Dans ce livre, on entreprend une aventure graphique dans des mondes fantastiques à deux, trois ou quatre dimensions, en utilisant des polygones (ou 2-polytopes), des polyèdres (ou 3-polytopes) et des polytopes (ou 4-polytopes). Les sujets s’étendent sur plusieurs époques et plusieurs pays, mais une emphase particuliére est mise sur le passé du Japon.
Les étoiles en sont Platon et les polygones, Kepler et les polyèdres, et Fuller et les polytopes.A graphic adventure in two-, three- and four-dimensional fantastic worlds is undertaken in this book, using polygons (or 2-polytopes), polyhedra (or 3-polytopes), and polytopes (or Cpolytopes). The topics extend over many epochs and countries, with particular emphasis on the past in Japan. The stars are Plato and polygons, Kepler and polyhedra, and Fuller and polytopes.Peer Reviewe

Miyazaki, Koji

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Review: Form of Space: Polygons, Polyhedra and Polytopes by Koji Miyazaki* I 1 I I I Topologie structurale #lo, 1984 I 1 Structural Topology #lo, 1984 I Compte rendu: La forme de I’espace: polygones, polydres et polytopes Sommaire Dans ce livre, on entreprend une aventure graphique dans des mondes fantastiques deux, trois ou quatre dimensions, en utilisant des polygones (ou 2-polytopes), des polyt- dres (ou 3-polytopes) et des polytopes (ou Cpolytopes). Les sujets s’ttendent sur plusieurs epoques et plusieurs pays, mais une emphase particulitre est mise sur le passe du Japon. Les &toiles en sont Platon et les polygones, Kepler et les polytdres, et Fuller et les polytopes. Dans la Grkce antique du quatrikme sitcle avant Jesus-Christ, Platon, fascink par Pytha- gore, soutenait dans son Timaeus que le cosmos etait rempli de polygones, en depit des objections d’Aristote et des autres. On peut dire qu’il eut une influence certaine sur Euclide et sur plusieurs autres encore. Dans I’Allemagne du dix-septitme sikcle, Kepler fut tbahi par les decouvertes de Copernic et il constmisit I’espace a partir de polytdres dans son Harmonices Mundi, en dtpit du mepris de Galilee et des autres. Ainsi, il traw la route a Newton et a bien d’autres. Aujourd’hui aux Etats-Unis, Fuller, influenct par Einstein, imagine dans son Synergetics que I’univers est rempli de polytopes, malgd la perplexite de plusieurs personnes, ce qui ne manque pas d’amuser Coxeter ainsi que plusieurs autres. A graphic adventure in two-, three- and four-dimensional fantastic worlds is undertaken in this book, using polygons (or 2-polytopes), polyhedra (or 3-polytopes), and  polytopes (or Cpolytopes). The topics extend over many epochs and countries, with particular emphasis on the past in Japan. The stars are Plato and polygons, Kepler and polyhedra, and Fuller and polytopes. Plato in the ancient Greece of the fourth century B.C., who was fascinated by Pythagoras, explained the cosmos filled with polygons in his Timaeus, in spite of the objection of Aristotle et al., and had influence on Euclid et al. Kepler in Germany of the 17th century A.D., who was astonished at Copernicus, constructed the space filled with polyhedra in his Harmonices Mundi in spite of the disregard of Galileo et al. and gave a hint to Newton et al. Fuller in the U.S.A. of today, who has been impressed with Einstein, is imagining the universe filled with polytopes in his Synergetics in spite of the puzzlement of some people, and which amuses Coxeter et al. * Koji Miyazaki, La forme de l’espace:polygones, poly2dres etpolytopes, Asakura Publish- ing Company, Tokyo, 1983. * Koji Miyazaki, Form of Space: Polygons, Polyhedra and Polytopes, Asakura Publishing Company, Tokyo, 1983. 24 Topologie srmcturale #lo, 1984 Au milieu de la civilisation de chaque tpoque, tousles trois effectutrent des recherches de faqon similaire sur les macro, medio et micro univers, seuls, sans I’aide de telescope ou de microscope et sans tenir compte des suggestions des autres. Finalement, chacun trouva une faqon d e  parvenir a l’espace h quatre dimensions, bien qu’aucun n’en ait donnt une description concrete. Quel spectacle nous offre donc I’espace a quatre dimensions? Les indices permettant de nous le reprtsenter se trouvent dans les polygones de Platon, les polytdres de Kepler et dans les polytopes de Fuller. Par exemple, dans I’espace h trois dimensions, un trtfle A trois feuilles est compost de trois feuilles minces et s’inscrit dans le triangle regulier. Mais dans I’espace a quatre dimen- sions, un tel trtfle sera compost de quatre feuilles Cpaisses et s’inscrira dans le tttratdre rtgulier. De faqon similaire, dans I’espace A trois dimensions, un trtfle a quatre feuilles posstde quatre feuilles minces et s’inscrit dans le carrt. Mais dans I’espace a quatre dimensions, un tel trtfle aura de six a huit feuilles tpaisses et s’inscrira dans le cube ou I’octatdre regulier, les deux ttant mutuellement duals. Dans I’espace a trois dimensions, une fleur de  cerisier posstde cinq pttales minces et s’tpanouit dans le pentagone rtgulier. Mais dans l’espace a quatre dimensions, une fleur de cerisier hyperspatiale aura de douze a vingt feuilles et s’tpanouira dans le dodtcatdre rtgulier ou I’icosaidre, tous deux ttant aussi mutuellement duals. L’arc-en-ciel hyperspatial, dont la forme n’est pas semi- circulaire, mais semi-sphtrique, recouvre un jardin de fleurs a quatre