Numerically controlled manufacturing machines provide for
machining circles only in two dimensions. As a result of this
limitation a wide variety of shapes can only be machined by
making use of computer-aided design. In this article the theory
is derived and a subroutine developed with which three dimensional
circular interpolation with radius correction is made
available for application in practice.Numeriesbeheerde vervaardigingsmasjiene maak voorsiening vir die sny van sirkels in slegs twee dimensies. Hierdie beperking veroorsaak dat 'n wye reeks vorme slegs m.b.v. rekenaargesteunde ontwerpprogrammatuur gesny kan word. In hierdie artikel word die teorie, afgelei en ' n subroetine ontwikkel waarmee driedimensionele sirkel-interpolasie met radiuskorreksie vir praktykgebruik beskikbaar gestel word.http://sajie.journals.ac.z

Lubbe, Andre J.

UPSpace at the University of Pretoria

ISSN l012-277X S.Afr.J.lnd.Eng.-66-SA ]OWUlM a;} ImltMVt-<-a£ EHg-<-~lee-ung, Vo£ 5, No 2, Vec.embVt 1992, pp.66-goftPRAKTIESE DRIEDIMENSIONELE SIRKEL-INTERPOLASIE VIRNUMERIESBEHEERDE MASJIENEA J LUBBEDepartement Bedryfs- en SisteemingenieursweseUniversiteit van PretoriaOPSOMMINGNumeriesbeheerde vervaardigingsmasjiene maak voorsiening vir diesny van sirkels in slegs twee dimensies. Hierdie beperkingveroorsaak dat 'n wye reeks vorme slegs m.b.v. rekenaargesteundeontwerpprogrammatuur gesny kan word. In hierdie artikel word dieteorie ,afgelei en ' n subroetine ontwikkel waarmee driedimen-sionele sirkel-interpolasie met radiuskorreksie vir praktykge-bruik beskikbaar gestel word.ABSTRACTNumerically controlled manufacturing machines provide formachining circles only in two dimensions. As a result of thislimitation a wide variety of shapes can only be machined bymaking use of computer-aided design. In this article the theoryis derived and a subroutine developed with which three dimen-sional circular interpolation with radius correction is madeavailable for application in practice.http://sajie.journals.ac.za-67-1. INLEIDINGDriedimensionele numeriesbeheerde masjiene kan lineerebewegings in drie asse gelyktydig uitvoer. Sirkelvormigesnyerbewegings m.b.v. sirkel-interpolasie kan egter slegstweedimensioneel uitgevoer word. Vir sirkelvormigebeweging is driedimensionele masJlene in effek slegs twee-en-'n-halfdimensioneel waar twee-en-'n-half-dimensioneelbeteken dat enige twee van die moontlike drie assegelyktydig kan beweeg.Dit dien gelet te word dat met heliese-interpolasie 'nsirkelbeweging gelyktydig met 'n lineere beweging uitgevoerword, maar die resulterende beweging is spiraalvormig ennie sirkelvormig nie. Heliese- interpolasie is dus NIEdieselfde as driedimensionele sirkel-interpolasie nie.Die redes vir bogenoemde beperking t.o.v. sirkelbeweging isdie volgende:-a) Die berekening van punte op die omtrek vanmet die normale wiskundige uitdrukkings nlx 2 + y2 = r 2of x = r cos e eny = r sin e'n sirkelis ' n te stadige proses. Vir punte baie naby