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Holz, Arno

山崎, 義武

落合, 萌

Kyoto University Research Information Repository

Title14. On the Generalized Law of Regression of Fluctuations inStochastic ProcessesAuthor(s)落合, 萌; 山崎, 義武; Holz, ArnoCitation物性研究 (1986), 46(6): 860-864Issue Date1986-09-20URL http://hdl.handle.net/2433/92302RightType Departmental Bulletin PaperTextversionpublisherKyoto University研究会報告文 献1) 原 啓明 :数理科学No.269,35(1985)ILHara:ScienceonFonn1,59(1985)2)原 啓明 :電子通信学会,MBE85-87,59(1986)3) G.NicolisandA,Babloyantz:∫.Chem.Phys.51,2632(1969)4) B･Katz:Nerve,muscleandsynapse(1966),NewYorkMcgraw-Hil･5) D.H.AckleyandG.E.Hinton:CognitiveScience9,147(1985)14.0ntheGeneralizedLaw ofRegressionorFluctuationsinStochasticProcesses湘北短大 ･電子東 北 大 ･工ザールランド大 ･物理 ? ?????????????非平衡状態にある系で,緩和過程の各種ステージを特徴づける空間あるいは時間サイズがそれぞれのステージで明確に分離されているかぎり,粗視化の手法に scalingexpansionmethodl)は有効である｡ 観たいステージを表わすパターンに特徴的なサイズで scalingをくりかえすことにより,対応するパターンの形成過程とそれを記述する決定論的径路およびゆらぎに関する閉じた方程式を定めることができる｡ここでは,各種パ ターンを特徴づける決定論的径路を線型近似の範囲内で論ずれば,これがそのまわりのゆらぎの従 う運動方程式に一致することを報告する｡Onsagerの regressionoffluctuationsの仮定が, ただたんに熱平衡状態においてのみいえたことに対し,本報告ではこれが拡張できて,着目する各ステージそれぞれにおいて成立していることが,マスター方程式できまる微視的立場からいえたわけで,このことは非平衡系の緩和過程を scalingexpansionmethodにより粗視化をくりかえすことにより組織的に論じ,regressionofflucfuationsの仮定から, 仮定の枠をとりはずす一般化が行えたことも意味する｡体系を記述する巨視的変数Aはあらゆる時間 ･空間モー ドを含み,これは,調べたいサイズ-860-｢パターン形成の運動及び統計｣A-∑Bva(〟)L/のべキ則で(1)と書かれる2)o avはBリでスケールされた不変量で,サイズByを持っパターンを特徴づける物理量である｡いま,理想気体から成る系を採 り,そのふるまいを,位置座標をぬりつぶした運動量座標から成る位相空間で考える｡この位相空間を巨視的サイズⅤの細胞に分けi番目の細胞中の時刻tにおける分子数をniとすれば,p(nl , n2,-,ni, nj,- ;i)… P(tnJ;i)を確率密度関数として,マスター方程式は∂P(tni;i) 1∂f 2 i]FkZ αkZijninj P(tnI;i)(ij≒克Z)1+盲 i]Pklαij kl(nk+1)(nl+1)p(tn)I,n了 1,n了 1,nk+1,nz+1;i) (2)と書ける｡ただし,2体衝突のみを考え,せん移確率に衝突数算出の仮定と分子混沌の仮定を入れたO｡i,klは衝突の断面積であるo系のゆらぎの様子を知るにはモーメントの運動方程式を得るより,キュムラントの運動方程式を導いて論じた方が直裁的で都合がよい｡キュムラントの母関数を導入し,(2)式を∂C,a(tit);i)∂f×(αu ij ei(fk+El十 fj)∂cn((ifI;り ∂cn((iEi;日 .∂2cn (tifi;り∂(iE乙) ∂(ifj) ∂(iEi)∂(ifj)と書けば,1次,2次のキュムラントllp,'jlplqの従う式はそれぞれa jlp(i)∂≠ 宍ノ αpzij‖ 1i(i)llj(i)+llil'(i) )(pZ≒ij)-861-) (3)研究会報告および∂}lp lq∂t∑αklpj(lp(i)}lj(i)+llplj(i))kZj(kZ*pj)1=盲 〔+ ∑ZkZ(kZ≒卯 )- 4∑kj(kpキqi)- 4 ∑kj(kqtkpj)+ ∑.li)(pZ≒ij)+ ∑Zij(qZ≒ij)∑kZj(kZ*pj)F, (apqij'α如 ･)( l li( i)l lj(i)H l ilj(i) )(ijjspq)(αklpq+αklgp)( l lp (i)} lq( i)+ } lp lq(tHα kp qj t ス lq(i)l lj(i)+ }lqlj (i) )αkqm･(ll-p(i)llj(i)+ llplj(i))aplijt411qli(i)}li(i)+21lqlilj(i))αqzijt4}lpli(i)llj(i)+2ス1plilj(i))(4)αklM･‡2llqlp(i)llj(i)+21lqlj(i)lip(i)+2スlqlp lj (i)I- kFj αkl"･(2 } 1plq(i)l lj(i)' 2llplj(i)}lq(i)' 2llq lp lj(i) )(kZ≒qj)(5)となる｡