Hüter, Florian

Wittmann, Johannes

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1FE-Modalanalyse auf Basis von Z88Eigenschwingungen in der Antriebstechnik23. Bayreuther 3D-KonstrukteurstagBayreuth, 14.09.2022Johannes Wittmann, Florian Hüter2Eigenschwingungsanalyse mit Z88Gliederung▪ Motivation▪ Eigenschwingungsanalyse auf Basis von Z88▪ Zwangsbedingungen bei Eigenschwingungen▪ Modalanalyse mit Betriebspunkt-Tangentensteifigkeit▪ Zusammenfassung, Fazit & Ausblick3Eigenschwingungsanalyse mit Z88Motivation𝑲𝑇𝑴𝝋𝑓 𝑓 = 625 Hz𝑓 = 640 Hz𝑓 = 697 HzGeräusch- und Schwingungsanregung ▪ Anwendungsgebiete: Zahnradgetriebe und Getriebegehäuse mechanischer Antriebsstränge▪ Lösung der Eigenschwingungen im relevanten Frequenzbereich wünschenswertBetriebspunkt-Modalanalyse ▪ Resonanzfrequenzen bei zugrunde liegendem nichtlinearem Strukturverhalten▪ Lösung der Eigenschwingungen unter Berücksichtigung der Tangentensteifigkeit[www.rw-kupplungen.de]𝑓 = 922 Hz𝑓 = 565 Hz [FVA-WORKBENCH]4Eigenschwingungsanalyse mit Z88Motivation - Möglichkeiten zur Messung von Schwingungen𝑲𝑇𝑴𝝋𝑓Experimentelle Modalanalyse allgemein▪ Vibrationsmessungen über montierte Beschleunigungs- und Drehzahlreferenzaufnehmer ▪ Berührungsfreie Messung über Laser-Doppler-Vibrometrie (optische Interferenz & DOPPLER-Effekt)[BRENDEL, Doppelkolbenmotor nach RIEG]DrehzahlaufnehmerBeschleunigungssensor→ Messtechnische Validierung der FE-Modalanalyse[POLYTEC, Hydraulischer Verspannungsprüfstand MORITZ]Geschwindigkeit an Scan-KoordinateLaser-Doppler VibrometerEinpunkt-Vibrometer5Eigenschwingungsanalyse mit Z88Überblick der Lösungsansätze in der Strukturdynamik[GROTH, POLYTEC]Bewegungs- o. SchwingungsgleichungTransiente AnalyseModalanalyse FrequenzganganalyseModale Superposition,Dynamische Reduktion, etc.𝝋1, 𝑓1𝑢/ mm →𝑓/ Hz →Abwälzsimulation, nichtlinear, gedämpft6Elementweise Erzeugung der MassenmatrixEigenschwingungsanalyse mit Z88Grundlagen Massenmatrix und Bewegungsgleichung[HINTON, BATHE, RIEG]Trägheitsabbildung𝑴𝑒 = 𝜌𝑒 න−11න−11න−11𝑵𝑇𝑵𝜕 𝑥, 𝑦, 𝑧𝜕 𝑟, 𝑠, 𝑡drdsdt▪ Konsistente Form𝑴𝑖𝑖𝑑𝑖𝑎𝑔= 𝜗𝑒𝑀𝑖𝑖𝑰mit   𝑀𝑖𝑖 = 𝑉𝑒׬𝜌𝑒𝑁𝑖2dV, 𝜗𝑒 =𝑚𝑒σ𝑖=1𝑑𝑜𝑓𝑀𝑖𝑖▪ Diagonalform nach HINTON➢ Compilation zu Gesamtmassenmatrix➢ Schwingungsgleichungaus der FE-Strukturdynamik𝑴 ሷ𝒖 𝑡 + 𝑫 ሶ𝒖 𝑡 + 𝑲𝒖 𝑡 = 𝑭(𝑡)7Eigenschwingungsanalyse mit Z88Grundlagen Eigenwertproblem[GASCH, NASDALA, KÖCKLER, LEHOUCQ, HETMANIUK]Ungedämpftes Eigenwertproblem▪ Ausgangsgleichung des Schwingungssystems𝑴 ሷ𝒖 𝑡 + 𝑫 ሶ𝒖 𝑡 + 𝑲𝒖 𝑡 = 𝑭(𝑡)▪ Vernachlässigung der Dämpfung in Bewegungsgleichung→ reelle Eigenwerte und Eigenvektoren als Ergebnis▪ Freie Schwingungen → keine Berücksichtigung äußerer Kräfte𝑴 ሷ𝒖 𝑡 + 𝑲𝒖 𝑡 = 𝟎▪ Lösungsansatz 𝒖 = 𝝓𝑒𝑖𝜔𝑡 ergibt allgemeines Eigenwertproblem (EWP)𝑲− 𝜦𝑴 𝝓 = 0mit Eigenwerten 𝜦 und Modalmatrix 𝝓▪ Standard-Eigenwertproblem