aanmekaar op die omtrek van '·n sirkel, kan ' n normalerekenaar (soos gebruik in numeriese beheer) die puntenie vinnig genoeg genereer am te verseker dat diesnyer kontinu beweeg nie. Vir tweedimensionelesirkels is wiskundige soekprosedures ontwikkel waarmeepunte baie vinnig gegenereer kan word en hierdiesoekprosedures word algemeen gebruik vir sirkel-interpolasie in numeriesbeheerde masjiene. Sodanigesoekprosedures is nie vir driedimensionele sirkelsontwikkel nie.b) Al die gegewens wat benodig word om 'n driedimen-sionele sirkel te beskryf, soos bv. die loodregtehttp://sajie.journals.ac.za-68-vektor op die sirkelvlak is nie altyd geredelik be-skikbaar nie. Dit is nie vir die programmeerder vannumeriesbeheerde masjiene 'n eenvoudige taak (soos virtweedimensionele sirkels) om 'n driedimensionele sir~kel vanaf 'n werkstekening wiskundig te beskryf nie.Die enigste praktiese oplossing vir die probleem tot dus-ver, is om van 'n rekenaar gebruik te maak om die punte tegenereer en dan die koordinaatpunte in die beheer van dienumeriesbeheerde masjien in te lees.2. ALGEMENE GEBRUIK VAN DRIEDIMENSIONELE SIRKELSDaar is verskeie toepassings vir driedimensionele sirkel-interpolasie met numeriesbeheerde freesmas jiene waar be-rekeningspoed onbelangrik is. Die belangrikste gebruikhiervan is vir die afronding van randte van plat vlakke watteen 'n helling staan. Sulke afrondingsvlakke word gevormsoos getoon in Figuur 1.---- Endsirkel---11--- Lineere bewegingKlein stappieMronding van 'n randFIGUUR 1'n Klein stappie op die omtrek van die sirkel word gevolgdeur 'n lineere beweging al langs die rand tot by dieendsirkel. Terwyl die lineere beweging uitgevoer word,word die volgende punt op die omtrek van die tweede sirkelreeds bereken.http://sajie.journals.ac.za-69-Wanneer die berekening van 'n volgende punt op die omtrekvan 'n sirkel voorafgegaan word deur 'n lineere of normaletweedimensionele sirkelbeweging, is berekeningspoed nie 'nfaktor wat in ag geneem moet word nie. In sulke gevalle isdie beskrywing van die driedimensionele sirkel eerder asdie berekeningspoed die beperkende faktor.In hierdie artikel word 'n algoritme ontwikkel waarmeedriedimensionele sirkel-interpolasie gedoen kan word. Ookword 'n metode voorgestel waarmee die beskrywing van drie-dimensionele sirkels grootliks vereenvoudig word. Verderword 'n program vir die MAHO-432 numeriesbeheerdefrees-masjien geskryf wat as subroetine gebruik kan word am enigedriedimensionele lineere afronding te sny.3. ALGORITME VIR DRIEDIMENSIONELE SIRKEL-INTERPOLASIEEnige driedimensionele (3D) sirkel kan m.b.v. twee rota-siebewegings geroteer word na 'n tweedimensionele (2D)sirkel. Dus kan 'n spesifieke 2D-sirkel na twee rota-siebewegings altyd 'n spesifieke 3D-sirkel verteenwoordig.In Figuur 2 hieronder word 'n 2D-punt met k06rdinaat-waardes x en y deur 'n hoek e am die z-as geroteer. Vir 'nregterhandse 3D-k06rdinaatstelsel is die konvensie dat ' npositiewe rotasie sodanig is dat wanneer vanaf 'n positieweas na die oorsprong gekyk word, 'n 90° antikloksgewyse ro-tasie een positiewe as na 'n ander sal transformeer. Sosal 'n 90° antikloksgewyse rotasie van die positiewe x-asrandom die z-as die x-as roteer na die positiewe y-as.yy')ex, y)\xRotasie random die z-asFIGUUR 2http://sajie.journals.ac.za-70-Die rotasie word wiskundig soos volg uitgedruk.