Análise de modelos matemáticos de dano en remodelación ósea: resolución mediante métodos numéricos.

Abstract

The mechanical properties of vertebrate bone are complex, and they can be studied at two different scales: macroscopic and microscopic. The macroscopic properties are modelled phenomenologically while the microscopic dynamics are determined by cell populations. This thesis comprises a series of researches where we study mathematical models related to damage and remodelling in bone tissue. We explore both the biomechanical aspects of damage and remodelling from the macroscopic point of view and the microscopic models for cell populations. In the macroscopic part, we develop a novel model that couples damage and bone remodelling effects. Bone remodelling is crucial in order to maintain the integrity of the skeleton through our lives, since it is necessary to repair the damage that appears on our day-to-day activities. However, their coupling had not yet been deeply studied. In this thesis, the first thing we study is the damage model proposed by Frémond and Nedjar in 1996 so as to show its capabilities of modelling bone damage. Then, we present its coupling with the well-known remodelling model from Weinans Huiskes and Grootenboer (1992). In both cases, we present the variational formulation of the models and a discrete approximation of the solution using the finite element method. We also perform numerical analysis to obtain the convergence of the discrete solution. In the second part of this thesis, we study microscopic models that reproduce the remodelling effect at the cell level. Although most of these models only account for temporal effects, we studied a spatio-temporal model proposed by Ayati and col. and provided a discrete approximation of the solution. We also propose a novel spatial extension of the existing temporal model which was developed by Graham and col. Lastly, we study an osseointegration model from Moreo, García-Aznar and Doblaré, relevant to understand the behaviour of implants. All of our studies include a numerical analysis of the convergence of the solutions.Las propiedades mecánicas de los huesos son complejas y se pueden estudiar desde dos puntos de vista: el macroscópico y el microscópico. Las propiedades macroscópicas se modelan fenomenológicamente, mientras que las dinámicas microscópicas vienen dadas por las relaciones entre conjuntos de células. Esta tesis comprende una serie de investigaciones donde estudiamos modelos matmeáticos relacionados con el daño y con la remodelación ósea. Exploramos tanto los aspectos biomecánicos del daño y de la remodelación ósea desde el punto de vista macroscópico como los modelos de poblaciones de células. En la parte microscópica, desarrollamos un nuevo modelo que acopla los efectos de daño y remodelación ósea. La remodelación ósea es crucial para mantener la integridad del esqueleto a lo largo de nuestras vidas, ya que es necesaria para reparar el daño que aparece en las actividades cotidianas. Sin embargo, este acoplamiento entre ambos efectos no ha sido estudiado en profundidad. En esta tesis, lo primero que estudiamos es el modelo de daño propuesto por Frémond y Nedjar en 1996, para mostrar sus posibilidades en el modelado de tejido óseo. Después, presentamos su acoplamiento con el reconocido modelo de Weinans Huiskes y Grootemboer (1992). En ambos casos presentamos la formulación variacional de los modelos y una aproximación discreta de las soluciones por el método de elementos finitos. También llevamos a cabo análisis numéricos para obtener la convergencia de la solución discreta. En la segunda parte de la tesis estudiamos modelos microscópicos que reproducen el fenómeno de remodelación a nivel celular. Aunque la mayoría de estos modelos solamente tienen en cuenta efectos temporales, estudiamos el modelo espacio-temporal propuesto por Ayati y col. y mostramos una aproximación discreta de la solución. También proponemos una nueva extensión espacial del modelo temporal desarrollado por Graham y col. Finalmente, estudiamos un modelo de oseointegración de Moreo, García-Aznar y Doblaré, relevante para el comportamiento de implantes. Todos estos estudios incluyen un análisis numérico de la convergencia de las soluciones.As propiedades mecánicas dos huesos son complexas e pódense estudar dende dous puntos de vista: o macroscópico e o microscópico. As propiedades macroscópicas modélanse fenomenolóxicamente, mentres que as dinámicas microscópicas veñen dadas polas relacións entre conxuntos de células. Esta tese comprende unha serie de investigacións donde estudamos modelos matemáticos relacionados co dano e coa remodelación do tecido óseo. Exploramos tanto os aspectos biomecánicos do dano e da remodelación ósea dende o punto de vista macroscópico como modelos de poblacións de células. Na parte macroscópica, desenvolvemos un novo modelo que acopla os efectos do dano e da remodelación ósea. A remodelación ósea é crucial para manter a integridade do esqueleto ao longo das nosas vidas, xa que é necesaria para reparar o dano que aparece coas actividades cotidiás. Sen embargo, o seu acoplamento aínda non se estudou en profundidade. Nesta tese, o primeiro que estudamos é o modelo de dano proposto por Frémond e Nedjar en 1996, para mostrar as súas posibilidades para modelar dano no tecido óseo. Despois, presentamos o seu acoplamento co recoñecido modelo de Weinans Huiskes e Grootenboer (1992). En ambos casos presentamos a formulación variacional dos modelos e unha aproximación discreta das solucións polo método de elementos finitos. Tamén levamos a cabo unha análise numérica para obter a converxencia da solución discreta. Na segunda parte da tese estudamos modelos microscópicos que reproducen o fenómeno de remodelación a nivel celular. Aínda que a maioría destes modelos só teñen en conta efectos temporais, estudiamos o modelo espacio-temporal proposto por Ayati e col. e mostramos unha aproximación discreta da solución. Tamén propoñemos unha nova extensión espacial do modelo temporal desenvolto por Graham e col. Finalmente, estudiamos un modelo de oseointegración de Moreo, García-Aznar e Doblaré, relevante para o comprendemento do comportamento de implantes. Todos estes estudos inclúen unha análise numérica da converxencia das solucións