En este artículo se propone una estructura de estimación de estado para un Reactor de Tanque Agitado en Continuo (CSTR), mediante un Observador Asintótico, conjuntamente con un estimador de perturbaciones basado en un algoritmo de modos deslizantes de alto orden, tipo Super Twisting Generalizado. El esquema de estimación propuesto permite la reconstrucción asintótica de la concentración en el reactor, con base en la medición de la temperatura al interior del mismo y de la chaqueta, en la presencia de cambios en el coeficiente global de intercambio de calor UA, la constante de frecuencia k_0 de la ecuación de Arrhenius y la energía de activación E.  Adicionalmente, la estructura es capaz de estimar UA y el término k_0 e^(-E/RT) de la cinética. Las propiedades del esquema propuesto se demuestran matemáticamente y a través de simulaciones.Universidad Nacional de ColombiaCinvesta

Botero-Castro, Héctor

Jaramillo-Zuluaga, Óscar

Jiménez-Rodríguez, Esteban

Sánchez-Torres, Juan D.

Repositorio Institucional del ITESO

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente 2014-10-06 Estimación de estado e incertidumbre en unCSTR mediante Observador Asintótico ymodos deslizantes de alto orden Botero-Castro, Héctor; Sánchez-Torres, Juan D.; Jiménez-Rodríguez,Esteban; Jaramillo-Zuluaga, Óscar Botero-Castro, H.; Sánchez-Torres, J. D.; Jiménez-Rodríguez, E.; Jaramillo-Zuluaga, O. (Octubre de2014). Estimación de estado e incertidumbre en un CSTR mediante Observador Asintótico y modosdeslizantes de alto orden. XXVII Congreso Interamericano y Colombiano de Ingeniería Química.Cartagena, Colombia.  Enlace directo al documento: http://hdl.handle.net/11117/3277 Este documento obtenido del Repositorio Institucional del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores deOccidente se pone a disposición general bajo los términos y condiciones de la siguiente licencia:http://quijote.biblio.iteso.mx/licencias/CC-BY-NC-2.5-MX.pdf (El documento empieza en la siguiente página)Repositorio Institucional del ITESO rei.iteso.mxDepartamento de Matemáticas y Física DMAF - Artículos y ponencias con arbitraje Cartagena, Colombia, Octubre 6 a 8 de 2014  Estimación de Estado e Incertidumbre en un CSTR Mediante Observador Asintótico y Modos Deslizantes de Alto Orden  Héctor Botero Castroa, Juan Diego Sánchez –Torresb, Esteban Jiménez Rodríguezc, Oscar Jaramillo Zuluagad.  a, c,d  Universidad Nacional de Colombia – Sede Medellín, Facultad de Minas, Colombia, Grupo de Investigación en Procesos Dinámicos - Kalman b  CINVESTAV,  Guadalajara – México *E-mail: habotero@unal.edu.co, jdsanch1@gmail.com, esjimenezro@unal.edu.co, odjaramilloz@unal.edu.co. Resumen En este artículo se propone una estructura de estimación de estado para un Reactor de Tanque Agitado en Continuo (CSTR), mediante un Observador Asintótico, conjuntamente con un estimador de perturbaciones basado en un algoritmo de modos deslizantes de alto orden, tipo Super Twisting Generalizado. El esquema de estimación propuesto permite la reconstrucción asintótica de la concentración en el reactor, con base en la medición de la temperatura al interior del mismo y de la chaqueta, en la presencia de cambios en el coeficiente global de intercambio de calor 𝑈𝐴, la constante de frecuencia 𝑘0 de la ecuación de Arrhenius y la energía de activación 𝐸.  Adicionalmente, la estructura es capaz de estimar 𝑈𝐴 y el término 𝑘0𝑒−𝐸𝑅𝑇 de la cinética. Las propiedades del esquema propuesto se demuestran matemáticamente y a través de simulaciones.  