Jordi Vives

Salvador Estradé i Sobrepere

Estradé i Sobrepere, Salvador

Vives, Jordi

Hemeroteca Cientifica Catalana

La física en problemesSalvador Estradé i Jordi VivesTal com s’ha dit en números anteriors, l’objectiu d’a-questa secció de la Revista és fomentar l’interès per lafísica entre els estudiants. Per aconseguir-ho demanemal professorat que faci una àmplia difusió d’aquesta pro-posta entre l’alumnat i l’animi a participar-hi.En cada número de la Revista hi haurà dos problemesproposats: un per a estudiants universitaris i un altreper als de batxillerat. Les millors solucions o les mésoriginals apareixeran publicades en el número següent ies premiarà els guanyadors amb una subscripció gratuïtaa la Revista durant cinc anys.Acompanyant la solució, l’estudiant ha de fer constarles dades següents: DNI, nom i cognoms, adreça postal,telèfon, adreça electrònica, nivell i centre d’estudis.Les respostes als problemes proposats en aquest nú-mero s’han de fer arribar abans del 15 d’setembre de2007 a:probuni@ffn.ub.es (nivell universitari)probsec@ffn.ub.es (nivell de batxillerat).Finalment, cal dir que agrairem el fet de rebre —ales mateixes adreces electròniques— tot tipus de sugge-riments i propostes per incloure en aquesta secció.Problema per a l’alumnat de batxilleratEls dos blocs A i B de la figura estan inicialment enrepòs units per una corda inextensible i sense massa quepassa per una politja ideal exempta de fricció. Els blocstenen respectivament masses de 2 i 5 kg i el coeficientde fricció estàtic entre ambdós blocs i els corresponentsplans inclinats és de 0,3.Si apliquem sobre el cos A una força paral·lela alprimer pla inclinat tal com indica la figura adjunta, de-termineu l’interval de valors de la força F que mantél’equilibri del sistema.Problema per a l’alumnat universitariSi fem una ullada als llistats de freqüències electromag-nètiques trobem que la freqüència més baixa de totes esdiu ressonància de Schumann i val 7,83 Hz.Aquest senyal és degut a la interacció entre la Terra ila ionosfera, a través de l’atmosfera. Entre la superfíciede la terra i el límit inferior de la ionosfera a 55 Kmd’altura podem definir una cavitat. Existeix un fluxvertical entre les dues de 1− 3 · 10−12 A i cada una delsmilers de tempestes simultànies que es produeixen en laTerra descarrega entre 0,5 A i 1 A.1) Calculeu la capacitat de la cavitat esfèrica, supo-sant que tenim la distribució superficial de càrrega a unradi a (superfície de la Terra) i una distribució contínuai homogènia de càrrega entre els radis b i c (ionosfera).2) Calculeu la inductància donada per un tall de l’es-fera de radis a i b. El corrent circula entre a i b, travessla superfície i, aplicant el teorema d’Ampère, podremcalcular el camp magnètic necessari per trobar la induc-tància.3) Calculeu la freqüència de ressonància del circuitRevista de Física / Vol. 4(2) (2007) 45L-C prenent el radi de la Terra a de 6371 Km, l’inici dela ionosfera b a 55 km d’altura i un gruix c− b de 1550km.Solució als problemes delnúmero 31 de la RevistaDel problema per a l’alumnat de batxilleratCom que no hem rebut cap resposta suficientment cor-recta, donem la nostra solució:En el primer cas fem incidir un protó sobre un altrede fix. La mínima distància de separació correspondràa quan la velocitat del protó incident sigui nul.la. Aixídoncs, per conservació de l’energia mecànica del protóincident entre la situació inicial i la de mínima distànciade separació, es compleix:12mpv20=14πǫ0q2rmini, fent la substitució numèrica corresponent, obtenim:rmin= 1,10·10−8 m.En el segon cas fem incidir un protó sobre un altrede lliure