Este artículo presenta el diseño de un observador por modos
deslizantes de segundo orden para una planta con
modelo lineal, asumiendo ruido en la variable medida.
Adicionalmente se propone un controlador de alto orden
por modos deslizantes para una de las variables de estado
asociadas al proceso. Para finalizar, se realiza un ejemplo
con las respectivas simulaciones.
This paper presents the design of a sliding mode observer
for a second order linear plant model, assuming noise in
the measured variable. Additionally, high order controller
for sliding for state variables associated with the process
modes is proposed. Finally, an example is made with the
respective simulations.Universidad Nacional de ColombiaCINVESTAVColciencia

Botero-Castro, Héctor

Maceas-Henao, Michelle

Sánchez-Torres, Juan D.

Repositorio Institucional del ITESO

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente 2013-12-10 Estrategias de control y estimación de estadopor modos deslizantes para un horno eléctrico Maceas-Henao, Michelle; Sánchez-Torres, Juan D.; Botero-Castro, Héctor Maceas-Henao, M.; Sánchez-Torres, J.D.; Botero-Castro, H. (2013). Estrategias de control yestimación de estado por modos deslizantes para un horno eléctrico. L’esprit Ingénieux, 4(1), 88-93.  Enlace directo al documento: http://hdl.handle.net/11117/3262 Este documento obtenido del Repositorio Institucional del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores deOccidente se pone a disposición general bajo los términos y condiciones de la siguiente licencia:http://quijote.biblio.iteso.mx/licencias/CC-BY-NC-2.5-MX.pdf (El documento empieza en la siguiente página)Repositorio Institucional del ITESO rei.iteso.mxDepartamento de Matemáticas y Física DMAF - Artículos y ponencias con arbitraje88 =L’esprit IngénieuxEstrategias de control y estimación de estado por modos deslizantes para un horno eléctricoMichelle Maceas Henao Universidad Nacional, sede Medellín, facultad de minas. mmaceash@unal.edu.coJuan Diego Sánchez TorresIngeniería eléctrica de la Universidad de Guadalajara. CINVESTAV. jdsanch1@gmail.comHéctor Botero CastroUniversidad Nacional, sede Medellín, facultad de minas. habotero@unal.edu.coResumen Este artículo presenta el diseño de un observador por mo-dos deslizantes de segundo orden para una planta con modelo lineal, asumiendo ruido en la variable medida. Adicionalmente se propone un controlador de alto orden por modos deslizantes para una de las variables de estado asociadas al proceso. Para finalizar, se realiza un ejemplo con las respectivas simulaciones.Palabras Claves: Observador, Robustez, Modos Des-lizantes.AbstractThis paper presents the design of a sliding mode observer for a second order linear plant model, assuming noise in the measured variable. Additionally, high order controller for sliding for state variables associated with the process modes is proposed. Finally, an example is made with the respective simulations.Key words: Observer, Robustness, Sliding ModesArtículo de investigación científica y tecnológica, como producto elaborado en la Universidad Nacional de Colombia, Sede de Medellín.Recibido: 15 de noviembre  de 2013      Aprobado: 10 de diciembre de 2013 I. INTRODUCCIÓNEn la teoría de control clásica es necesario medir algunas variables en los procesos para lograr implementar las estrategias de control. Sin embargo, el alto costo de implantar sensores por cada variable ha hecho que se busquen alternativas como los observadores de estado. En este artículo se propone una estrategia de  estimación de estado y control de un horno eléc-trico.  Para ello, se propone un observador por modos deslizantes, puesto que este tipo de observadores presentan ciertas ventajas con respecto a los observadores convencionales, como (Osorio, 2012):• Trabajan con dinámicas de error de observación reducidas.