Columns in cellular automata and generalized Rudin–Shapiro sequences

Abstract

Cette thèse se situe à la frontière entre mathématiques et informatique théorique. Nous nous intéressons dans un premier temps aux automates finis et aux automates cellulaires. Bien qu’ils s’agissent de deux objets mathématiques assez différents, il est possible de les relier par des constructions explicites, en regardant la réalisation des suites automatiques dans les diagrammes espace-temps des automates cellulaires. Dans un second temps, nous étudions les corrélations discrètes de certaines suites automatiques, appelées suites généralisées de Rudin–Shapiro, qui se comportent comme des suites aléatoires pour la corrélation discrète d’ordre 2, bien qu’elles soient déterministes. Après une introduction des objets d’étude, que nous illustrons par plusieurs exemples, nous rappelons le résultat de Rowland et Yassawi, qui ont montré en 2015 qu’il était possible de construire de manière explicite toute suite p-automatique, dans le cas où p est un nombre premier, en colonne d’un automate cellulaire linéaire, à partir d’une configuration initiale finie. En utilisant leur méthode, nous obtenons différentes constructions de suites automatiques de référence, puis nous établissons un moyen explicite de construire toute une famille de suites p-automatiques, appelées suites généralisées de Rudin–Shapiro, que nous étudions dans la deuxième partie de la thèse, dans un cadre plus général. Nous nous intéressons également au cas de certaines suites non-automatiques, telles que l’indicatrice des polynômes et le mot de Fibonacci, que nous réussissons à construire en colonne d’automates cellulaires non-linéaires. Puis nous obtenons des résultats sur des recodages binaires, permettant de réduire le nombre de symboles dans les automates cellulaires. Grâce à un recodage binaire, nous avons également construit explicitement une suite 3-automatique sur un alphabet binaire, en colonne d’un automate cellulaire à 2 états, non-périodique à partir d’un certain rang, ce qui répond à une question posée par Rowland et Yassawi. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous reprenons les travaux de Grant, Shallit et Stoll, qui ont établi en 2009 des résultats sur les corrélations discrètes de suites infinies sur des alphabets finis. En exploitant les propriétés de récursivité de la suite classique de Rudin–Shapiro, ils construisent une famille de suites déterministes sur des alphabets plus grands, pour lesquelles ils montrent que dans le cas où la taille de l’alphabet est sans facteur carré, la moyenne empirique des coefficients de corrélation d’ordre 2 a la même limite que dans le cas de suites où les lettres sont tirées aléatoirement, de manière uniforme et indépendamment. De plus, ils arrivent à quantifier explicitement le terme d’erreur. En généralisant leur construction à l’aide de la théorie des matrices de différence, nous arrivons à établir un résultat similaire pour des alphabets de taille quelconque ainsi qu’une amélioration du terme d’erreur dans certains cas. Tout comme Grant et al., nous nous servons de la théorie des sommes d’exponentielles pour démontrer notre résultat sur les corrélations discrètes d’ordre 2 de nos suites généralisées de Rudin–Shapiro. Dans la troisième partie, nous terminons par une approche combinatoire de ces questions, qui nous a permis d’obtenir une amélioration du terme d’erreur dans le cas où la taille de l’alphabet est un produit d’au moins deux nombres premiers distincts, et de généraliser certains de nos résultats.This thesis is at the interface between mathematics and theoretical computer science. In the first part, our main objects are finite automata and cellular automata. While relatively different in nature, it is possible to link both by explicit constructions. More specifically, it is possible to realise automatic sequences in the space-time diagrams of cellular automata. In the second part, we study discrete correlation properties of so-called generalised Rudin–Shapiro sequences. These are automatic sequences, hence deterministic, but show similar properties as random sequences with respect to their discrete correlation of order 2. After introducing the objects of study, illustrated by several examples, we first recall the result of Rowland and Yassawi. They showed in 2015 via an algebraic approach that it is possible to construct explicitly any p-automatic sequence (p is a prime number) as a column of a linear cellular automaton with a finite initial configuration. By using their method, we obtain several constructions of classical automatic sequences, and an explicit way to build a family of p-automatic sequences that we study in a more general context in the second part of the thesis. We also investigate several non-automatic sequences, such as the characteristic sequence of integer-valued polynomials and the Fibonacci word, which both can be realised as columns of non-linear cellular automata. We end this part by some results about binary recodings in order to reduce the number of symbols in the cellular automata. Under a binary recoding, we give explicitly a 3-automatic sequence on a binary alphabet, as a column of a cellular automaton with 2 states, that is not eventually periodic. This answers a question asked by Rowland et Yassawi. In the second part of the thesis, we take up research from 2009 of Grant, Shallit, and Stoll about discrete correlations of infinite sequences over finite alphabets. By using the recursivity properties of the classical Rudin–Shapiro sequence, they built a family of deterministic sequences over larger alpha- bets, called generalised Rudin–Shapiro sequences, for which they showed that when the size of the alphabet is squarefree, the empirical means of the discrete correlation coefficients of order 2 have the same limit as in the case of random sequences where each letter is independently and uniformly chosen. Moreover, they gave explicit error terms. We extend their construction by means of difference matrices and establish a similar result on alphabets of arbitrary size. On our way, we obtain an improvement of the error term in some cases. The methods stem, as those used by Grant et al., from the theory of exponential sums. In the third part, we use a more direct combinatorial approach to study correlations. This allows for an improvement of the error term when the size of the alphabet is a product of at least two distinct primes, and allows to generalise some of our results of the second part