= x cos 8= x sin 8y sin 8+ Y cos 8en (1)waar Xl en yl die geroteerde koordinate,x en y die oorspronklike koordinateen 8 die hoek is waardeur die punt om die z-asgeroteer wordIn matriksvorm is vgl (1) :[COS 8-sin 8sin 8 ]cos 8(2 )of pI = P.R (3)waar PpIRdie puntmatriks,die geroteerde puntmatriks endie rotasiematriks is.Die 2D-rotasie van vgl (2) kan ook die eerste rotasie van'n 3D-rotasie wees en sal in so 'n geval soos volg voorge-stel kan wordIcos 8 sin 8 0 ]R, (8 ) = -s~n 8 cos 8 0 (4)0 1waar R, (8) die rotasiematriks om die z-as in drie dimensiesverteenwoordig.Vgl (4) kan maklik geverifieer word deur 'n rotasie van 90°van bv [0 1 0], wat 'n eenheidsvektor in die rigting vandie y-as verteenwoordig na [-1 0 0] wat 'n eenheidsvektorin die rigting van die negatiewe x-as verteenwoordig.http://sajie.journals.ac.za-71-As die volgende produk ge-evalueer word[0 1 0] . [-:word die verwagte waarde1oo[-1:]o 0] inderdaad verkry.Op soortgelyke wyse word die rotasiematriks om die y-asverkry nl.Ry(<P) =o1o-sinocos(5)waar <P die hoek is waardeur 'n driedimensionele punt am diey-as geroteer word.'n Driedimensionele punt wat eers deur e grade am die z-asen dan <p grade am die y-as geroteer word, sal die volgenderotasiematriks oplewer.=waar RA die gekombineerde rotasiematriks enr ll = cos e cos <pr12 = sin er13 = -cos e sin <pr 21 = -sin e cos <pr 22 = cos er23 = sin e sin <pr31 = sin <prn = 0r33 = cos <phttp://sajie.journals.ac.za-72-Die koordinaatmatriks vir so 'n punt is[Xl yl Zl] = [X Y z] . RA ( 6 )waar [x y z] die oorspronklike puntmatriksen [Xl yl Zl] die dubbelgeroteerde puntmatriks is.Deur vgl (6) toe te pas op al die punte op die omtrek van'n 2D-sirkel op die y-z-vlak, word punte op die omtrek van'n 3D-sirkel verkry. 3D-interpolasie word verkry deurhierdie punte met regui t lyntjies te verbind. Hoe meerpunte op die omtrek van die sirkel bereken word, hoe glad-der sal die sirkel gevorm word.4. SNY VAN 'N 3D-SIRKEL3D-snywerk op 'n freesmasjien word altyd met 'n balneus-snyer gedoen. Die radiuskorreksiefunksie van numeriesbe-heerde freesmasjiene is slegs van toepassing op 2D-werk.Vir enige 3D-werk moet die programmeerder self snyerra-diuskorreksie in ag neem.Vir die sny van 'n 3D-sirkel kan snyerradiuskorreksie soosvolg in berekening gebring word.Gestel 'n sirkel met radius R moet gesny word met 'n bal-neussnyer met radius r. 