• Pueden tener convergencia en tiempo finito de todas las variables de estado.• Poseen robustez ante variación de parámetros si se cumple la condición de ajuste   (matching).• Presentan insensibilidad, más que robustez, con respecto a las entradas desconocidas. MIchelle Maceas Henao / Juan Diego Sánchez Torres / Héctor Botero Castro89Adicional a esto, se propone un controlador de orden superior por modos deslizantes, de-bido a que presenta robustez ante perturba-ciones de diversos tipos, incertidumbres en los modelos y dinámica no modelada, 2011). Además, dicho controlador se diseña con al-goritmos sencillos, simples de implementar y de baja carga computacional. Otra ventaja de este tipo de controlador es la reducción del  chattering (vibraciones de alta frecuen-cia originadas por trabajar con frecuencias de conmutación finitas) mediante la síntesis de acciones de control continuas (Rosales y Ferreira, 2009). II. MODELO DEL SISTEMAEl modelo de  horno eléctrico que se trabaja aquí, cuenta con tres termocuplas (T1,T2,T3), un calefactor (U) y se supone que el mismo puede ser perturbado por una temperatura externa (T_ext), como se muestra en la Fig. 1. El sistema de ecuaciones (1) presenta los ba-lances de energía que describen el compor-tamiento del horno eléctrico planteado.(Alberto e Hincapié, 2009) (Marulanda, 2012) (Sierra y Chejne, 2005)Donde: T1 representan las temperaturas en cada una de las secciones, C1 representan las capacidades caloríficas, R1 representan las resistencias térmicas de las secciones y U es la acción de control.FIGURA 1. ESQUEMA DEL HORNO ELÉCTRICO.III. DISEÑO DEL OBSERVADOR Y EL CONTROLADORA. Diseño del Observador de Segundo Orden por Modos Deslizantes.    El modelo (1) se puede representar de la for-ma lineal en variables de estado. Por lo tanto, la dinámica del observador por modos desli-zantes se muestra en (2). (Levant,1993)En este caso se asume como estado medi-do a x1. La dinámica del error es de la forma x ̃=x- x ̂.Por lo tanto, para el modelo (1) y el observa-dor (2), la dinámica del error se muestra en (3). Para encontrar el valor de las constantes m1 y m2 se utiliza el regulador cuadrático lineal (LQR), el cual es un algoritmo matemático que minimiza la función de coste con factores de ponderación proporcionados por el dise-ñador; en este caso minimizan  las desviacio-nes en el error. B. Diseño controlador de orden superior por modos deslizantes. La variable de estado que se desea controlar es x2, por ser la temperatura que representa el núcleo o centro  del horno. Para el diseño del controlador se usa la técnica de control a bloques [8]. Para satisfacer  la estabilidad de la temperatura x2, se define el error de con-trol como:La derivada de (4) alrededor de la trayectoria de (1) es:(2)(3)(4)(5)Estrategias de control y estimación de estado por modos deslizantes para un horno eléctrico90 =L’esprit IngénieuxPara introducir la dinámica deseada se pro-pone x1 tal que el error en tiempo finito tien-da a cero, como se muestra en (6).Por lo tanto:Al despejar U de (8), se encuentra la ecuación del controlador  en (9).IV. EJEMPLO NUMÉRICO Y       SIMULACIONES            En la  ecuación (10), se observa la represen-tación es espacio de estados del modelo, con parámetros.A continuación se detallan los cálculos del observador y del controlador.A. Observador de segundo orden por modos deslizantes.Para el diseño del observador se lleva el mo-delo de estados a la forma que se mostró en la ecuación (3) y que se retoma aquí:Sin embargo, para encontrar los valores de m1 y m2, se debe llevar este sistema a la forma de la Ecuación (11): (6)(7)(9)(12)(13)(14)(15)(16)(8)(10)(11)Donde X ̃1 es el vector de estados medidos (x1)  y X ̃2 son los estados observados (x2, x3). Para