木村, 欣司

高橋, 大輔

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Titleセルオートマトンと差分方程式 (離散可積分系に関する最近の話題)Author(s)高橋, 大輔; 木村, 欣司Citation数理解析研究所講究録 (2000), 1170: 119-128Issue Date2000-09URL http://hdl.handle.net/2433/64405RightType Departmental Bulletin PaperTextversionpublisherKyoto University–21 CA90– (Cellular Automaton, $\mathrm{C}\mathrm{A}$ ) [1]$\mathrm{C}\mathrm{A}$[2]1 $U_{j}^{t}$ $t$ $j$$0$ 1$t+1$ $j$$t$ 3 $(j-1, j, j+1)$ $0,1$- $\mathrm{C}\mathrm{A}$ – CAWolfram Elementary $\mathrm{C}\mathrm{A}$ (ECA) ECAWolfram$0,1$ 2 $(01011010)_{2}=(90)_{10}$90 CA CA90CA90 1 $\blacksquare$1 $\square$ $0$ 1$0$Sierpinski–1170 2000 119-128 119+1 $=U_{j-1}^{t}\text{ }U_{j1}^{t}+$ (1)2 $0$ $0=1$ $1=0$ ,$0$ $1=1$ $0=1$(1) 21 2(1) $\text{ }+\text{ }$1 2$+$$1+1=2$ CA$X$ $Y=Y$ $X$ , (X $Y$) $Z=X$ ($Y$ $Z$) (2)(1) (1)2 $V_{j}^{t},$ $W_{j}^{t}$ $U_{j}^{t}=V_{j}t$ $W_{j}^{t}$$U_{j}^{t+1}=V_{j}^{t+1}$ $W_{j}^{t+1}$ $=$ ( $V_{j-1}^{t}$ $V_{j+1}^{t}$ ) ( $W_{j-1}^{t}$ $W_{j+1}^{t}$ ) $=U_{j-1}^{t}$ $U_{j+1}^{t}$$\lim_{\inarrow+0}\epsilon\lim(eA/\epsilon+e^{B/\epsilon}+\cdots)=\max(A, B, \cdots)$ (3)CA90[2, 3, 4](2)$\max$$X \oplus Y=\max(x, Y)-\max(\mathrm{O}, x+Y-1)$$\oplus$ 2 $X,$ $Y\in$$\{0,1\}$ $X\oplus Y=^{x}$ Y $\max(A, B)+C=\max(A+C, B+c)$ ,$\max(\max(A, B),$ $C)= \max(A, B, c)$ $\oplus$$\oplus$$U\in\{0,1\}$ (1)$U_{j}^{t+}1=U_{j}t \oplus-1j+1U^{t}=\max(Ut-1’ Ut)jj+1-\max(\mathrm{o}, UtU-1^{+}j+1-1t)j$ (4)120(3)$u_{j}^{t+1}=(u_{j-1}^{t}+u_{j+1}^{t})/(1+u_{j-1}^{tt}u_{j+}1)$ (5)$u=\exp((U-1/2)/\epsilon)$ $\epsilonarrow+0$ (4)$x\oplus y=(_{X+y)}/(1+xy)$ (6)$\oplus$ (1), (4), (5)(5) (4) (4)(1)(5) .. . $0010^{2}00010^{2}00\cdots$ 3(a). . . $0010^{4}00010^{4}00$ :. . 3(b)$\tanh$ $\tanh(X+y)=(\tanh_{X+}\tanh y)/(1+\tanh x\tanh y)$(6) $u=\tanh v$ (5)$v_{j}^{t+t}1=v_{j}^{t}-1+v_{j+1}$ (7)$+$(7) (5) (5) (4)$z=x+y$$X=f(x)$$Z=f(f^{-1}(X)+f^{-}1(Y))\equiv X\oplus Y$$\oplus$$z=x\mathrm{x}y$$Z=f(f^{-1}(X)\cross f^{-1}(Y))\equiv X\otimes Y$$\oplus,$ $\otimes$121– $f(x)=\tanh_{X}$$X\oplus Y=\tanh(\tanh^{-1}(X)+\tanh^{-1}(Y))=(X+Y)/(1+XY)$$X\otimes Y=\tanh(\tanh^{-1}(X)\cross\tanh^{-1}(Y))$( )$f(x)=\exp(X/\epsilon)$ $\epsilonarrow+0$$X\oplus Y=\mathcal{E}\log(e^{x/}+e\Xi Y/\epsilon)$$X\otimes Y=\epsilon\log(e^{X}/\epsilon\cross e^{Y/\in})=X+Y$$\epsilonarrow+0$$X \oplus Y=\max(X, Y)$$X\otimes Y=X+Y$$+,$ $\cross$ $\max$ $+$2$\lim_{\epsilonarrow+0}\in\log(e^{A/}-e)\in B/\epsilon$122$A<B$$A=B$ (5) 1$u_{j}^{t+1}=(u_{j-1^{-}}^{tt}u_{j+1})/(1+u_{j-1}^{tt}u_{j+}1)$$u=\exp(U/\epsilon)$ $\epsilonarrow+0$$U$–$\max$ $+$[5, 6, 7] FitzHugh-Nagumo$\{$$u_{t}=u_{xx}+u(1-u)(u-a)-v$$v_{t}=\epsilon(u-\gamma v)$2Belouzov-Zhabotinsky$\{$$u_{t}=D_{u} \triangle u+\frac{1}{\delta}\{u(1-u)-\frac{Fv(u-q)}{u+q}\}$$v_{t}=D_{v}\triangle v+u-v$1123$\mathrm{Y}$1 2A $\mathrm{B}$$\bullet$ A$\bullet$ A $\mathrm{B}$$\bullet$$\mathrm{B}$ A A$\bullet$$\mathrm{B}$ A A$-$$[8, 9]$$\{$$u_{j}^{t+1}= \max(u_{j-1}^{t}, u_{j}^{tt}, u_{j1}+)-v_{j}t$$v_{j}^{t+1}=u_{j}^{t}$(8)(8) $v$$u_{j}^{t+1}= \max(u_{j-1}^{t}, u_{j}^{t}, u_{j}^{t})+1$$u$$u$ $0$(8)$v$ 1 $v$ $u$$v$ $u$ $v$u $u$4$v$ 1 $u$ $u$(a) 1 (b) 1$0pp0$ $0pp+qq0(p, q>0)$$0$$0$ $u$124$v$ 11(c) (d)2(e), (f), (g)(h)(i) 0110 2 012100220 (c)(8) –(8) u-$u_{j}^{t+1}+u_{j}^{t-1}= \max(u_{j-1}^{t}, u_{j}^{t}, u_{j-1}^{t})$[1] S. Wolham, $\lceil \mathrm{C}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}$ Automata and $\mathrm{C}_{\mathrm{o}\mathrm{m}}\mathrm{p}\iota_{\mathrm{e}\mathrm{X}}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}\rfloor$ , Addison-Wesley (1994).