über Cholesky-Zerlegung:𝜦𝝓 = 𝑨𝝓mit 𝑴 = 𝑳𝑳T und 𝑨 = 𝑳−1𝑲𝑳−T▪ Shift & invert spectral transformation: 𝑲 − 𝜎𝑴 −1𝑴𝝓 = ν𝝓mit 𝜆 = 𝜎 +1𝜈➢ Rücktransformation größter Eigenwerte 𝜈führt zu kleinsten Eigenwerten 𝜆 des Originalsystems (allgemeines EWP)Transformation→ Sehr effektiv, um Eigenwerte nahe 𝜎 und im      relevanten Frequenzbereich zu berechnen8Eigenschwingungsanalyse mit Z88Lösung des Eigenwertproblems [LEHOUCQ, RIEG, www.z88.de]Lösungsmethoden▪ LANCZOS-Algorithmus (z. B. in Z88Aurora®)▪ Implicitly Restarted ARNOLDI Method (IRAM)→ Geschwindigkeitsvorteil für große & dicht besetzte Strukturen→ Verbesserte Konvergenz bei SingularitätenErgebnisse▪ Eigenfrequenzen 𝑓 =𝜔2𝜋mit 𝜔 = 𝜆▪ Eigenformvektoren ▪ Massennormiert: 𝝋𝑖𝑇𝑴𝝋𝑖 = 𝑰▪ Verschiebungsnormiert: max 𝝋𝑖 𝑘 = 1▪ Beispiel: Stahlscheibe aus Hexaederelementen(quadr. Ansatz)𝑓1𝑓6𝑓2,3𝑓4,59Eigenschwingungsanalyse mit Z88Einfluss der Massenmatrixform: BeispielmodellKonsistent vs. Diagonal Ergebnisse0,0%0,2%0,4%1 2 3 4 5 6relative Abweichung →Frequenz Nr. 𝑓i →▪ Gute Übereinstimmung der Eigenfrequenzen aus konsistent & diagonal besetzter Massenmatrix→ Deutliche Zeitersparnis bei ähnlicher Ergebnisgüte16 sec28 sec▪ Eigenfrequenzen 𝑓 =𝜔2𝜋mit 𝜔 = 𝜆▪ Eigenformvektoren ▪ Massennormiert: 𝝋𝑖𝑇𝑴𝝋𝑖 = 𝑰▪ Verschiebungsnormiert: max 𝝋𝑖 𝑘 = 1▪ Beispiel: Stahlscheibe aus Hexaederelementen(quadr. Ansatz)𝑓1 𝑓4,5𝑓6𝑓2,310Eigenschwingungsanalyse mit Z88Einfluss der Massenmatrixform: Beispielmodell[DRESIG]Konsistent vs. Diagonal Ergebnisse▪ Eigenfrequenzen 𝑓 =𝜔2𝜋mit 𝜔 = 𝜆▪ Eigenformvektoren ▪ Massennormiert: 𝝋𝑖𝑇𝑴𝝋𝑖 = 𝑰▪ Verschiebungsnormiert: max 𝝋𝑖 𝑘 = 1▪ Beispiel: Stahlscheibe aus Hexaederelementen(quadr. Ansatz)𝑓1 𝑓4,5𝑓6𝑓2,3𝑀𝐴𝐶 𝑖, 𝑗 =𝝋𝐴𝑖𝑇 𝝋𝐵𝑗2𝝋𝐴𝑖𝑇 𝝋𝐴𝑖 𝝋𝐵𝑗𝑇 𝝋𝐵𝑗→ Gute Korrelation der Eigenvektoren aus konsistent & diagonal besetzter Massenmatrix▪ Vergleichsmethode: Modal Assurance Criterion▪ Prüft Orthogonalität des Eigenvektorpaares über das normierte Skalarprodukt11Berücksichtigung von Kontakt- oder KoppelbedingungenEigenschwingungsanalyse mit Z88Zwangsbedingungen in der Dynamik[ABAQUS, BILLENSTEIN, WISSMANN, WRIGGERS]Zwangsbedingungen bei ungedämpften Eigenschwingungen▪ Zwangsbedingungen in Ausgangs-Bewegungsgleichung 𝑮𝑼 − 𝑽 = 𝟎 →    𝑴 ሷ𝒖 𝑡 + 𝑫 ሶ𝒖 𝑡 + 𝑲𝒖 𝑡 = 𝑭(𝑡)▪ Einbau in das allgemeine Eigenwertproblem▪ LAGRANGE-Ansatz mit Störparameter𝑲 𝑮𝑇𝑮 ൗ−1 𝛽 𝑰− 𝜦𝑴 00 0𝜱 = 0▪ Penalty-Methode𝑲 + 𝛽𝑮𝑇𝑮 − 𝜦𝑴 𝜱 = 0▪ Nichtlineare Kontaktzustandsänderung nur in vorgeschalteter quasi-statischer bzw. transienter Simulation▪ Knoten-Fläche Kontakt▪ Erweiterter Punkt-Fläche KontaktKontaktdiskretisierungMasterSlave→ Betriebspunktlinearisierung: Kontaktzustand ändert sich in der Eigenschwingungsanalyse nicht12Eigenschwingungsanalyse mit Z88Einordnung Betriebspunkt-Modalanalyse▪ Reibungsfreier Kontaktzustandin