analizar cómo encontrar el valor de las constantes m, es necesario hallar la dinámi-ca del error de la ecuación (11), que viene dada por:La ecuación (12) indica que después de un tiempo finito  (X1 )  ̂  =X1, por lo tanto  (X1 ) ̃, (X1 ) ̃  ̇   son iguales a  cero, y de esta  manera se obtiene:Si se remplaza (14) en (13), se obtiene:Donde :Remplazando los respectivos valores de la ecuación (15), se obtiene la ecuación (16), que permite hallar los valores de las constan-tes m1 y m2: Con lo cual se obtiene   m_1=0.2756 y m_2=0.0892. Adicionalmente, se asume k=1 y k2=2, para que el sistema de error entre en modos deslizantes. Los resultados de simula-ción del observador se muestran en la Figura (2).MIchelle Maceas Henao / Juan Diego Sánchez Torres / Héctor Botero Castro91FIGURA. 2. COMPARACIÓN DE CADA ESTADO CON SU RESPECTIVA OBSERVACIÓNComo se puede ver en las Figuras anteriores,  el diseño del observador logra respuesta con error cero en la estimación para todas las variables de estado y un tiempo de convergencia muy bajo. Para probar condiciones de ruido, en las Fig.  3, 4 y 5 se muestran los distintos es-tados asumiendo ruido de medición. Al igual que en la Fig- 2 se nota que el observador por modos deslizantes de segundo orden presenta un buen desempeño.FIGURA. 3. COMPARACIÓN DE X1 MEDIDO VS X1 ESTIMADO FIGURA. 4. COMPARACIÓN DE X2 MEDIDO VS X2 ESTIMADO.Estrategias de control y estimación de estado por modos deslizantes para un horno eléctrico92 =L’esprit IngénieuxFIGURA. 5. COMPARACIÓN DE X3 MEDIDO VS X3 ESTIMADO.FIGURA 6. RESPUESTA DEL CONTROLADOR CON PERTURBACIÓN A LOS 30 s  DEL 20 % DEL VALOR DE ESTADO ESTACIONARIO.FIGURA. 7. COMPARACIÓN ESFUERZOS DE CONTROL CON OBSERVADOR Y SIN ÉSTE.B. Controlador de orden superior por modos deslizantes.El diseño del controlador para la temperatura x2 se realizó como se explicó en la sección ante-rior, obteniéndose la acción de control (9). En las Figuras 5 a 7 se observa cómo el controlador sigue la referencia deseada y cómo responde ante perturbaciones.Como se puede ver,  el sistema responde muy bien, aun cuando el controlador supone como variables medidas las variables estimadas. El sobre impulso inicial es  aproximadamente igual cuando se prueba el controlador con las variables del modelo y con las variables estimadas, lo cual muestra el buen funcionamiento del observador.MIchelle Maceas Henao / Juan Diego Sánchez Torres / Héctor Botero Castro93Finalmente, en la Fig. 7 se puede observar una comparación de los esfuerzos de control del sistema con  la perturbación. Es evidente que el esfuerzo de control con el observador de segundo orden es menor que en ausencia de éste, esto se debe a que el observador asume como conocida la perturbación, y por lo tanto  es menor el esfuerzo para rechazarla.IV. CONCLUSIONESEn este trabajo se propuso un esquema de estimación y control por modos deslizantes para un horno. Los resultados del esquema propuestos fueron buenos, lo cual se verificó mediante simulación analizando la dinámica del error de estimación y la dinámica de error de segui-miento de la referencia. Para ambas dinámicas se logró un seguimiento con bajo tiempo de establecimiento, bajo sobre impulso y error de estado estacionario cero. Adicionalmente, el esquema se probó ante situaciones de ruido en el sensor, con resultados satisfactorios. En este sentido, se pudo ver que el observador por modos deslizantes puede ser utilizado como un filtro, puesto que en presencia del ruido en el sensor, la variable estimada tuvo menor va-rianza que la variable medida. Finalmente, se pudo analizar que en presencia de perturbación es mejor utilizar el sistema con observador, puesto que éste garantiza un menor esfuerzo de control y por lo tanto ahorro de energía en el proceso.AGRADECIMIENTOSLa pasantía del