これらは鎖方程式の最初の2式を書き下したものにすぎず,閉じた関係を与えていない｡scalingexpansionmethodl)により,1 1llp(i)- vip(i)+V2<u >…vfp(i)+V2up(i)PAlplq(i)=Vqpq(i)が得られ,また,最も有効な項を拾わねばならないことからαijkZ- VIAijkl-862-(8)｢パターン形成の運動及び統計｣ととり,鎖は解けて決定論的方程式dfp(i)d≠∑(Zij(pZ≒ij)そのまわりのゆらぎを与える式｡LI･(/)dtAplijfi(i)fj(tト Aijplfp(i)fz(i))∑ 〔Aplijtfi(i)uj(i)+fj(i)ui(i))Zi)(pZキij)- Aijpl(fp(i)ul(i)+fz(i)up(i)Iゆらぎの分散をきめる式dopq(i)qi 芳 Apqijfi(i)fj(i)I ke Aklpqfp(i)fq(i)(pZキij) (kZ*pq)-2 ∑ Akpqjfq(i)fj(i)-2 ∑ AkqpJ･fp(i)f)･(i)kj kj(kp≒qj) (kpi;pj)'21Fg,AplijOqi(i)f,I(i)'2 え･ A ql ijOpi(i)fj (i)(pZキij) (qZ≒ij)- ∑kZ]AkZMptqqp (i)fj(i)+oqj(i)fp(i))(u 主甲j)-∑Aklqjtopq(i)fj( i ) + op)･(i)fq(i)ikZj(kZ≒qj)が得られる｡(9)式は非線型 Boltzmann方程式で,いまこれを線型近似の範囲でみればd打Afp(i)= ∑〔Aplijtfj(i)Aft(i)+fi(i)Afj(i)Ilij(pz≒ij)-Ai)･pltfz(i)Afp(i)+fp(i)Aft(i)〕(9)3日割(11)(12)が得られる｡ただしf(i)-f(e)… Af(i).(10)式は(9)式できめられるパターンのまわりのゆらぎの様子を表わしたもので,ゆらぎの緩和過程をみせてくれている｡-863-研究会報告一方,(12)式は線型近似が成立する領域,つまり平衡あるいは定常過程近傍での,巨視的物理量の緩和の様子を定めた式である｡これを(10)式と比較すれば,変数の満たす式の構造は一致し,このことは線型近似の成 り立っ領域内にあってはそのまわりのゆらぎの緩和過程がたしかに巨視的物理量の緩和の様子に等しいことを主張する｡線型領域におけるゆらぎの緩和が巨視的物理量のそれに一致するという事実は着目するパターン形成に対応する各ステージにおいて成立し,このことからこれはまた,ブラウン運動論でいわれている自己相似性を支持するものにはかならない｡本報告において,Onsagerのいう regressionoffluctuationの仮定から仮定の枠組をとりはずした一般化が行えたことと,同時にいえた自己相似性によって,ゆらぎの綬和則が普偏性の高い法則となりえたことを解析的に示せたことは新 しい｡参 考 文 献1) M.Ochiai:Let.NuovoCimento40(1984)4332) M.Ochiai,A.HolzandY.Yamazakitobepublished15.細長い棒状弾性体における動力学東大 ･教養 鶴 秀 生細長い棒状の連続体は局所的に微少な変形しか許さない場合でも全体的には大変形を伴うことができる｡このような大変形の影響を考慮することによって,弾性体の運動を記述する方程式は線形の弾性法則に従う場合でも大変複雑な非線形方程式となる｡大変形の影響を考慮した細長い棒状弾性体の運動方程式は変分法を使って導かれる｡その方程式を基にして様々な運動を調べることにする｡特にソリトン解が存在することがわかった｡弾性体の変形による弾性エネルギーと‖j:,曲げの弾性エネルギーUb と換 りの弾性エネルギ-Utの和で表すことができる｡N -U州 - 言 f L( 0 ,2+ sin209,2)ds･i t L(cosop,･y )2dsここで(′)は棒の弧長に対する微分,A,Cは曲げと振りの弾性定数,0･,¢,少はオイラー角である.また運動エネルギーKは,棒の並進運動によるエネルギーKtr,按ベクトルの回転-864-

14. On the Generalized Law of Regression of Fluctuations in Stochastic Processes

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