'n Punt op die omtrek van die 2D-sirkel met radiuskorreksie kan soos volg beskryf word.z = (R+r) cos 7 en(7)y = (R+r) sin 7 waarz en y diey- rigtingFiguur 3.afstande vanaf die sirkelsenter in die z- enis / en 7 die sirkelhoek is / soos getoon inyBalneussnyerz'n Punt op die omtrek van 'n 2D-sirkel met radiuskorreksieFIGUUR 3http://sajie.journals.ac.za-73-As hierdie punt nou m.b.v. vg1 (6) geroteer word, word 'npunt met radiuskorreksie op die omtrek van 'n 3D-sirkelverkry. Vir 3D-sirkel-interpolasie met radiuskorreksieword die z-en-y-waardes van vg1 (6) vervang met vg1 (7) en~ neem sodanige waardes aan dat genoegsame punte vir 'ngladde sirkel verseker word.5. BESKRYWING VAN 'N 3D-SIRKELIn die voorafgaande gedeelte is die nodige wiskundige af-leiding gedoen om 'n 2D-sirkel na 'n 3D-sirkel te roteer.In praktyk is dit egter seIde die geval dat die 2D-beskry-wing plus die nodige rotasies vir 'n 3D-sirkel beskikbaaris. Die vernaamste rede hiervoor is dat tweedimensionelewerkstekeninge nie volledig 3D-gegewens aantoonword normaalweg op 'n tekening slegs aangedui dathoek afgerond moet word met 'n bepaalde radius.nie. So'n sekereSou bv. die volgende gegewens op 'n werkstekening beskik-baar wees, is dit moontlik om die nodige wiskundige bereke-ninge deur te voer om 'n 3D-sirkel volledig te beskryf.1. Koordinate van die middelpunt plus die koordinate vantwee punte op die omtrek.2. Koordinate van drie punte op die omtrek.3. Koordinate van diemiddelpunt, die radius en die lood-regte vektor op die sirkelvlak.4. Koordinate van twee punte op die omtrek, die radiusplus die loodregte vektor op die sirkelvlak.Om die probleem van gebrekkige gegewens te ondervang, kan'n indirekte metode waarvoor gegewens reeds bekend is, suk-sesvol gebruik word om 'n 3D-sirkel te beskryf.Wanneer 'n 3D-hoek, soos getoon in Figuur 4, afgerond moetword met 'n radius R, dan is die koordinate van die tweehoekpunte altyd beskikbaar.http://sajie.journals.ac.za-74-yz(Xl> Y" Z,)xAfronding van 'n 3D-randFIGUUR 46. BEREKENING VAN ROTASIEHOEKEGestel die ko6rdinate van die twee hoekpunte (Figuur 4) isXu Yu Zj en Xv Yz en 2Z dan isUit die geometrie van Figuur 4 is dit duidelik dat genoeg-same.gegewens weI beskikbaar is sodat dit moontlik is omdie koordinate van die middelpunt asook die loodregte vek-tor op die sirkelvlak, te bereken. M.b.v. die loodregtevektor, kan die twee rotasiehoeke wat vir vgl (6) benodigword, afgelei word. AIle gegewens wat nodig is am die 3D-sirkels te beskryf, kan dus verkry word.en=8=waar 8 en ~ die hoeke in die rotasiematriks van vgl (5) is.7. BEREKENING VAN K06RDINATE VAN MIDDELPUNTFiguur 4 toon 'n afronding in die lste kwadrant. Om voor-siening te maak vir afronding in enige kwadrant word diehttp://sajie.journals.ac.za-75-vanaf enige hoekpunt (kyk Figuur3 4xHoekpunt 1y2 1afstand van die middelpunt5) soos volg bereken.Afronding in vier kwadranteFIGUUR 5Vir kwadrant 1 geldwaarXll, yll en Zll die x-, y- en z-afstande in drie dimensies iswat die sirkelmiddelpunt vanaf hoekpunt 1 is,RA die rotasiematriks is enR die radius van die sirkel is.Soortgelyke uitdrukkings geld respektiewelik vir kwadrante2, 3 en 4[xlz ylz ZlzJ ; [0 R -RJ RA[X13 y 13 Z13 ) ; [0 -R -RJ RA[x\ y 