segundo autor en Colombia se realizó con el apoyo del proyecto de  Movilidad Internacional de la Diáspora Científica de Alto Reconocimiento (2012-Colciencias).REFERENCIAS Alberto C., Hincapié O. (2009) “Estudio dinámico de un horno de resistencias eléctricas con-vertido a gas”, Sci. Tech. Año XV, no. 42, pp. 339–344.E. C.A, V. F., and P. P.F(2011), “Control multivariable por modos deslizantes de segundo orden para un sistema eólico basado en un generador de inducción de doble salida”, Cuarto Congr. Nac. – Terc. Congr. Iberoam. Hidrógeno y Fuentes Sustentables Energía –G. A  (2002), “Robust Block Descomposition Sliding Mode Control Design” ,Math. Probl. Eng., vol. 8, no. 4–5, pp. 349–365. Marulanda J. (2012), “Estimación de los Parámetros de un Modelo de un Horno de Arco Eléc-trico Usando Máxima Verosimilitud”, Rev. Tecno Lógicas, no. 29, pp. 69–89.Levant A (1993), “Sliding order and sliding accuracy in sliding mode control”, Int. J. Control, vol. 58, no. 6, pp. 1247–1263.Osorio B. (2012), “Observador de Estado Mediante Modos Deslizantes de Alto Orden para Procesos no Lineales” Rosales J. y Ferreira A. (2009), “Control robusto por salida basado en un Observador por Mo-dos Deslizantes para un Helicóptero de 3 grados de libertad”, Congr. Anu. la Asoc. México Control Automático. Zacatecas, México, no. 2.Sierra M. y  Chejne F. (2005), “Evolución de la temperatura en hornos eléctricos mediante balances de materia y energía”, Energética 34.  Estrategias de control y estimación de estado por modos deslizantes para un horno eléctrico

Estrategias de control y estimación de estado por modos deslizantes para un horno eléctrico

Este artículo presenta el diseño de un observador por modos deslizantes de segundo orden para una planta con modelo lineal, asumiendo ruido en la variable medida. Adicionalmente se propone un controlador de alto orden por modos deslizantes para una de las variables de estado asociadas al proceso. Para finalizar, se realiza un ejemplo con las respectivas simulaciones.Universidad Nacional de ColombiaCinvestavColcienciasBanco Mundia

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente 2013-10-23 Estrategias de control y estimación de estadopor modos deslizantes para un horno eléctrico Maceas-Henao, Michelle; Sánchez-Torres, Juan D.; Botero-Castro, Héctor Maceas-Henao, M.; Sánchez-Torres, J. D.; Botero-Castro, H. (2013). Estrategias de control yestimación de estado por modos deslizantes para un horno eléctrico. III Congreso Internacional deInstrumentación Control y Telecomunicaciones - CIICT 2013. Colombia.  Enlace directo al documento: http://hdl.handle.net/11117/3279 Este documento obtenido del Repositorio Institucional del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores deOccidente se pone a disposición general bajo los términos y condiciones de la siguiente licencia:http://quijote.biblio.iteso.mx/licencias/CC-BY-NC-2.5-MX.pdf (El documento empieza en la siguiente página)Repositorio Institucional del ITESO rei.iteso.mxDepartamento de Matemáticas y Física DMAF - Artículos y ponencias con arbitraje  Estrategias de Control y Estimación de Estado por Modos Deslizantes para un Horno Eléctrico   *Michelle Maceas Henao, **Juan Diego Sánchez Torres, *Héctor Botero Castro * Universidad Nacional de Colombia – Sede Medellín. Facultad de Minas. ** Departamento de Ingeniería Eléctrica.  CINVESTAV, Unidad Guadalajara.   mmaceash@unal.edu.co jdsanch1@gmail.com habotero@unal.edu.co   Resumen— Este artículo presenta el diseño de un observador por modos deslizantes de segundo orden para una planta con modelo lineal, asumiendo ruido en la variable medida. Adicionalmente se propone un controlador de alto orden por modos deslizantes para una de las variables de estado asociadas al proceso. Para finalizar, se realiza un ejemplo con las respectivas simulaciones.  