Palabras clave: Estimador de Estado, Observador de Estado, Modos Deslizantes, Observador no Lineal. 1. Introducción La estimación del estado en procesos químicos es una labor necesaria para lograr implementar estrategias de control, detección de fallas y monitoreo de forma confiable y a un costo razonable. Dichas estrategias de estimación permiten reducir el número de sensores instalados en una planta, ya que sólo se requiere la medición de algunas variables y un modelo dinámico del proceso. Sin embargo, la mayoría de los modelos suponen algunos parámetros fijos, mientras en el sistema real estos parámetros cambian de forma permanente. Lo anterior hace que las variables de estado estimadas se desvíen de los valores reales y que se produzcan errores en el sistema de control.    Por ejemplo, en un proceso químico se presentan cambios dinámicos como resultado de la operación normal, originados por el envejecimiento de los materiales, la obstrucción de conductos, el cambio en las propiedades físicas de los componentes y el cambio en las propiedades de los reactivos que ingresan. Estos cambios hacen que algunos de los parámetros del proceso se modifiquen, especialmente los relacionados con las cinéticas de reacción y con la transferencia de calor. Como resultado, el modelo del proceso utilizado por un observador de estados puede desactualizarse y generar mediciones desviadas de su valor real. Este problema hace que la Estimación de Estado e Incertidumbre en un CSTR 2  estimación de estado de sistemas no lineales en la presencia de incertidumbre paramétrica sea una línea de investigación abierta (Soroush, 1998; Farza et al, 2009).     Para resolver este problema, se han propuesto observadores adaptables de estados y parámetros para sistemas no linealmente parametrizados, aplicados a una clase de sistemas MIMO, no lineales, uniformemente observables (Farza et al, 2009). En este último trabajo se aplicó el observador en la estimación de estados y cinéticas químicas de un biorreactor. Otro enfoque para la estimación de estados en reactores químicos es el observador asintótico (AO), el cual permite la estimación de concentraciones en un CSTR independiente del conocimiento de las cinéticas, además de tener un diseño muy simple y que no requiere cumplir plenamente la condición de observabilidad (Dochain, Perirer and Ydstie, 1992). Sin embargo, este observador no considera el cambio paramétrico en el coeficiente global de transferencia de calor, el cual puede modificarse mucho en la operación normal del proceso. Además, el observador asintótico no permite estimar parámetros cinéticos en línea, lo cual puede ser útil a la hora de conocer la trazabilidad del proceso.  En este sentido, aquí se propone una estructura de estimación de estado para un CSTR, mediante un Observador Asintótico, conjuntamente con un estimador de perturbaciones basado en un algoritmo de modos deslizantes de alto orden, tipo Super Twisting Generalizado. El esquema de estimación propuesto permite la reconstrucción asintótica de la concentración y es capaz de estimar 𝑈𝐴 y el término 𝑘0𝑒−𝐸𝑅𝑇 de la cinética.  2.  