[2] , ‘ ’, 435 (1999) 12-17.[3] , , , , ‘–,, 52 (1997)276-279.[4] , ‘ ’, 405 (1997) 33-39.[5] , 1 ( ),(1999).[6] , ( / ),(1997).125[7] , III, (1998).[8] ,(2000) 141-146.[9] , ‘ ’,11 .$\mathrm{t}$$\mathrm{t}$1: CA90 2: 2 1$\mathrm{t}$(a) (b)3: (5). . . . 11. . . 132. . . . . . . . . . . . 22. . 121. 11. . . . .. . . . . 11. . . 132. . . . . .. . . . . 22. . 121. 11. . . . . .. . . . . . 11. . . 132. . . . . . . . 22. . 121. 11. . . . . . .(a) (b). . . . . . . . . . . . . . . 1. . . . . ,. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 1 $\ldots\ldots\ldots...\cdot$ .. . . . . . . . . . . . . 11. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 11. 1. . . . . . . . . . . .. . . . . . . ;. . . 11. . 11. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 11. . 1. 11. . . . . . . . . .. . . . . . . . . 11. . 11. . 11. . . . . . . . .. . . . . . . . 11. . 11. 1. . 11. . . . . . . .. . . . . . . 11. . 11. . 11. . 11. . . . . . .. . . . . . 11. . 11. . 1. 11. . 11. . . . . .. . . . . 11. . 11. . 11. . 11. . 11. . . . .. . . . 11. . 11. . 11. 1. . 11. . 11. . . .. . . 11. . 11. . 11. . 11. . 11. . 11. . .126(c). . . . . . . . . . . . . . 1111. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 111111. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 11. . . . 11. . . . . . . .. . . . . . . . . . . 11. . $\mathrm{a}\mathrm{a}$ . 11 $\ldots$ . . . . . . .$=\cdots\cdots\cdot\cdot$ . 11 $\ldots\ldots.$ . 11. . . . . . . . .. . . . . . . . . 11. . . . 11. . . . 11. . . . . . . . .. . . . . . . . 11. . . . 1111. . . . 11. . . . . . . .. . . . . . . 11. . . . 11. . 11. . 11. . . . . . .. . . . . . 11. . . . 11. . . 11. . 11. . . . . .. . . . . 11. . . . 11. . . . . . 11. 11. . . . .. . . . 11. . . . 11. . . . . . 11. . . . 11. . . .. . . 11. . . . 11. . . . . . . . . 11. . . 11. . .’ $(\mathrm{d})$. . 121. . . . 12111. . . . . . 11. . . . . . 121. . . 121.11. . . . 11. . . . . . . 121. 121. .. . 11. . 11. . . . 12121. . .. . . 1111. . . . . . . . .. . . . . 121. . . .. . 11. . . . . . . . . . . . . . . . 1. . . .. . . . . . . . . $\mathrm{a}\ldots\ldots$ .:.. . . . . . . . $\mathrm{a}\mathrm{a}\ldots\ldots.$ . . :. . ,. . . . . $\mathrm{a}\ldots\ldots\ldots$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. . . . . . . , .. . 11. . . . . . . . . . . . . 121. . . . . . , .. . 1111. . . . . . . . . . . 12121.. . . . . . 11. . 11. . . . . . . . . .. . . . . 121. 121. . . . . .. . . . 11. . . . 11. . . . . . . . . 121. . . 121. . . . .. . . . 11. . . . . . 11. . . . . . . . 121. . . . 121. . . .. . . 11. . . . . . . . 11. . . 121. . .. . . . . 121. . .(e) (f)11. . 11. . . . . . . 11. . 11. . . . . . . 11. . 11. . . . . 11. . . . . . .. 11. . 11. . . . . 11. . 11. . . . . . . . . 11. . 11. . . 11. . . . . . . .. . 11. . 11. . . 11. . 11. . . . . . . . . . . 11. . 11. 11. . . . . . . . .. . . 