Tangentensteifigkeit▪ Nichtlineare BerechnungQuasistatische Abwälzsimulation𝑲𝑇𝑴Modalanalyse𝑲T − 𝜦𝑴 𝝓 = 0𝑓1, 𝝋1𝑓2, 𝝋𝟐𝑓3, 𝝋𝟑Dynamische Reduktion𝑴𝒓𝒆𝒅𝒅𝒚𝒏= 𝑻𝑻 ∙ 𝑴 ∙ 𝑻𝑀𝑟𝑒𝑑𝑇𝑇𝑀𝑇𝑀𝑇▪ statisch-modal gemischte Reduktion: z. B. nach CRAIG-BAMPTON▪ Transformationsmatrix▪ Optional: Recovery𝝋𝑓▪ Eigenfrequenzen▪ Eigenformen[FVA 892 I]13𝑲− 𝜦𝑴 𝝓 = 0Eigenschwingungsanalyse mit Z88Tangentensteifigkeit in Verbindung mit Shift-Invert-AnsatzBedeutung des Shift-Invert-Ansatzes ▪ Berücksichtigung der Tangentensteifigkeit 𝑲T aus vorgeschalteter nichtlinearer FE-Simulation▪ Falls 𝑲T schlecht konditioniert oder singulär und 𝑴schlecht konditioniert ist, existiert ein Shift-Parameter 𝜎, sodass 𝑨 = 𝑲T − 𝜎𝑴 positiv definit und besser konditioniert istBerücksichtigung des Shift-Parameters in der Modalanalyse am Beispiel Getriebestufe▪ Frequenzbereich ab 𝑓𝜎= 600 Hz ist von Bedeutung▪ Wahl des Shift-Parameters 𝜎 = 2𝜋𝑓𝜎2✓ Lösung der Modalanalyse liefert interessiertes Frequenzband[HETMANIUK, LEHOUCQ]𝑓0 = 420 Hz𝑓1 = 627 Hz𝑓2 = 646 Hz𝑓3 = 711 Hz𝑓1 = 627 Hz𝑓2 = 646 Hz𝑓3 = 711 Hz𝑲 − 𝜎𝑴 −1𝑴𝝓 = ν𝝓14Eigenschwingungsanalyse mit Z88Betriebspunkt-Tangentensteifigkeit[ABAQUS2] Beispiel: Stahlseil unter Zugbelastung▪ Modellinformationen▪ Schub-elastische lineare 2D-Balkenelemente ▪ Material: Stahl▪ Querschnitt: 1,979 mm², Länge: 2,54 m▪ Berücksichtigung der Tangentensteifigkeit 𝑲Tunterschiedlicher Lastschritte im allgemeinen EWP𝑲T − 𝜦𝑴 𝝓 = 001002003004000 200 400Eigenfrequenz / HzKraft F / NEinfluss der Vorspannung auf Eigenfrequenzbetrag f4f3f2f1F𝐹𝑒𝑠𝑡𝑙𝑎𝑔𝑒𝑟𝐿𝑜𝑠𝑙𝑎𝑔𝑒𝑟𝑓1𝑓2 𝑓4𝑓3→ Versteifung aus Belastung in Betriebspunkthat Einfluss auf Betrag der Eigenfrequenzen15Eigenschwingungsanalyse mit Z88Zusammenfassung & Fazit▪ Transformation über Shift-Invert-Ansatz▪ Massen- oder Verschiebungsnormierung von Eigenformvektoren▪ Zwangsbedingungen bei Eigenschwingungen▪ Berücksichtigung der Betriebspunkt-Tangentensteifigkeit aus vorliegendem Kontaktzustand bzw. aus geometrisch großer Verformung (Versteifung infolge Belastung)Zusammenfassung Fazit & Ausblick▪ Hohe Übereinstimmung zwischen Eigenfrequenzen & -vektoren aus diagonal und konsistent besetzter Massenmatrix▪ Betriebspunktmodalanalyse als Grundlage für dynamische Reduktionsmethoden▪ Integration in die Bedienoberfläche Z88Aurora®16Eigenschwingungsanalyse mit Z88LiteraturFVA Workbench FVA GmbH; https://www.fva-service.de/en/software/ aufgerufen am 14.08.2022BRENDEL Brendel, Joachim: Berechnung, Konstruktion und Prüfstandsverifikation des Massenausgleichs am Doppelkolben-Zweitaktmotor. Masterarbeit, Uni Bayreuth, 2016POLYTEC Polytec GmbH: PSV-Auswertungssoftware, Version 10. www.polytec.com, aufgerufen am 15.06.2022GROTH Groth, Clemens; Müller, Günter; Stelzmann, Ulrich: Strukturdynamik: Basiswissen und Arbeitsbeispiele zu FEM-Anwendungen der Strukturdynamik. expert Verlag, 2000BATHE Bathe, K. J.: Finite Element Procedures. 