un valore molto simile a φ.Esistono delle congetture che attribuiscono l’applica-zione ripetuta delle proporzioni auree nella costruzione del Partenone (inizio costruzione: 445 a.C.), realizzato dagli architetti Ictino, Callicrate e Mnesicle, che lavo-rarono sotto la diretta supervisione di Fidia (490 a.C. - 432 a.C.), epískopos di tutti i lavori principali. Nel 1910, il matematico Mark Barr iniziò a utilizzare l’iniziale del nome Fidia, la lettera greca Phi (φ) come simbolo per il rapporto aureo. In realtà, lo stesso Barr ebbe a scrivere che non è affatto probabile che Fidia utilizzò per davvero, coscientemente, questo rapporto3.Platone (428 a.C- 347 a.C), nel suo Timaeus, consi-derava la sezione aurea come la più suggestiva relazione matematica nonché la chiave per tutta la fisica del cosmo.Euclide (365 a.C- 300 a.C), nei suoi Elementi intro-dusse il concetto di dividere un segmento nel suo rap-porto medio ed estremo.La serie di Fibonacci, dal nome del matematico pi-sano Leonardo Pisano Bogollo (detto Fibonacci, 1175-1242), apparve per la prima volta nel suo Liber Abaci del 1202, a margine di un esempio sulla riproduzione e la conseguente discendenza di una coppia di conigli. Fibo-nacci considera la crescita di una popolazione di coni-gli astratta (biologicamente non realistica), supponendo che: una coppia di conigli appena nati, un maschio e una femmina, siano messi insieme (i conigli sono in grado di accoppiarsi all’età di un mese) in modo che alla fine del secondo mese una femmina possa produrre un altro paio di conigli; i conigli non muoiono mai e una coppia di accoppiamento produce sempre una nuova coppia (un maschio, una femmina) ogni mese a partire dal secondo Triangolo di KepleroUn triangolo di Keplero è un triangolo rettangolo nel quale i quadrati costruiti sui cateti e sull’ipotenusa hanno aree in progressione geometrica di ragione φ (es. 1, φ, φ2). Quindi, se un cateto ha lunghezza 1, per il teorema di Pi-tagora l’altro cateto ha lunghezza φ1/2 e l’ipotenusa ha lun-ghezza φ. Più precisamente φ2 = φ+1 (quadrato dell’ipo-tenusa uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti) e questa non è altro che l’equazione che definisce il numero φ! Questo tipo di triangolo può essere costruito con riga e compasso partendo da un rettangolo aureo.Cronologia sulla proporzione aureaLe origini della proporzione oggi nota come propor-zione aurea sono a tutt’oggi incerte ma esisterebbero delle evidenze che la retrodaterebbero ai tempi delle Egizi e della costruzione delle Piramidi e in particolare alla Grande Piramide di Giza (2560 a.C.). Il consenso della comunità scientifica su questo aspetto storico non è, tuttavia, unanime. Il rapporto aureo esisterebbe tra il semilato della piramide e l’altezza della facciata trian-golare. Questo porterebbe a un’inclinazione teorica della mese in poi. La domanda è: quante coppie ci saranno in un anno? In tale successione numerica di coppie di coni-gli ogni numero è la somma dei due suoi precedenti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...Non è certo che Fibonacci conoscesse il legame col rapporto aureo e la sua successione di numeri. Si può infatti dimostrare che il rapporto tra due numeri con-secutivi, al crescere dei numeri presi in considerazione, tende ad approssimare sempre più precisamente il nu-mero aureo.La sequenza di Fibonacci appare però, per la prima volta, nella matematica indiana, in relazione alla prosodia sanscrita. Nella tradizione sanscrita della prosodia, c’era interesse nell’elencare tutti i modelli di sillabe lunghe (L) che sono 2 unità di durata, e sillabe corte (S) che sono 1 unità di durata. Il conteggio dei diversi modelli di L e S di una data durata determina una successione come quella di Fibonacci.La prima volta che questo rapporto fu chiamato divi-na proportione è nel 1497, ad opera del matematico Luca Pacioli (1445-1517) che così indicò la sezione aurea nel suo libro De divina proportione4, manoscritto correda-to, nella versione a stampa del 1509, dalle illustrazioni di Leonardo da Vinci, il quale utilizzò questo concetto di proporzionalità in alcune sue opere, in particolare nell’Ultima cena e nell’Uomo Vitruviano.Poco tempo dopo Johannes Kepler (1571-1630), sco-prendo le leggi che governano i movimenti  dei pianeti e la natura ellittica delle loro orbite menzionò la sezione aurea:«La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora e l’altra è la divisione di un segmento in rapporto medio ed estremo (la sezione aurea). Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa».Il primo calcolo noto di cifre di φ risale al 1597, quando il matematico tedesco Michael Maestlin (1550-1631) in una lettera a Keplero menzionò il valore, rife-rendosi al reciproco di φ, come «circa 0.6180340» (5 cifre corrette);La prima volta che questa proporzione, fino a quel momento chiamata “divina” o, semplicemente, non ac-compagnata da alcun aggettivo, assunse la qualifica di “aureo” (goldensection) pare sia da  far risalire al mate-matico Martin Ohm (1792-1872) che nel suo libro Die reineElementar-Mathematik5utilizzò il termine tedesco gol-denerschnitt (goldensection).Più recentemente, il matematico Roger Penrose, in collaborazione con Robert Ammann, ha realizzato (1974) le cosiddette tassellature di Penrose6, ossia uno schema di figure geometriche basate sulla sezione aurea, che permette di ottenere una tassellatura di superfici in-finite in modo aperiodico. Strutture con simmetrie si-mili, i cosiddetti quasicristalli, sono state scoperte nel 1984 da Dan Shechtman del Technion – IsraelInstitute of Technology e per questa sua scoperta gli è stato asse-gnato il Premio Nobel per la chimica nel 2011. I quasi-cristalli sono una particolare forma di solido nel quale gli atomi sono disposti in una struttura deterministica ma non ripetitiva, cioè non periodica come avviene invece nei normali cristalli. Esiste una forte analogia tra i qua-sicristalli e la tassellatura di Penrose: alcuni quasicristalli possono essere sezionati in modo tale che gli atomi sulla superficie seguano esattamente lo schema di una tassel-latura di Penrose7.1  Pickover 1997.2  Fleckenstein, Speiser 1969.3  Barr 1929, p. 325. 4  Pacioli 1982.5  Ohm 1815.6  Gardner 1989.7  Fan 2018.Fig. 8.

Retrospettiva, evoluzioni e applicazioni della sezione aurea

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