Modelo del Proceso En este trabajo se utiliza un modelo de CSTR, el cual es típico en la industria de procesos y cuya complejidad ha sido evidenciada (Bequette, 2002). En este caso se supone que el modelo tiene tres variables de estado: concentración (CA), temperatura en el tanque (T) y temperatura del líquido refrigerante que circula por la chaqueta (TJ). Se supone que el nivel (L) está perfectamente controlado. Con todo esto, el modelo es todavía representativo de muchas situaciones comunes en procesos y bioprocesos (Bequette, 2002; Dochain, 2003). Dentro del reactor se produce una reacción química exotérmica de la forma A  B. Las ecuaciones del modelo, obtenidas desde balances de masa y energía tanto en la masa reactiva como en el fluido que viaja por la chaqueta, son:  𝑑𝐶𝐴𝑑𝑡=𝐹𝑉(𝐶𝑖𝑛 − 𝐶𝐴) − 𝑘0𝐶𝐴𝑒−𝐸𝑅𝑇      (1) 𝑑𝑇𝑑𝑡=𝐹𝑉(𝑇𝑖𝑛 − 𝑇) −Δ𝐻𝜌𝐶𝑝𝑘0𝐶𝐴𝑒−𝐸𝑅𝑇 +𝑈𝐴𝜌𝐶𝑝𝑉(𝑇𝑗 − 𝑇)    (2) 𝑑𝑇𝑗𝑑𝑡=𝐹𝑗𝑓𝑉𝑗(𝑇𝑗𝑓 − 𝑇𝑗) −𝑈𝐴𝜌𝑗𝐶𝑝𝑗𝑉𝑗(𝑇𝑗 − 𝑇)     (3)  Los parámetros nominales del CSTR y sus unidades se muestran en la Tabla 1.  Tabla 1. Parámetros del CSTR Parámetro Nombre Valor Unidad F  Flujo de alimento hacia el reactor 0.1605 13m min.  V  Volumen de la masa reactiva 2.4069 3m  inC  Concentración del reactivo A en la entrada 2114.5 3mgmol .  Estimación de Estado e Incertidumbre en un CSTR 3  0k  Constante de la ley de Arrhenius 2.8267x1011 1min  E  Energía de activación 75361.14 1gmolJ .  R  Constante universal de los gases 8.3174 11KgmolJ .  inT  Temperatura de de entrada del reactivo A 295.22 K  H  Calor de reacción -9.0712x104 1gmolJ .    Densidad de la mezcla en el reactor 1000 3mkg .  pC  Capacidad calorífica de la alimentación y el producto 3571.3 1kgJ .  U  Coeficiente global de transferencia de calor 2.5552x104 12 KmsJ )...(  A  Área de intercambio de calor 8.1755 2m  jfF  Flujo de alimento hacia la chaqueta 0.3376 13m min.  jV  Volumen de la chaqueta 0.24069 3m  jT  Temperatura en la chaqueta 279 K  jfT  Temperatura en el alimento la chaqueta 279 K  j  Densidad del fluido de la chaqueta y pC   1000 3mkg .  pjC  Capacidad calorífica del fluido en la chaqueta 3728.87 1kgJ .   Para un CSTR real, el valor de la concentración del reactivo (𝐶𝐴) no es medible directamente debido a los altos costos requeridos por el sensor. Por lo tanto, es altamente recomendable disponer de un sensor virtual que produzca la estimación en línea de esta variable. Tal dispositivo se basa en un observador, el cual toma otras mediciones del proceso, como 𝑇 and 𝑇𝑗, y estima el valor real de 𝐶𝐴 con base en un modelo.  Sin embargo, en el funcionamiento normal del CSTR se pueden presentar cambios paramétricos, los cuales hacen que un observador de estado basado en un modelo de parámetros fijos quede desactualizado y genere mediciones desviadas de su valor real. Con base en esto, en la siguiente sección se ilustra una forma de estimación de estado y parámetros para este caso de estudio.  3. Diseño del Observador Asintótico y los Estimadores de Parámetros  3.1. Diseño del observador asintótico El diseño del AO para el CSTR requiere la siguiente transformación que elimina la dependencia de 𝑘0 y 𝐸 en las ecuaciones del modelo (Dochain, Perirer and Ydstie, 1992):   𝑧 = 𝐶𝐴 −𝜌𝐶𝑝Δ𝐻𝑇         (4)          Remplazando en la dinámica del sistema representada por (1) y (2) se obtiene:  ?̇? =𝐹𝑉(𝐶𝑖𝑛 − 𝑧 −𝜌𝐶𝑝Δ𝐻𝑇𝑖𝑛) −𝐹𝑉𝑧 −𝑈𝐴Δ𝐻𝑉(𝑇𝑗 − 𝑇)    (5)  La ecuación (5) es el resultado de una transformación en invariantes de reacción que permite combinar las ecuaciones (1) y (2) del modelo para obtener una expresión independiente de los parámetros relacionados con las cinéticas de la reacción 𝑘0, 𝐸 . Sin embargo, la ecuación (5) tiene una dependencia del factor 𝑈𝐴. Por lo tanto, aquí se propone utilizar más información del modelo, Estimación de Estado e Incertidumbre en un CSTR 4  específicamente la dinámica de la chaqueta (3), para obtener un observador asintótico que permita estimar la concentración, independiente de los cambios que se produzcan en 𝑘0, 𝐸 y 𝑈𝐴. El observador propuesto se obtiene al realizar las siguientes transformaciones y aplicarlas en las ecuaciones (1) a (3):   ?