2nd edition, Prentice Hall, Pearson Education Inc, Watertown, MA, 2014HINTON Hinton, E.; Rock, T.; Zienkiewicz, O. C.: A Note on Mass Lumping and Related Processes in the Finite Element Method. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 4, 1976GASCH Gasch, Robert; Knothe, Klaus; Liebich, Robert: Strukturdynamik – Diskrete Systeme und Kontinua. 3. Auflage, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2021NASDALA Nasdala, Lutz: FEM-Formelsammlung Statik und Dynamik. München, 3. Auflage, Springer Vieweg, 2015KÖCKLER Köckler, Norbert: Numerical Methods and Scientific Computing. Clarendon Press, Oxford, 1994LEHOUCQ Lehoucq, Richard B.; Sorensen D. C.; Yang C.: ARPACK Users' Guide. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998HETMANIUK Hetmaniuk, Ulrich; Lehoucq, Richard B.: Uniform Accuracy of Eigenpairs from a Shift-Invert Lanczos Method. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2006RIEG Rieg, Frank; Hackenschmidt, Reinhard; Alber-Laukant, Bettina: Finite Elemente Analyse für Ingenieure. 6. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2019DRESIG Dresig, Hans; Fidlin, Alexander: Schwingungen mechanischer Antriebssysteme. 4. Auflage, Berlin, Heidelberg: Springer Vieweg, 2020ABAQUS Dassault Systemes: Linear perturbation analysis https://classes.engineering.wustl.edu/2009/spring/mase5513/abaqus/docs/v6.6/books/usb/default.htm?startat=pt03ch06s01aus36.html#usb-anl-alinearnonlinear, aufgerufen am 24.08.2022BILLENSTEIN Billenstein, Daniel; Glenk, Christian; Diwisch, Pascal; Rieg, Frank: Investigation of contact settings on the result of topology optimization to avoid contact stiffness supports, Schumacher, A.; Vietor, T.; Fiebig, S.; Bletzinger, K. U.; Maute, K., Advances in Structural and Multidisciplinary Optimization, WCSMO 2017, Springer, Cham, 1455-1467, 2018. doi:10.1007/978-3-319-67988-4_110, 2017WISSMANN Wissmann, Johannes; Sarnes, Klaus-Dieter: Finite Elemente in der Strukturmechanik, 1. Auflage, Springer, Berlin Heidelberg, 2006WRIGGERS Wriggers, Peter: Computational Contact Mechanics, 2nd edition, Springer, Berlin Heidelberg, 2006FVA 892 I Namhoff, Christian; Stephan, Rainer; Hammerl, Georg; Brimmers, Jens; Brecher, Christian; Haefke, Norbert: FE-Berechnung Kunststoffzahnräder in der FVA-Workbench. Abschlussbericht FVA 892 I, Heft 1493, 2022ABAQUS2 Dassault Systemes: Vibration of a cable under tension, https://abaqus-docs.mit.edu/2017/English/SIMACAEBMKRefMap/simabmk-c-vibrationcable.htm, aufgerufen am 24.08.2022TechnischeUniversitätMünchen17

FE-Modalanalyse auf Basis von Z88 - Eigenschwingungen in der Antriebstechnik

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