i en repòs. Així doncs, ara hem de considerarel sistema format pels dos protons: la força de Coulombque actua sobre el protó incident fa que la seva velocitatvagi disminuint mentre que la que actua sobre el protóinicialment fix fa que es vagi incrementant. La mínimadistància de separació correspondrà a quan la veloci-tat de les dues càrregues sigui la mateixa. Per trobarel valor d’aquesta velocitat, apliquem la conservació dela quantitat de moviment del sistema entre la situacióinicial i la de mínima separació:mpv0 = mpv +mpv ⇒ v =v02=2,25·103 m/sPer calcular la mínima distància de separació, apli-quem la conservació de l’energia mecànica del sistemaentre la situació inicial i la de mínima separació:12mpv20=12mp(v02)2+12mp(v02)2+14πǫ0q2rmini, fent la substitució numèrica corresponent, obtenim:rmin= 2,20·10−8 m.Del problema per a l’alumnat universitariCom que no hem rebut cap resposta suficientment cor-recta, donem la nostra solució:El 1960 Robert W. Bussard va proposar un nou tipusde vehicle interestel·lar, anomenat ramjet o estatocol-lector.La idea va ser àmpliament utilitzada en la ciència-ficció, perquè al principi semblava un disseny perfecteper a una nau interestel·lar.Algunes de les obres més destacades amb es-tatocol·lectors com a part fonamental de la tramasón Tau Cero, novel.la de Poul Anderson, Efímeras,de Kevin O’Donnell Jr., A través del mar de soles iRedentora, de Gregory Benford, i Mundo Anillo iLos ingenieros del mundo anillo, de Larry Niven.Estructura del ramjetL’estatocol·lector o ramjet de Bussard es basa en el fun-cionament de l’estatoreactor o ramjet que es fa servir enavions militars de gran velocitat i supersònics. El seudisseny és molt senzill perquè no disposa de parts mòbilscom el compressor i la turbina.Esquema del ramjetEn el disseny del ramjet de Bussard s’ha canviat lacambra de combustió per una cambra de fusió d’hidro-gen capturat del medi interestel·lar.El cicle de Brayton és el cicle termodinàmic que ex-plica el seu funcionament. Està compost per quatre eta-pes.1. Una compressió adiabàtica al difusor d’entrada.2. Addició de calor a P = constant a la cambra dereacció.3. Una expansió adiabàtica a la tovera de sortida.4. Cessió de calor a P = constant al medi interestel.lar.Dibuix del cicle de BraytonEls punts 1, 2, 3 i 4 es defineixen com les superfíci-es de control següents Considerarem un sistema de fluxpermanent. Les propietats del volum canvien d’un punt46 Revista de Física / Vol. 4(2) (2007)Dibuix esquemàtic de la nau amb les superfícies 1, 2, 3 i 4a un altre, però en qualsevol punt fix romandran inalte-rables tot el temps. Cap propietat, intensiva o extensivadins del flux, canvia amb el temps. Així, la massa totalo energia que entra al flux ha de ser igual a la que surt.m˙ = constant, (1)on m˙ és la massa per unitat de temps que travessa al-guna de les superfícies de control. Fent servir el pesmolecular del fluid, M , tenim que els mols per unitat detemps també es conserven.m =M · n =⇒ m˙ =M · n˙. (2)Gas interestel.larConsiderem el gas interestel·lar com un gas ideal mono-atòmic format per hidrogen, amb densitat d’1 àtom percm3 i temperatura de 3 K.