Katsuya Honda

Shin-ichi Sato

佐藤 信一

本田 勝也

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RISM (Repository of the Institute of Statistical Mathematics) / 統計数理研究所 学術研究リポジトリ

ランダムなフラクタル・バターンの成長機構と統計 127 （2）横枝は，先端におけるノイズが増幅されて発生するものと思われる． （3）この実験系（a＝20±2μm）では，スケール不変性は成り立たたい． 以上の3点であるが，この実験系の精度では，これ以上の結果を望むことは難しい．横枝の発生におけるノイズの役割，横枝の周期の選択機構の解明に対して，また違ったアプローチが望まれる．                 参考文献Dougherty，A．，Kap1an，P．D．and Gonub，J．P、（1987）．Deve1opment of side branching in dendritic crysta1    growth，戸物s．Rm．工e材．，58．1652－1655．Nittman，J．and Stan1ey，E．（1987）．Role of Huctuations in viscous丘ngering and dendritic crysta1    growth：A noise－driven model with non－periodic side branching and no threshold for onset，    ∫P％ツs．λ，20，L981－986．Pieters，R．and Langer，J．S．（1986）．Noise－driven side branching in the bomdary－1ayer model of    dendritic so1idi丘。ation，P％ツs．Reo．工e材．，56．1948－1951．          確率過程のマルチフラクタル‘性と統計力学                       静岡大学教養部佐藤信一                       名古屋大学工学部本田勝也 散逸のある非線形力学系にはフラクタル性をもつストレンジ・アトラクターが生じることはよく知られているが，力学系とフラクタルの関係は幾何学的なものにとどまらずダイナミクスにも及んでいる．マルチフラクタル（Ha1sey et a1．（1986））という視点から見ると，ダイナミクスのフラクタル性の記述はフラクタル集合の記述と双対性があり，どちらも熱力学形式を内包している．この研究報告では，Intermittency（Mannevi11e and Pomeau（1980））と呼ばれる現象を示す力学系に統計力学的手法を応用してそのマルチフラクタル性を調べた結果と，力学系の“ゆらぎ”と相転移の関係について述べたい． ある力学系において観測される時系列をしきい値を用いて2値化すると（しきい値以上で“1”，以下で“一1”を割り当てる）特定の記号列が観測される確率が定まる．その確率は力学系によって一意的に定まり，IntermittenCyに対応する確率過程のモデルは （1a）       力（11－1）＝α，   力（111）＝ろ （1b）                 力（一11－1，．．．，一1，1）＝oブ’レである．ここで力（s．1庄。，．．，6、）は8、（＝±1）の後に，部分列｛左。，．．．，C。｝が発生する条件付き確率である．規格化条件からα十ろ＝1，o＝｛ζ（ソ）｝一1である（ζはRiemamのゼータ関数）．直観的には，観測された記号列の中に一1，．．．，一1という部分列が繰り返し不規則に出現する現象と言える．このモデルは，その単純さにもかかわらずIntermittenCyのユニバーサルな性質を全て再現できる． 確率過程に統計力学を持ち込むための最初のステップは，時間軸を1次元空間に読みかえ（この系は離散時間系であるので当然1次元格子と見たす）格子気体と対応付けることである（Takahashi（1984））．状態1は粒子占有状態に，状態一1は空状態に対応する．そのとき，距離ノだけ離れている最近接粒子間の相互作用エネルギーは128 統計数理 第37巻 第1号 1989          σ（1）一／二：：1＋1、。、ソ、、（プ．1）；1；1；1である．ここで，逆温度2（但し，一∞≦α≦∞）を導入して，サイズがmでm個の粒子を含む系の分配関数をZ・，m（α）とする．ノ・ミルドニアソHには部分列が観測される確率力（s・，．．．，∫、）の情報量一1n力（8、，．．．，∫。）が対応する．すたわち，サイズmの系の分配関数は （2）                    Z、（α）＝Σl exP｛一αH（s1，．．．，∫、）｝                  ｛8i｝ここでHは前述のハミルトニアンである．そして，次の母関数盲を導入する．                    oo   n （3）         互（P，α，μ）＝ΣΣe一助eμmZ。，m（α）                    れ＝O m二〇系のサイズmに共役た変数Pは圧力に対応し，粒子数mに共役た変数μはケミカル・ポテンシャルに対応する． 我々は百を関数σ（ノ）を用いて厳密に書き下し，熱力学的極限における自由エネノレギー！（σ）と元の力学系のRεnシiの一般化エントロピー（R6nyi（1970））関係から一般化エントロピーに対する代数方程式を導いた．さらに，この系では（格子気体として考えたとき）σ＝1で相転移が起こり，σ＜1が秩序相，α＞1が無秩序相である（Sato・and Honda（submitted））．逆温度σは人為的に導入されたパラメータであるから，この相転移自体が直接観測されるわけではない．にもかかわらず，相転移が存在するということが観測量に欠きた影響を及ぼしている．すなわち，物理的な観測量の平均はα＝1という点で行なわれ，それがちょうど臨界点に対応していることが本質である．言い換えれば，IntermittenCyにおける観測量の欠きたゆらぎが一般化エントロピーの相転移の臨界性と等価だということである．これらを考えると，力学系の相転移の性質を調べることはIntermittenCyのダイナミクスの本質を明らかにすることにつたがると言えよう．                 参考文献Halsey，T．C．，Jens㎝，M．H．，Kadanoff，L．P．，Procaccia，I．and Shraimam，B．I．（1986）．Fracta1measures    and their singuIarities：The characterization of strange sets，P妙s．Re〃．λ，33．1141－1151．Mannevme，P．and Pomeau，Y．（1980）．Intermittent tra｛sition to turbu1ence in dissipative dynamical    systems，Comm．Mα肋．P妙s．，74，189－197．Rεnyi，A．（1970）．〃。肋〃め乃eo〃，North－Ho11and，Amsterdam－New York．Sato，S，and Honda，K．Statistica1physics of intermittency：Phase transitions and Huctuations of    sca1ing indices（submitted for pub1ication）．Takahashi，Y．（1984）．Phase transition which exibits1／ω一spectrum：A rigorous result，Proc．US－    Japan Workshop held at IPP Nagoya，Research Report IPP Nagoya，96－104．           マルチフラクタル集合のスピン系表現                       名古屋大学工学部本田勝也一自己相似性という条件下ではあるが，フーリエ解析では捉え切れたい複雑た図形を定量的に特徴っげ解析する手段としてフラクタル次元は非常に有効であり，多くの分野で適用されてきた．フラクタル研究は，その後マルチフラクタル次元とセルフ・アファイソ図形に発展してき

確率過程のマルチフラクタル性と統計力学 (統計数理研究所 研究活動 (研究会報告 ランダムなフラクタル・パターンの成長機構と統計))

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確率過程のマルチフラクタル性と統計力学 (統計数理研究所研究活動 (研究会報告ランダムなフラクタル・パターンの成長機構と統計))

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