11. . 11. 11. . 11. . . . . . . . . . . . . 11. . 111. . . . . . . . . .. . . . 11. . 111. . 11. . . . . . . . . . . . . .. . 11. . 1. . . . . . . . . . .. . . . . 11. . 1. . 11. . . . . . . . . . . . . . . . . 11. . . . . . . . . . . . .. . . . . . 11. . . 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 $\mathrm{a}$ . . . . . . . . . . .. . . . . . . 11all. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. . . . . . . . . . .. . . . . . . . 111. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1121. . . . . . . . .. . . $=\ldots.111\ldots\ldots\ldots.$ . . . . . . . . . . . 11. 121. . . . . . . .. . . . . . 11all. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. . . 121. . . . . . .. . . . . . 11. . . 11. . . . . . . . . . . . . . . . . 11. . . . . 121. . . . . .. . . . . 11. . 1. . 11. . . . . . . . . . . . . . . 11. . . . . . . 121. . . . .. . . . 11. . 111. . 11. . . . . . . . . . . . . 11. . . . . . . . . 121. . .. .. . . 11. . 11. 11. . 11. . . . . . . . . . . 11. . . . . . . . . . . 121. . .. . 11. . 11. . . 11. . 11. . . . . . . . . 11. . . . . . . . . . . . . 121. .. 11. . 11. . . . . 11. . 11. . . . . . . 11 $\ldots\ldots\ldots\ldots..‘\cdot 121$ .11. . 11 $\ldots\ldots.11$ . . $11\ldots$(g) (h)12711. . 11. . . . . . . 121. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 11. . 11. . . . . 121. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 11. . 11. . . 121. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 11. . 11. 121. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 11. . 1121. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 11. . 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1111. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 $\mathrm{a}\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots.$ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . $\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{l}\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots.$ .$–\cdot\cdot-\cdots\cdots\cdots\ldots..111\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$ .. . . . . . . . . . . . . . . 22. 11. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2211. 11. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 22. . 1. 11. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 22. . . . 1. 11. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 22. . . . . 11. . 11. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 22. . . . . 1. 11. 11. . . . . . . . . .. . . . . . . . . 22. . . . . 11. . 11. . 11. $\ldots\ldots.$ .. . . . . . . . 22. . . . 11. 1. . 11. . 11. . . . . . . .. . . . . . . 22. . . . . 11. . 11. 11. 11. . . . . . .. . . . . . 22. . . . . 11. . 1. 11. . 11. 11. . . . . .. . . . . 22. . . . 11. . 11. . 11. . 11. 11. . . . .. . . . 22. . . . . 11. . 11. 1. . 11. . 11. . 11. . . .. . . 22. . . . . 11. . 11. . 11. 11. . 11 , . 11. . .. . 22. . . . . 11. . 11. . 1. 11. . 11. . 11. . 11. .. 22. . . . . 11. . 11. . 11. . 11. . 11. 11. . 11.22. . . . . 11. 11. 11. 1. . 11. 11. . 11. . 11(i)4: (8) j $t$ ( )$u$ $.$$0$ $\text{ }\mathrm{a}\text{ }$ $-1$128

セルオートマトンと差分方程式 (離散可積分系に関する最近の話題)

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