EUGENI, F.

TONDINI, D.

VICECONTE, A.

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F. EUGENI

D. TONDINI

A. VICECONTE

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  Una presentazione dei Quaternioni  Franco EUGENI, Daniela TONDINI, Annamaria VICECONTE Department of Communication Science,Univeristy of Teramo. e-mail : {eugeni, dtondini}@unite.it   Sia R il campo ordinato dei numeri reali e V uno spazio vettoriale 3−dimensionale reale. Denotiamo con  q : = R + V = R × V L’INSIEME DELLE “SOMME FINALI” DI UN NUMERO REALE CON UN VETTORE, OVVERO UN’ESPRESSIONE FORMALE DEL TIPO ua ρ+   con a ∈ R, ur ∈ V ovvero una “coppia ordinata” ( ),  a ur  del prodotto cartesiano R × V. Se, per ogni coppia ordinata ua ρ+ , vb ρ+  ∈ q, definiamo un’operazione (+) in q ponendo:  ( ) ( ) ( ) ( ):a u b v a b u v+ + + = + + +r r r r   la struttura algebrica (q, +) risulta essere un gruppo abeliano. Una seconda operazione (∗) può essere definita ∀ ua ρ+ , vb ρ+  ∈  q ponendo:  ( ) ( ) ( ):a u b v ab bu av u v u v+ ∗ + = + + + ∧ − ⋅r r r r r r r r   Si prova con facilità che la struttura (q, +, ∗) è un corpo, non valendo la proprietà commutativa della seconda operazione.  Gli elementi di q, nella sopraindicata struttura algebrica, si dicono quaternioni ed il corpo costruito si dice corpo dei quaternioni. Se introduciamo ancora l’operazione “esterna” definita ponendo:  ( ) :k a u k a k u ka ku⋅ + = ⋅ + ⋅ = +r r r   ∀ k ∈ R, ∀ ua ρ+  ∈ q  la struttura algebrica (q,  +, ∗, ⋅) prende il nome di algebra dei quaternioni.  È IMPORTANTE INTRODURRE ORA LA NOZIONE DI NORMA. Quale che sia ua ρ+  ∈ q, si chiama norma l’applicazione  ||     || : q → R definita ponendo:  2 2 2a u a u+ = +r   essendo u la norma di uρ in V. Si chiama inoltre quaternione coniugato di ua ρ+  il quaternione  :a u a u+ = −r r   È IMMEDIATO PROVARE CHE: (1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2a u a u a u a u a u+ ∗ − = − ∗ + = +r r r r   (2) ( )uauaua ρρ −+=+ − 221 1)(   Spesso è utile scrivere  a u a br+ = +r r   essendo rρun versore parallelo ad uρ, ed anche:  x y za u a u i u j u k+ = + + +rr rr   essendo { },  ,  i j krr r  una base di versori di V. SI PROVA FACILMENTE CHE:  (3) 12222 −==== rkji  (4) ij ji k= − = ; jk kj i= − = ; jikki =−=   Si prova inoltre il seguente ovvio TEOREMA 1. Sia rr ∈  un fissato versore. Allora risulta { }( ),  ,  a br+ + ∗ ≅r £ . TEOREMA 2. Sia ( ) q a br cos r senρ ϑ ϑ= + = +r r  un quaternione. La trasformazione 1y q x q−= ∗ ∗r r  è una rotazione di asse rρ  ed ampiezza ϑ2 . Dimostrazione. Si ha ( ) ( )1 22  2 2y q x q cos x sen x r sen x r rϑ ϑ ϑ−= ∗ ∗ = − ∧ + ⋅r r r r r r r r  La trasformazione è lineare; infatti ( ) ( ) ( )1 1 11 2 1 2q x x q q x q q x qλ µ λ µ− − −∗ + ∗ = ∗ ∗ + ∗ ∗r r r r   ed è tale che  11y q x q q x q x−−= ∗ ∗ = =r r r r   Per  rx ρρ=  risulta ry ρρ =  cioè rρè un vettore unitario. Sia a br cos rsinϑ ϑ+ = +r r  un quaternione unitario. CONSIDERIAMO: ( ) ( ) ( ) ( )a br x a br ax b r x r x a br+ ∗ ∗ − = + ∧ − ⋅ ∗ − =⎡ ⎤⎣ ⎦r r r r r r r r r  ( ) ( ){ } ( )b r x ax b r x a br= − ⋅ + + ∧ ∗ − =⎡ ⎤⎣ ⎦r r r r r r  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2ab x r b x r r a x ab r x ax b r x br ax b r x br= − ⋅ + ⋅ + + ∧ + + ∧ ∧ − − + ∧ ⋅ − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦r r r r r r r r r r r r r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ab x r b x r r a x ab r x ab x r b r x r ab x r b r x r= − ⋅ + ⋅ + + ∧ − ∧ − ∧ ∧ + ⋅ + ∧ ⋅ =r r r r r r r r r r r r r r r r r r ( ) ( ) ( )2 2 22b x r r a x ab x r b x x r r= ⋅ + − ∧ − − ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦r r r r r r r r r r  ( ) ( ) ( )2 2 22 2a b x ab x r b x r r y= − − ∧ + ⋅ =r r r r r r r  essendo, in generale: ( ) ( ) ( )a b c ac b bc a∧ ∧ = −   Supponiamo ora che 1xr  sia ortogonale ad rr , cioè che sia: 1 0x r⋅ =r r . Risulta allora: ( )1 1 12 2y cos x sin x rϑ ϑ= + ∧r r r r  e quindi: ( )1 12 0y r cos x rϑ⋅ = ⋅ =r r r r  Segue allora che l’angolo dei due piani ( ),  x rr r  ed ( ),  y rr r  è dato dall’angolo dei due vettori 1xr  ed 1yr . Si ha: 21 1 12y x cos xϑ=r r r  e quindi ·1 1 2x y ϑ=r r                   Poiché la trasformazione 1y q x q−= ∗ ∗r r  è lineare, deve esistere una matrice A = A(q) tale che: 1y q x q Ax−= ∗ ∗ =r r r  Essendo, inoltre: ( ) ( )1 22  2 2y q x q cos x sen x r sen x r rϑ ϑ ϑ−= ∗ ∗ = − ∧ + ⋅r r r r r r r r  passando alle componenti, risulta: 1 2 3y i y j y k+ + =rr r rrxr  yr  1xr1yr  ( ) ( ) ( )21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 31 2 32 2 2i j k= cos x i x j x k sin x x x sin x r x r x r r i r j r kr r rθ ϑ θ+ + − + + + ⋅ + +rr rr rr r r r da cui: ( ) ( )21 1 2 3 2 3 1 1 1 2 2 3 32 2 2y cos x sin x r r x sin r x r x r x rθ θ θ= − − + + +  ( ) ( )22 2 1 3 1 3 2 1 1 2 2 3 32 2 2y cos x sin x r r x sin r x r x r x rθ θ θ= + − + + +  ( ) ( )23 3 1 2 1 2 3 1 1 2 2 3 32 2 2y cos x sin x r r x sin r x r x r x rθ θ θ= − − + + +  ed ordinando: ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 3 1 2 2 2 1 3 32 2 2 2 2 2y cos r sin x r sin r r sin x r sin r r sin xθ θ θ θ θ θ= + + − + + +  ( ) ( ) ( )2 2 2 22 3 1 2 1 2 2 1 2 3 32 2 2 2 2 2y r sin r r sin x + cos r sin x r sin r r sin xθ θ θ θ θ θ= + + + − +  ( ) ( ) ( )2 2 2 23 2 1 3 1 1 2 3 2 3 32 2 2 2 2 2y r sin r r sin x + r sin r r sin x + cos r sin xθ θ θ θ θ θ= − + + +  Se ora poniamo: a cosϑ=   b sinϑ=   in maniera analoga otteniamo: ( )( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 31 2 32 2i j ky i y j y k a b x i x j x k ab x x x b x r x r x r r i r j r kr r r+ + = − + + − + + + ⋅ + +rr rr r rr r r r r rda cui, passando alle componenti: ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 3 2 3 1 1 1 2 2 3 32 2y a b x ab x r r x b r x r x r x r= − − − + + +  ( ) ( ) ( )2 2 22 2 1 3 1 3 2 1 1 2 2 3 32 2y a b x ab x r r x b r x r x r x r= − + − + + +  ( ) ( ) ( )2 2 23 3 1 2 1 2 3 1 1 2 2 3 32 2y a b x ab x r r x b r x r x r x r= − − − + + +  ovvero: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 1 3 1 2 2 2 1 3 32 2 2 2 2y a b b r x abr b r r x abr b r r x= − + + − + + +  ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 3 2 1 1 2 2 1 2 3 32 2 2 2 2y abr b r r x a b b r x abr b r r x= + + − + + − +  ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 23 2 1 3 1 1 2 3 2 3 32 2 2 2 2y abr b r r x abr b r r x a b b r x= − + + + + − +  Se ora poniamo: 2 2 2 2 2 21 3 1 2 2 1 32 2 2 2 2 23 1 2 2 1 2 32 2 2 2 2 22 1 3 1 2 3 32 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2a b b r abr b r r abr b r rA abr b r r a b b r abr b r rabr b r r abr b r r a b b r⎛ ⎞− + − + +⎜ ⎟= + − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟− + + − +⎝ ⎠ risulta proprio y Ax=r r . Dobbiamo provare che questa matrice è ortogonale. Si osservi che è funzione di 2ϑ  (angolo di rotazione) e di rr .  ( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 3 1 2 3 1 2 22 2 2 2 2 2a b b r abr b r r abr b r r a b b r− + + + − + − + +  ( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 22 1 3 1 2 3 3 1 2 3 1 22 2 2 2 2 2 2 2abr b r r abr b r r a b abr b r r abr b r r+ + − + = − + − + =  ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 3 1 2 2 3 1 24 2 2 2 2 2 2a b b r r b r abr b r r b r abr b r r= − + + + − + =  ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 3 1 1 2 2 3 2 1 24 2 2 2 2 2a b b r r b r abr r b r r r abr r b r r= − + + − +  ( )3 2 1 2 32 2 23 3 1 1 2 3 1 2 32 1 1 2 3  0   2     0 2    0r r r r rA a b I ab r r b r r r r r rr r r r r−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠     F.EUGENI-D.TONDINI-A.VICECONTE www.eiris.it   det = 0 det = 0

Una presentazione dei Quaternioni

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