Palabras clave— Observador, Robustez, Modos Deslizantes  I. INTRODUCCIÓN   n la teoría de control clásica es necesario medir algunas variables en los procesos para lograr implementar las estrategias de control. Sin embargo, el alto costo de implantar sensores por cada variable ha hecho que se busquen alternativas como los observadores de estado. En este artículo se propone una estrategia de  estimación de estado y control de un horno eléctrico.  Para ello, se propone un observador por modos deslizantes, puesto que este tipo de observadores presentan ciertas ventajas con respecto a los observadores convencionales, como [1]:  Trabajan con dinámicas de error de observación reducidas.  Pueden tener convergencia en tiempo finito de todas las variables de estado.  Poseen robustez ante variación de parámetros si se cumple la condición de ajuste (matching).  Presentan insensibilidad, más que robustez, con respecto a las entradas desconocidas.  Adicional a esto, se propone un controlador de orden superior por modos deslizantes, ya que presenta robustez ante perturbaciones de diversos tipos, incertidumbres en los modelos y dinámica no modelada [2-5]. Además, dicho controlador se diseña con algoritmos sencillos, simples de implementar y de baja carga computacional. Otra ventaja de este tipo de controlador es la reducción del  chattering (vibraciones de alta frecuencia originadas por trabajar con frecuencias de conmutación finitas) mediante la síntesis de acciones de control continuas [6].  II. MODELO DEL SISTEMA El modelo de  horno eléctrico que trabaja aquí  cuenta con tres termocuplas (𝑇1, 𝑇2, 𝑇3), un calefactor (U) y se supone que el mismo puede ser perturbado por una temperatura externa (𝑇𝑒𝑥𝑡), como se muestra en la Figura 1.   Fig. 1. Esquema del horno eléctrico. El sistema de ecuaciones (1) presenta los balances de energía que describen el comportamiento del horno eléctrico planteado [7, 8, 9]. [8][][8] 𝐶1𝑑𝑇1𝑑𝑡= ?̇? −(𝑇1−𝑇2)𝑅1               E   𝐶2𝑑𝑇2𝑑𝑡=(𝑇1−𝑇2)𝑅1−(𝑇2−𝑇3)𝑅2   (1)                     𝐶3𝑑𝑇3𝑑𝑡=(𝑇2−𝑇3)𝑅2−(𝑇3−𝑇𝑒𝑥𝑡)𝑅3   Donde Ti representan las temperaturas en cada una de las secciones, Ci representan las capacidades calorífica, Ri representan las resistencias térmicas de las secciones y U es la acción de control. III. DISEÑO DEL OBSERVADOR Y EL CONTROLADOR A. Diseño del Observador de Segundo Orden por Modos Deslizantes. El modelo (1) se puede representar de la forma lineal en variables de estado. Por lo tanto, la dinámica del observador por modos deslizantes es (Levant ,1993):   [?̂?1̇?̂?2̇?̂?3̇]=[𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33] [?̂?1?̂?2?̂?3] +[𝑏1𝑏2𝑏3]U+[𝑘𝑘 ∗ 𝑚1𝑘 ∗ 𝑚2] *|?̃?1|1/2 ∗𝑠𝑖𝑔𝑛(?̃?1) + 𝑢1 𝑢1̇ = 𝑘2 ∗ 𝑠𝑖𝑔𝑛(?̃?1)     (2)             En este caso se asume como estado medido a 𝑥1. La dinámica del error es de la forma  ?̃? = 𝑥 − ?̂?. Por lo tanto, para el modelo (1) y el observador (2), la dinámica del error es:  [?̃?1̇?̃?2̇?̃?3̇]=[𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33] [?̃?1?̃?2?̃?3]  - [𝑘𝑘 ∗ 𝑚1𝑘 ∗ 𝑚2] |?̃?1|1/2sign(?̃?1)+u1 𝑢1̇ = 𝑘2 ∗ 𝑠𝑖𝑔𝑛(?̃?1)      (3) Para encontrar el valor de las constantes m1 y m2 se utiliza el regulador cuadrático lineal (LQR), el cual es un algoritmo matemático que minimiza la función de coste con factores de ponderación proporcionados por el diseñador; en este caso minimizan las desviaciones en el error. B. Diseño controlador de orden superior por modos deslizantes La variable de estado que se desea controlar es 𝑥2, por ser la temperatura que representa el núcleo o centro  del horno. Para el diseño del controlador se usa la técnica de control a bloques (Loukianov 1998). Para satisfacer  la estabilidad de la temperatura 𝑥2, se define el error de control como: 𝑒2 = 𝑥2 - 𝑥2𝑟𝑒𝑓.               (4) La derivada de (4) alrededor de la trayectoria de (1) es: 𝑒2̇ = 𝑥2̇ - 𝑥2𝑟𝑒𝑓̇                    (5) 𝑒2̇ =𝑎21 𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 -𝑥2𝑟𝑒𝑓̇  Para introducir la dinámica deseada se propone 𝑥1 tal que el error en tiempo finito tienda a cero, como se muestra en la ecuación 6: 𝑥1𝑑𝑒𝑠 =1𝑎21 (−𝑎22𝑥2 − 𝑎23𝑥3 +𝑥2𝑟𝑒𝑓  ̇ − 𝑘1 𝑒2)            (6) Por lo tanto: 𝑒1 = 𝑥1 - 𝑥1𝑑𝑒𝑠               (7) 𝑒1̇ = 𝑥1̇ - 𝑥1𝑑𝑒𝑠̇  𝑒1̇ = 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3+ U+𝑥1𝑑𝑒𝑠̇                           (8)                         Si despejamos U de la Ecuación (8) encontraremos la ecuación del controlador: 𝑈 = −(𝑎21 𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3+𝑥1𝑑𝑒𝑠̇ )- 𝑘2𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑒1)                   (9)  IV. EJEMPLO NUMÉRICO Y  SIMULACIONES                En la  ecuación (10), se observa la representación es espacio de estados del modelo, con parámetros: [𝑥1̇𝑥2̇𝑥3̇]=[    −32120    12−112    012−32]    [𝑥1𝑥2𝑥3] +[100]U +[001]𝑇𝑒𝑥                            (10) A continuación se detallan los cálculos del observador y del controlador.  A. Observador de segundo orden por modos deslizantes Para el diseño del observador se lleva el modelo de estados a la forma que se mostró en la ecuación (3) y que se retoma aquí:   [?̂?1̇?̂?2̇?̂?3̇] = [𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33] [?̂?1?̂?2?̂?3]  + [𝑏1𝑏2𝑏3] U+ [𝑘𝑘 ∗ 𝑚1𝑘 ∗ 𝑚2]  * |?̃?1|1/2 ∗𝑠𝑖𝑔𝑛(?̃?1) + 𝑢1     𝑢1̇ = 𝑘2 ∗ 𝑠𝑖𝑔𝑛(?̃?1)  Sin embargo, para encontrar los valores de 𝑚1 y 𝑚2, se debe llevar este sistema a la forma de la Ecuación (11):  [?̂?1̇?̂?2̇]=[𝐴11 𝐴12𝐴21 𝐴22] [?̂?1?̂?2]  +[𝑘𝑘 ∗ 𝑀] *|?̃?1|1/2∗ 𝑠𝑖𝑔𝑛(?̃?1)+ 𝑢1         (11) Donde ?̂?1 es el vector de estados medidos (?̂?1)  y ?̂?2 son los estados observados ( ?̂?2, ?̂?3 ). Para analizar cómo encontrar el valor de las constantes mi, es necesario hallar la dinámica del error de la ecuación (11), que viene dada por: 𝑋1̃̇ = 𝐴11 ?̃?1 + 𝐴12 ?̃?2 - k*|?̃?1|1/2∗ 𝑠𝑖𝑔𝑛(?̃?1) - 𝑢1          (12) 𝑢1̇ = 𝑘2 ∗ 𝑠𝑖𝑔𝑛(?̃?1)  𝑋2̃̇ = 𝐴21 ?̃?1 + 𝐴22 ?̃?2 - k*𝑀 ∗ |?̃?1|1/2∗ 𝑠𝑖𝑔𝑛(?̃?1) - 𝑢1         (13) La ecuación (12) indica que después de un tiempo finito  𝑋1̂ =𝑋1 , por lo tanto  𝑋1̃, 𝑋1̃̇   son iguales a  cero, y de esta  manera  se obtiene: 𝑢1 = 𝐴 12 ?̃?2               (14) Si se remplaza (14) en (13), se obtiene: 𝑋2̃̇ =( 𝐴22  - M* 𝐴 12) ?̃?2             (15) Donde 𝐴22 = [𝑎22 𝑎23𝑎32 𝑎33]  y  𝐴12 = [𝑎12  𝑎13] Remplazando lo respectivos valores de la ecuación (15), se obtiene la ecuación (16), que permite hallar los valores de las constantes 𝑚1 y 𝑚2: [𝑝1𝑑𝑒𝑠𝑝2𝑑𝑒𝑠]=[−1     1212−32] - [𝑚1𝑚2] ∗ [12  0]           (16) Con lo cual se obtiene   𝑚1 =0.2756 y  𝑚2 =0.0892. Adicionalmente, se asume k=1 y k2=2 , para que el sistema de error entre en modos deslizantes. Los resultados de simulación del observador se muestran en la Figura (2).  Fig. 2.Comparación de cada estado con su respectiva observación. Como se puede ver en las Figuras anteriores,  el diseño del observador logra respuesta con error cero en la estimación para todas las variables de estado y un tiempo de convergencia muy bajo. Para probar condiciones de ruido, en las Figuras  3,4 y 5 se muestran los distintos estados asumiendo ruido de medición. Al igual que en la Figura 2 se nota que el observador por modos deslizantes de segundo orden presenta un buen desempeño. Fig. 3.. 0 5 10 15 20 25 300510Tiempo(s)X1 Temperatura (°C)Comparación estado real & estado observado  0 5 10 15 20 25 300102030Tiempo(s)X2 Temperatura (°C)0 5 10 15 20 25 300510Tiempo(s)X3 Temperatura (°C)   Estado estimadoEstado real0 5 10 15 20 25 30-1001020304050Tiempo (s)Temperatura (°C)X1 medido VS X1 observado  X1 medidoX1 observado  Fig. 4. Comparación de x2 medido vs x2 estimado. Fig. 5. Comparación de x3 medido vs x3 estimado. B. Controlador de orden superior por modos deslizantes El diseño del controlador para la temperatura x2 se realizó como se explicó en la sección anterior, obteniéndose la acción de control (9). En las Figuras 5 a 7 se observa cómo el controlador sigue la referencia deseada y cómo responde ante perturbaciones.   