ρ1 = 106àtomsm3(3)T1 = 3 K (4)La densitat molar i la pressió del gas són:η1 =nV1=ρ1NA= 1.66 · 10−18molm3(5)P1 = R · η1 · T1 = 4.14 · 10−17 Pa (6)Compressió adiabàtica al difusorUn difusor ideal on Q = 0 i W = 0 (procés adiabà-tic), amb un flux de gas estacionari compleix el balançd’energies següent entre les superfícies 1 i 2:H˙1 + E˙1 = H˙2 + E˙2, (7)on H és l’entalpia i E l’energia cinètica del gas. Faremuna aproximació relativista al problema prenent com aequació de l’energiaE = mc2γ, on γ =1√1− v2c2. (8)L’energia cinètica del gas que travessa una superfícieper unitat de temps serà:E˙ = m˙c2γ. (9)La variació d’entalpia per unitat de temps entre lessuperfícies 1 i 2 és∆H˙ = E˙1 − E˙2 = m˙c2(γ − 1), (10)on la velocitat del gas que travessa 1 és igual a la veloci-tat de la nau i el gas es frena fins que la seva velocitat ésmolt petita, negligible, en 2, abans d’entrar a la cambrade combustió. Una compressió adiabàtica té la variaciósegüent d’entalpia per unitat de temps.∆H˙ = n˙ · Cp ·∆T, (11)amb la qual cosa podem aïllar la variació de temperaturacom∆T = Tc(γ − 1) on Tc =MCpc2. (12)Considerant el gas interestel·lar com un gas ideal mo-noatòmic format només per hidrogen, tenim que:M = 10−3KgmolCp =52R}⇒ Tc = 4, 33 · 1012K. (13)Atès que T1≪T2, la temperatura a l’entrada de lacambra de fusió és:T2 ≃ ∆H˙ = Tc(γ − 1). (14)Perquè la fusió de l’hidrogen tingui lloc en la cambrade combustió necessitem que la temperatura del gas si-gui superior a 106 K i inferior a 1010 K, i ens limita lavelocitat de la nau.106K < ∆T < 106K (15)2, 31 · 10−7 < γ − 1 < 2, 31 · 10−3 (16)6, 80 · 10−4c < v < 6, 80 · 10−2c (17)Perquè a la cambra de combustió s’iniciï la fusió nu-clear, la nau ha de superar els 200000 m/s. Això repre-senta un problema ja que la nau necessita algun altresistema de propulsió per obtenir aquesta velocitat inici-al.També tenim que si la velocitat supera c/10 la tem-peratura a la cambra de fusió serà tan alta que la reaccióde fusió no tindrà lloc. L’energia cinètica dels protonsserà massa gran i xocaran sense reaccionar entre ells.A continuació calculem la densitat molar a la super-fície 2. Una compressió adiabàtica compleixT1 · Vλ−11= T2 · Vλ−12, (18)Revista de Física / Vol. 4(2) (2007) 47on λ és el coeficient adiabàtic i val 5/3. Aplicant elprincipi de continuïtat de la matèria, l’expressió anteriores pot escriureη2 = η1(T2T1) 32, on η =nV. (19)Fent servir l’equació 14 tenimη2 = η1(TcT1(γ − 1)) 32(20)La densitat a l’entrada de la cambra de fusió ésη2 = ηc(γ − 1)32 , (21)onηc = η1(TcT1) 32= 2, 88molm3(22)La pressió del gas es pot calcular amb l’equació d’es-tat del gas idealP2 = R · η2 · T2 = Pc(γ − 1)52 , (23)onPc = RηcTc = 1.04 · 1014Pa (24)Fent servir la inequació 16 tenim que els límits dedensitat molar són3, 2 · 10−10molm3< η2 < 3, 2 · 10−4molm3(25)2, 66 · 10−3Pa < P2 < 2, 66 · 107Pa (26)Aquestes densitats són massa petites, com veuremmés endavant. Els reactors de fusió de tipus tokamak enquè s’investiga actualment arriben a densitats de 3·10−4mol/m3, que és la màxima densitat a què podem arribar.Expansió isobàrica a la cambra de fusióEn la cambra de fusió el gas s’escalfa a pressió constantgràcies a l’energia emessa per les reaccions de fusió.Tenint en compte la taxa de reacció entre els diferentselements i l’abundància relativa dels elements, la reacciómés probable és la D-D (deuteri-deuteri). Suposant queel gas resta en la cambra de fusió 102 segons, l’energiaper mol obtinguda per aquesta reacció és:∆Qn= κ · η2 on κ = 6.39 · 105Jm3mol2(27)Una expansió isobàrica ha de complir la relació ter-modinàmica següent:∆Qn= Cp ·∆T. (28)L’increment de la temperatura del gas en la cambrade reacció és:∆T =κCp· η2. (29)Fent servir la inequació 25 podem trobar els límits al’increment de temperatura en la cambra.9, 84 · 10−6K < ∆T < 9, 84K (30)Com veiem l’increment de temperatura a la cam-bra de fusió és molt petit comparat amb la tempera-tura d’entrada, a causa del fet que la densitat del gas al’entrada de la cambra de reacció és molt petita.Calculem la temperatura, pressió i densitat molar ala sortida de la cambra de combustió.T3 = T2 +∆T = Tc(γ − 1) +κ · ηcCp(γ − 1)32 (31)P3 = P2 (32)η3 = η2 ·T2T3. (33)Expansió adiabàtica a la toveraLa tovera permet la sortida del gas escalfat de la cambrade reacció. Una tovera ideal expandeix el gas adiabàti-cament fins que iguala la pressió a la del gas exterior ala nau. Per això podem imposar queP4 = P1. (34)Una expansió adiabàtica compleix l’equacióPλ−1λ3T3=Pλ−1λ4T4. (35)Fent servir que P1 = P4 i P2 = P3, podem aïllar latemperatura de sortida de la tovera.T4 = T3 ·(P1Pc) 25(γ − 1)−1. (36)Fent servir 24, podem calcularP1Pc=η1ηc·T1Tc=(T1Tc) 52, (37)amb la qual cosa s’obtè T4T4 = T1 +κ · η1Cp(TcT1) 12(γ − 1)12 . (38)La variació d’entalpia per unitat de temps entre lessuperfícies 3 i 4 resulta∆H˙ = n˙ · Cp ·∆T = −m˙c2(γ′ − 1), (39)on ∆T = T4 − T3 i el factor γ′ es refereix a la velocitatde sortida del gas.∆T = T1 +κ · η1Cp(TcT1) 12(γ − 1)12− Tc(γ − 1) +κ · η1Cp(TcT1) 32(γ − 1)32 (40)48 Revista de Física / Vol. 4(2) (2007)Traient factor comú i aproximant tenint en compteque (TcT1)(γ − 1)≫ 1, (41)de l’equació 39 podem aïllar(γ′ − 1) ≃ (γ − 1) +κ · η1M · c2(TcT1) 32(γ − 1)32 (42)Calculem la velocitat d’escapament del gas a la sor-tida de la tovera i la comparem a la velocitat d’entrada.• Si (γ−1) = 2, 31 ·10−7 llavors γ′−γ = 2, 27 ·10−18.• Si (γ−1) = 2, 31 ·10−3 llavors γ′−γ = 2, 27 ·10−12.El coeficient γ ens dóna la velocitat d’entrada del gasa la nau i el coeficient γ′ ens dóna la velocitat de sortidadel gas per la tovera. Podem veure que la diferènciaentre les dues és negligible.La potència generada per la nau es calcula com lavariació d’energia cinètica del gas que entra a la nau idel que en surt.W = E˙4 − E˙1 = m˙c2(γ′ − γ), (43)on fent servir 42 tenimW = m˙κ · η1M(TcT1) 32(γ − 1)32 , (44)on m˙ es calcula en funció de la densitat ρ1 del gasinterestel·lar, l’àrea S escombrada pel disc format pelcamp magnètic i la velocitat de la nau v.m˙ = ρ1 · v · S ·MNA(45)Substituint obtenim la potència generada perl’estatocol.lector.W = v · S · κρ21N2A(TcT1) 32(γ − 1)32 . (46)Prenent com a dada que el diàmetre del disc formatpel camp magnètic és 50.000 km, llavors S resulta 1, 96 ·1015 m2. Podem calcular que l’energia generada per lanau pot variar de 0,136 W a la mínima velocitat, fins a1, 35 · 107 W a la màxima velocitat possible.ConclusionsEn fer un estudi termodinàmic de l’estatocol.lector, re-sulta que no funciona correctament.La temperatura del gas al compressor creix ràpida-ment amb la velocitat i arriba un punt on és massa granper aconseguir la reacció de fusió. I quan s’assoleix latemperatura màxima la densitat no és prou alta per ob-tenir l’energia necessària.El rendiment és massa petit. Es podria millorar po-sant una etapa prèvia a la cambra de reacció per re-fredar el gas i comprimir-lo, però la pèrdua d’energiapot ser més gran que l’obtinguda per la fusió. A més, siposem un compressor ja no funcionaria com un estatore-actor sinó com un turboreactor i l’hauríem d’anomenarturbocol.lector.De tota manera, amb l’estatocol.lector no es podràaccelerar indefinidament fins a apropar-nos tant comvulguem a la velocitat de la llum, com alguns autorshan predit. Fent servir 39, si la temperatura a la cam-bra de fusió és 109 K, la velocitat del gas a la sortidade la tovera serà c/46 i, llavors, no es podrà superarmai aquesta velocitat, perquè la velocitat del gas en-trant seria superior a la velocitat del gas sortint i la naues frenaria.Revista de Física / Vol. 4(2) (2007) 49

La física en problemes

http://revistes.iec.cat/index.php/RdF/article/download/4330/4329

La física en problemes

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hemeroteca Cientifica Catalana