̂?1 = 𝑇 +𝜌𝑗𝐶𝑝𝑗𝑉𝑗𝑇𝑗𝜌𝐶𝑝𝑉        (6) ?̂?2 = ?̂?𝐴𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡 −𝜌𝐶𝑝Δ𝐻?̂?1       (7)  Con lo cual la dinámica del estado estimado transformado queda de la forma:  ?̇̂?2 =𝐹𝑉(𝐶𝑖𝑛 − ?̂?2 −𝜌𝐶𝑝Δ𝐻?̂?1) −𝜌𝐶𝑝𝐹Δ𝐻𝑉(𝑇𝑖𝑛 − 𝑇) −𝜌𝑗𝐶𝑝𝑗𝐹𝑗𝑓Δ𝐻𝑉(𝑇𝑗𝑓 − 𝑇𝑗)   (8)      la cual  no contiene ninguno de los parámetros 𝑘0, 𝐸, 𝑈𝐴. Con base las ecuaciones (6) a (8) es posible calcular ?̂?𝐴𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡  como la estimación de la concentración, desde las mediciones de 𝑇 y 𝑇𝑗, independiente de la variación en los parámetros 𝑘0, 𝐸, 𝑈𝐴. La dinámica del error para este observador asintótico puede ser calculada como:  ?̇?𝑧2 = ?̇?2 − ?̇̂?2 = −𝐹𝑉𝑒𝑧2       (9)  la cual es asintóticamente estable.    3.2. Diseño del estimador de parámetros Para el modelo descrito por (1) a (3), se define el término de cinética  de reacción 𝜙 = 𝑘0𝑒−𝐸𝑅𝑇, el cual se supone desconocido y por lo tanto debe ser estimado. De esta forma la dinámica de  dada por 𝑑𝜙𝑑𝑡, también es desconocida y se supone acotada, es decir 𝑑𝜙𝑑𝑡= Δ𝜙, con |Δ𝜙| < 𝛿, 0 < 𝛿 < ∞. Similarmente, el parámetro 𝑈𝐴 se supone como una constante desconocida y para ser estimada, con dinámica 𝑑(𝑈𝐴)𝑑𝑡= 0. Entonces, para estimar estos dos parámetros se propone el siguiente estimador:  𝑑?̂?𝑑𝑡=𝐹𝑉(𝑇𝑖𝑛 − 𝑇) −Δ𝐻𝜌𝐶𝑝?̂?𝐴𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡?̂? +𝑈?̂?𝜌𝐶𝑝𝑉(𝑇𝑗 − 𝑇) + 𝑘11𝜑1(?̃?)   (10) 𝑑?̂?𝑗𝑑𝑡=𝐹𝑗𝑓𝑉𝑗(𝑇𝑗𝑓 − 𝑇𝑗) −𝑈?̂?𝜌𝑗𝐶𝑝𝑗𝑉𝑗(𝑇𝑗 − 𝑇) + 𝑘12𝜑1(𝑇?̃?)     (11)  𝑑?̂?𝑑𝑡= −𝑘21𝜑2(?̃?)       (12) 𝑑(𝑈?̂?)𝑑𝑡= −𝑘22𝜑2(?̃?𝑗)       (13)   Donde: ?̃? = 𝑇 − ?̂?;  ?̃?𝑗 = 𝑇𝑗 − ?̂?𝑗;  𝜑1(∙) = |∙|12𝑠𝑖𝑔𝑛(∙) + 𝜇1(∙); 𝜑2(∙) = 𝑠𝑖𝑔𝑛(∙) + 𝜇2(∙); con 𝑠𝑖𝑔𝑛(∙) igual a la función signo y  𝜇1 = 𝜇2 = 10.  El estimador de parámetros (10) a (13) tiene la forma de un estimador basado en observador (Oliveira et al, 2002; Perrier et al, 2000), pero aquí se aprovechan las propiedades de los modos deslizantes. La convergencia de la estructura completa se puede garantizar así: como ?̂?𝐴𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡  es asintóticamente estable, lo cual se mostró en (9), y el Estimación de Estado e Incertidumbre en un CSTR 5  algoritmo super twisting también tiene esa propiedad (Moreno and Osorio, 2008), la cascada observador y estimador también es estable (Sundarapandian, 2004).   4.  Resultados de Simulación  Para verificar el comportamiento de los observadores y los estimadores se introdujeron los cambios que se muestran en la Tabla 2; los resultados de la simulación se ilustran en las Figuras 1 a 3. Para el caso de la estimación de la concentración CA se diseñó también un Filtro de Kalman Extendido (FKE) con el fin de comparar.   