14 zl4J ; [0 -R RJ RAwaar xlz die x-afstand is wat die sirkelmiddelpunt vanafhoekpunt 2 is, ens.Dit dien daarop gelet te word dat die hoekpunte van diekwadrant wat afgerond moet word se koordinate in terrne vanabsolute waardes t.o.v. enige nulpunt verskaf word. Diesirkelmiddelpunt se kaordinate daarenteen ward bereken asinkrementele waardes vanaf die hoekpunt. Die ratasiema-triks RA is afgelei vir rotasie random die nulpunt. Deurdie x- en y-waardes egter volgens vgl (7) te bereken, bete-http://sajie.journals.ac.zaken dit datvind. Die-76-'n rotasie altyd om die sirkelmiddelpunt plaas-driedimensionele sirkel se k06rdinate sal dusaltyd in absoluut vanaf die nulpunt bereken word as vgl (6)se k06rdinaatwaardes by die sirkelmiddelpunt se waardesbygetel word.Die k06rdinate van 'n punt op die omtrek van 'n 3D-sirkelis dus[Xl yl Zl] = [Xl Yl z11 - [0 R R] oRA+ [0 Y z] 0 RAwaar [Xl yl Zl] die 3D-puntmatriks,[Xl Yl Zl] die 3D-hoekpuntmatriks,[0 y z ] die 2D-puntmatriks soos uit vgl (7)en[0 R R] die inkrementele puntmatriks van diesirkelmiddelpunt vir kwadrant 1,voorstelOp soortgelyke wyse kan punte ook op die omtrek van dieendsirkel (Figuur 4) bereken word. Wanneer ooreenstemmendepunte op die twee sirkels verbind word, word 'n 3D-silinderverkry. Vir afronding hoef slegs een van die kwadrante vandie silinder bereken te word. As die radius van die tweesirkels verskil, word koniese afronding outomaties verkryoSnyerradiuskorreksie vir snywerk op die x-y-vlak word virkwadrante 1 en 4 bygetel omdat dit buite-afronding verteen-woordig. Vir kwadrante 2 en 3 word radiuskorreksie afge-trek omdat binne-afronding verkry word (Kyk Figuur 6).2 ~ ~ Kwadrant 1(Buite)~ ~ Kwadrant 43 (Binne)Binne- en buite-afrondingFIGUUR 6http://sajie.journals.ac.zaEI =E2 =E3 =E4 =E5 =Ell, El2-77-S. PROGRAM VIR 3D-SIRKEL-INTERPOLASIE EN AFRONDINGDie onderstaande program is geskryf in MARO-kode. 'n Keusekan uitgeoefen word ten opsigte van die kwadrant waarin af-gerond word. Afronding geskied altyd deur 'n hoek van 90°.Dit is moontlik om die parameterprogram te verander sodatafronding ook deur hoeke anders as 90° kan geskied. (EIOOis beginhoek en E90 is endhoek). Snyerradiuskorreksie wordoutomaties in ag geneem.Indien slegs 'n 3D-sirkel en nie 'n afronding gesny moetword, kan die hoekpunt van die tweede sirkel op 'n afstandvan 'n paar mikromillimeters vanaf die eerstesirkelhoekpunt gegee word om die vlak van die sirkel aan tedui. Die twee sirkels val dan vir aIle praktiesedoeleindes op mekaar.As invoer vir onderstaande program, word die volgende ge-gewens benodig.radius van linkersirkel (mm)radius van regtersirkel (mm)kwadrant (I, 2, 3 of 4)radius van balneussnyer (mm)hoekinkremente (7 van vgl (7) in grade)en El3 is die x-, y- en z- koordinate van eerstehoekpunt enEl4, El5 en El6 is die x-, y- en z- koordinate van tweedehoekpunt%PM97006NI GIS FlOOD SIOOO TI M66N2 G54 M3N3 EI=20 (Radius van eerste sirkel)N4 E2=2D (Radius van tweede sirkel)N5 E3=1 (Kwadrant 1,2,3 of 4)N6 E4=5 (Radius van balneussnyer)N7 E5=5 (Hoekinkrement in grade)NS (Die volgende drie waardes is die x-,y- en z-waardes vandie eerste hoekpunt)http://sajie.journals.ac.za-78-N9 EIl=14 .14N10 E12=20NIl E13=14.14N12 (Die volgende drie waardes is die x- T y- en z-waardes vandie tweede hoekpunt)N13 E14=35. 