En este trabajo estudiamos las relaciones existentes entre funciones —campos tangentes y funciones reales— definidas sobre variedades diferenciables y la topología de dichas variedades. Para ello usamos diversas técnicas de Topología Diferencial. Los resultados principales son el Teorema del Indice de Poincaré-Hopf y la fórmula de Gauss-Bonnet para hipersuperficies de dimensión par. Básicamente ambos resultados muestran que ciertas cantidades geométricas —el índice total de un campo tangente y la curvatura íntegra— son invariantes topológicos de las variedades donde están definidas. Para la obtención de estos teoremas nuestra principal herramienta será el grado topológico de Brouwer-Kronecker; con su ayuda podremos definir la noción clave de este artículo: el índice de un campo tangente en una singularidad aislada. En el trascurso de este escrito también desarrollamos los principios de la Teoría de Morse, los cuales nos permiten demostrar el Teorema de Reeb. Finalmente, también estudiamos bajo que condiciones se puede garantizar la existencia de campos tangentes a variedades nunca nulos