Tabla 2. Cambios introducidos en la simulación  Variable Tiempo del cambio (min) Magnitud del cambio 𝑥(0) 0 0.9[𝐶𝐴(0), 𝑇(0)] 𝐹 200 50 %  , caída en escalón 𝑘0 400 20%  ,  subida exponencial en 5 min 𝐸 600 Pulso del 1%  , caída exponencial en 5 min UA 800 50%  , subida exponencial en 5 min 𝑇𝑖𝑛 1200 Pulso del 10%  , caída exponencial en 0.5 min     Figura 1. Estimación de la concentración  Figura 2. Estimación de la cinética de reacción   Figura 3. Estimación del coeficiente global de transferencia de calor  Como puede observarse de la Figura 1, el observador asintótico es capaz de estimar la concentración CA, independiente de los cambios paramétricos introducidos, mientras que el FKE presenta error de estado estacionario desde el primer cambio paramétrico en t=400 min. Así mismo, se puede ver que los estimadores de parámetros (Figuras 2 y 3), tanto para la cinética de 0 500 1000 1500400600800100012001400Tiempo (min)Concentración (gmol/m3)  RealKalmanAsintótico0 500 1000 15000.020.040.060.080.10.120.14CinéticaTiempo (min)Cinética    real estimado0 500 1000 150022.22.42.62.833.2x 105 Grafica del cambio en UATiempo (min)UA (J.K.s)  UA realUA estimadoEstimación de Estado e Incertidumbre en un CSTR 6  reacción como para el coeficiente de intercambio de calor, convergen a los respectivos valores. Por lo tanto el esquema de estimación de estado y parámetros funciona correctamente.   5. Conclusiones  Se propuso una estructura de estimación de estado para reactores químicos con base en el observador asintótico y un estimador de parámetros basado en modos deslizantes, la cual fue probada con un modelo de CSTR no lineal. La estructura propuesta permite mejorar el comportamiento estacionario del observador asintótico para este caso, ya que lo hace insensible a ante variaciones en 𝑘0, 𝐸 y 𝑈𝐴. Adicionalmente, se logró la estimación de los parámetros mencionados con base en modos deslizantes de alto orden.  La estructura propuesta tiene convergencia garantizada, la cual es el resultado de la convergencia inherente del observador asintótico y del algoritmo super twisting que utiliza el estimador de parámetros. Los resultados mostrados en este documento pueden ser fácilmente extendidos a otros procesos. Referencias  BEQUETTE, W. (2002). Behavior of a CSTR with a Recirculating Jacket Heat Transfer System. Proceedings of the American Control Conference,  Anchorage, AK.  DOCHAIN, D., PERRIER, M. AND YDSTIE, B.  (1992). Asymptotic Observers for Stirred Tank Reactors. Chemical Engineering Science,  Vol 47, (15/16), 4167-4177.  DOCHAIN, D. (2003). State and Parameter Estimation in Chemical and Biochemical Processes: a Tutorial. Journal of Process Control, 2003, Vol 13, 801-818.   FARZA, M.; M’SAAD, M; MAATOUG, T.AND KAMOUN, M. (2009) Adaptive Observers for Nonlinearly Parameterized Class of  Nonlinear Systems,  Automatica, Vol 45, 2292-2299.  MORENO, J. AND OSORIO, M. (2008). Lyapunov Approach to Second-Order Sliding Mode Controllers and Observers. Proceedings of the 47th IEEE Conference on Decision and Control Cancun, Mexico, Dec. 9-11.   OLIVEIRA, R., FERREIRA, E. AND FEYO DE AZEVEDO, S. (2002). Stability, Dynamics of Convergence and Tuning of Observer – Based Kinetics Estimators. Journal of Process Control,  Vol 12, 311-323.  PERRIER, M., FEYO DE AZEVEDO, S., FERREIRA, E. AND. DOCHAIN, D. (2000). Tuning of Observer – Based Estimators: Theory and Application to the On - Line Estimation of Kinetic Parameters. Control Engineering Practice, Vol 8, 377-388.  SOROUSH, M. (1998). State and Parameter Estimations and Their Applications in Process Control. Computers & Chemical Engineering, Vol 23, 229-245.   SUNDARAPANDIAN, V. (2004). Global Asymptotic Stability of Nonlinear Cascade Interconnected Systems. Mathematical and Computer Modeling, Vol 40, 227–232. 

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