355N14 E15=20N15 E16=-21.21N16 E90=90 E100=0N17 E17=E14-E11 E1B=E16-E13 E19=E15-E12NIB E17=E17+0.001N19 E21=atan(-E1B:E17)N20 E20=atan(E19:E17)N21 G98 X-10 Y-10 Z-60 170 J80 K100N22 E22=E1*sin(E20)*cos(E21)N23 E22=E22+E1*sin(E21)N24 E23=E1*cos(E20)N25 E24=E1*sin(E20)*sin(E21)N26 E24=E24+EI*cos(E21)N27 E25=E2*sin(E20)*cos(E21)N28 E25=E25+E2*sin(E21)N29 E26=E2*cos(E20)N30 E27=E2*sin(E20)*sin(E21)N31 E27=E27+E2*cos(E21)N32 E99=E100N33 E41=E1*sin(E100)N34 E40=E1*cos(E100)N35 E42=E40*cos(E21)N36 E43=E40*sin(E21)N37 E44=E42+E41*sin(E20)*sin(E21)N38 E45=E41*cos(E20)N39 E46=-E43+E41*sin(E20)*cos(E21)N40 E47=E11-E46-E22N41 E4B=E12+E45-E23N42 E49=E13+E44-E24N43 E50=E2*cos(E100) E51=E2*sin(E100)N44 E52=E50*cos(E21) E53=E50*sin(E21)N45 E54=E52+E51*sin(E20)*sin(E21)N46 E55=E51*cos(E20)http://sajie.journals.ac.za-79-N47 ES6=-ES3+ESl*sin(E20)*cos(E21)N48 ES7=E14-ES6-E2SN49 ES8=ElS+ESS-E26NSO ES9=E16+ES4-E27NSI Gl X=E47 Y=E48 Z=E49N52 Gl X=ES7 Y=E58 Z=E59NS3 EIOO=EIOO+ESN54 G14 Nl=33 N2=SONSS Gl X=ES7 Y=ES8 Z=ES9NS6 Gl X=E47 Y=E48 Z=E49NS7 EIOO=EIOO+ESNS8 G29 E90 N=33 K=ES*2NS9 GO YIOO M30~D9. WAARDESKATTINGBevestiging is van die vervaardiger MAHO in Duitsland ver-kry dat hierdie die eerste beskikbaargestelde subroetine iswaarmee driedimensionele sirkel-interpolasie vir MAHO-mas-jiene moontlik gemaak word.Die program watin MAHO-formaat geskryf is, kan geredelikomgeskakel word na die formaat van enige ander masjien wattoegerus is vir parameterprogrammering.Die tegniek van driedimensionele sirkel-interpolasie hetwye toepassingsmoontlikhede en kan 'n belangrike leemte inveral die plastiekinspuit en gieterybedrywe vul.http://sajie.journals.ac.za-80-10. BRONNELYS1 . Foley, J . D., FUNDAMENTALS OF INTERACTIVE COMPUTERGRAPHICS, Addison-Wesley, 19842. Thomas, G. B., CALCULUS AND ANALYTIC GEOMETRY, Addison-Wesley, 19623. Chasen, S.H., GEOMETRIC PRINCIPLES AND PROCEDURES FORCOMPUTER GRAPHIC APPLICATIONS, Prentice-Hall, 19784. Winston, W.L., OPERATIONS RESEARCH: APPLICATIONS ANDALGORITHMS, Duxbury Press, 19875. MARO Aktiengesellschaft,BEDIENUNGSANLEITUNG, MARO A.G.,PROGRAMMIER-pfronten, 1988UND6. Lubbe, A.J., DIE ONTWIKKELING VAN 'N PARAMETRIESEMODEL VIR DIE SNY VAN RUIMTES SOOS DIe VAN MARGARIEN-BAKKIES, S A Journal of Industrial Engineering, Vol.4, No 2, December 1990.http://sajie.journals.ac.za

Praktiese driedimensionele sirkel-interpolasie vir numeriesbeheerde masjiene

https://repository.up.ac.za/bitstream/2263/20526/1/Lubbe_Praktiese%281992%29.pdf

Praktiese driedimensionele sirkel-interpolasie vir numeriesbeheerde masjiene

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

UPSpace at the University of Pretoria