Formulaciones para superar la divergencia del método de iteración de punto fijo en la solución de ecuaciones no lineales

Abstract

When we need to determine the solution of a nonlinear equation there are two options: closed-methods which use intervals that contain the root and during the iterative process reduce the size of natural way, and, open-methods that represent an attractive option as they do not require an initial interval enclosure. In general, we know open-methods are more efficient computationally though they do not always converge. In this paper we are presenting a divergence case analysis when we use the method of fixed point iteration to find the normal height in a rectangular channel using the Manning equation. To solve this problem, we propose applying two strategies (developed by authors) that allow to modifying the iteration function making additional formulations of the traditional method and its convergence theorem. Although Manning equation is solved with other methods like Newton when we use the iteration method of fixed-point an interesting divergence situation is presented which can be solved with a convergence higher than quadratic over the initial iterations. The proposed strategies have been tested in two cases; a study of divergence of square root of real numbers was made previously by authors for testing. Results in both cases have been successful. We present comparisons because are important for seeing the advantage of proposed strategies versus the most representative open-methods.Cuando se requiere encontrar la solución de una ecuación no lineal existen dos grandes alternativas: los métodos cerrados que usan intervalos que contienen la raíz y durante su proceso iterativo reducen su tamaño de manera natural, y los métodos abiertos que son una buena opción por no requerir un intervalo inicial que la encierre. En general, se sabe que los métodos abiertos son más eficientes computacionalmente aunque no siempre convergen. Este trabajo presenta el estudio de uno de los casos de divergencia cuando se usa el método abierto de iteración de punto fijo; se trata de una aplicación típica de hidráulica de canales cuando se requiere calcular el tirante normal en un canal rectangular haciendo uso de la fórmula clásica de Manning. Para solucionar el problema de divergencia se proponen dos estrategias (desarrolladas por los autores) que permiten modificar la función de iteración realizando formulaciones adicionales que parten del método original y su teorema de convergencia. Aunque la ecuación de Manning se resuelve con otros métodos como el de Newton, cuando se usa el de iteración de punto fijo se presenta una situación interesante de divergencia que puede solucionarse y además obtener convergencia superior a la cuadrática en las iteraciones iniciales. Situaciones de divergencia monotónica como la que se presenta en este artículo han sido estudiadas con las estrategias propuestas con resultados satisfactorios. En el artículo se presentan comparaciones para reconocer las ventajas de las estrategias propuestas frente a los métodos abiertos más representativos