Fig 5. Respuesta del Controlador con perturbación a los 30 s  del 20 % del valor de estado estacionario.  Fig. 6. Sistema con controlador y observador. Fig. 7. Comparación esfuerzos de control con observador y sin este. Como se puede ver,  el sistema responde muy bien, aun cuando el controlador supone como variables medidas las variables estimadas. El sobreimpulso inicial es  aproximadamente igual cuando se prueba el controlador con las variables del modelo y con las variables estimadas, lo cual muestra el buen funcionamiento del observador.  Finalmente, en la Figura 7 se puede observar una comparación de los esfuerzos de control del sistema con  la perturbación. Es evidente que el esfuerzo de control con el observador de segundo orden es menor que en ausencia de este, esto se debe a que el observador asume como conocida la perturbación, y por lo tanto  es menor el esfuerzo para rechazarla. IV CONCLUSIONES En este trabajo se propuso un esquema de estimación y control por modos deslizantes para un horno. Los resultados del esquema propuestos fueron buenos, lo cual se verificó 0 5 10 15 20 25 30051015202530Tiempo (s)Temperatura (°C)X2 real VS X2 observado  X2 realX2 observado0 5 10 15 20 25 300123456789Tiempo (s)Temperatura (°C)X3 real vs X3 estimada   X3 realX3 estimada0 5 10 15 20 25 30 35 4022232425262728293031Tiempo (s)Temperatura (°C)Controlador con perturbación0 5 10 15 20 25 30 35 4022232425262728293031Tiempo (s)Temperatura (°C)Sistema con controlador y observador   Señal controladaRefencia0 10 20 30 40 50 6020253035404550Tiempo (s)Esfuerzo de control Comparación esfuerzo de controlcontrolador vs controlador observador  Esfuerzo controlador observadorEsfuerzo controlador  mediante simulación analizando la dinámica del error de estimación y la dinámica de error de seguimiento de la referencia. Para ambas dinámicas se logró un seguimiento con bajo tiempo de establecimiento, bajo sobreimpulso y error de estado estacionario cero. Adicionalmente, el esquema se probó ante situaciones de ruido en el sensor, con resultados satisfactorios. En este sentido, se pudo ver que el observador por modos deslizantes puede ser utilizado como un filtro, puesto que en presencia del ruido en el sensor, la variable estimada tuvo menor varianza que la variable medida.  Finalmente, se pudo analizar que en presencia de perturbación es mejor utilizar el sistema con observador, puesto que este garantiza un menor esfuerzo de control y por lo tanto ahorro de energía en el proceso. AGRADECIMIENTOS  La pasantía del segundo autor en Colombia se realizó con el apoyo del proyecto de  Movilidad Internacional de la Diáspora Científica de Alto Reconocimiento (2012-Colciencias) – Banco Mundial.    REFERENCIAS [1] Osorio - Giraldo, Bertulfo, “Observador de Estado Mediante Modos Deslizantes de Alto Orden para Procesos no Lineales”, Tesis de Maestría Universidad Nacional de Colombia. 2012. 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Marulanda-durango, “Estimación de los Parámetros de un Modelo de un Horno de Arco Eléctrico Usando Máxima Verosimilitud,” Rev. Tecno Lógicas, no. 29, pp. 69–89, 2012. [9] C. M. Sierra and F. Chejne, “evolución de la temperatura en hornos eléctricos mediante balances de materia y energía,” Energética 34, 2005.     

http://rei.iteso.mx/bitstream/handle/11117/3262/01R.%20858-2663-1-PB.pdf?sequence=2

Estrategias de control y estimación de estado por modos deslizantes para un horno eléctrico

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