dimensions. Les diamants, dans les mines de l’espace a trois dimensions, ont souvent la forme d’un cube ou d’un octatdre rtgulier. Mais dans I’espace a quatre dimensions, ils ont la forme de I’hypercube ou de la cellule-16. Les &toiles, dans un ciel de I’espace a trois dimensions, scintillent comme si elles Ctaient de petits dodtcatdres ttoilts. Mais dans l’espace 1 quatre dimensions, elles scintillent comme si elles ttaient de petites cellules-120 ttoilkes. En rksumt, les polygones, les polykdres et les polytopes sont les outils efficaces ou les hitroglypes permettant d’explorer et de dtcrire les macro, medio et micro mondes ou le monde multidimensionnel sans aucun telescope ou microscope, et sans avoir a tenir compte des suggestions des autres. Table des mati6res At the center of the civilization of each time, each of these three investigated in a similar manner on the macro, medio, and micro universes, by themselves, without any telescope or microscope and without paying any attention to suggestions by others. And at last, each found his way to the entrance of the four-dimensional space, though none gave any concrete description of the scene. What spectacle does spread out in the four-dimensional space? The clues to show it are in Plato’s polygons, Kepler’s polyhedra, and Fuller’s polytopes. For example, in 3-space, a three-leaf clover has three thin leaves and opens in the regular triangle. So in 4-space, such a clover may have four thick leaves and open in the regular tetrahedron. Similarly, in 3-space, a four-leaf clover has four thin leaves and opens in the square. So in 4-space, such a clover may have six or eight thick leaves and open in the cube or regular octahedron, both of which are mutually dual. In 3-space, a cherry blossom has five thin petals and blooms in the regular pentagon. So in Cspace, a hyper-cherry blossom has twelve or twenty thick leaves and blooms in the regular dodecahedron or icosahedron, both of which are also mutually dual. The hyper-rainbow, whose shape is not semi- circular, but semi-spherical, covers a four-dimensional flower garden. Diamonds in three-dimensional mines have often the cubic or regular octahedral shapes. So in 4-space, they have the shapes of the hyper-cube or 16-cell. Stars in three-dimensional sky sparkle as if they were the small stellated dodechaedra. So in 4-space, they sparkle as if they were the small stellated 120-cell. To sum up, the polygons, polyhedra, and polytopes are the effective tools or hieroglyphs to investigate and describe the macro, medio, and micro worlds or the multi-dimensional world without any telescope or microscope, and without paying any attention to suggest- ions by others. Contents 1. Le cercle de Pythagore. On trace ici I’historique des relations ttroites entre le cercle, le polygone, la sphtre et le polytdre selon les cosmologies de Pythagore, etc. 1. Circle of Pythagoras. The close relations between the circle, polygon, sphere, and polyhedron are historically traced according to the cosmologies of Pythagoras, etc. 2. Le cosmos de Platon. et les polykdres rtguliers, telle que dtcrite dans son Timaeus. On explique ici la cosmologie de Platon, utilisant les polygones 2. Cosmos of Plato. polyhedra is explained according to his Timaeus. The Plato’s cosmology using the regular polygons and the regular 3. Le chaos dAristote. L’objection d’Aristote face au cosmos gtomttrique de Platon est exposte en c e  qu’elle difftre de l’ordre de la nature a l’tchelle microscopique tel que c o n y  par Platon. 3. Chaos of Aristotle. oned as contrasting with the obedience of microscopic nature to Plato. The objection of Aristotle to Plato’s geometrical cosmos is menti- Structural Topology #lo, 1984 25 4. La famille d’Archimde. Les polyidres rtguliers de Platon sont dtformts de manitre symttrique par Archimtde, etc. 5. L’orbite de Kepler. La coupe cosmique de Kepler en tant que receptacle des planites et les dBmes gtodtsiques de Fuller en tant que receptacles des ttres humains, tous les deux &ant dttermints par les polytdres rtguliers, sont comparts les uns aux autres. 6. Le secret de Kukai. Les polytdres rtguliers dont on fait mention dans l’histoire ancienne du Japon se retrouvent dans les reliques saintes ou dans les ltgendes i la mtmoire de Kukai. etc. 7. La synergie de Fuller. Le monde microscopique construit selon les Synergetics de Fuller est expliqut par I’utilisation &arrangements polytdriques de sphtres. 8. Le palais de Kelvin. Kelvin, etc. sont construites et compartes aux formes que I’on retrouve dans la nature. Les juxtapositions ptriodiques de polytdres symttriques de 9. La formuled’Euler. On classifie ici tous les polytdres qui satisfont a la formule d’Euler et parmi ceux-ci, les pavages rtguliers de Pythagore, les polytdres rtguliers de Platon et les tponges rtgulitres de Coxeter sont respectivement relies l’univers plan, sphtrique et hyperbolique. 10. Le labyrinthe de Mobius. Les polytdres rtguliers sont curieusement dtplacts, pivotts et itoilis, et de plus, ils sont transform& en polytdres i un seul cBtt comme la bande de Mobius. 11. La mblancolie de Durer. gones rtguliers et des pentagrammes sont decrits par Durer, Kepler, Penrose, etc. Les arrangements planaires et spatiaux utilisant des penta- 12. L’horizon de Penrose. Des pavages non-ptriodiques et des rtseaux d’hexagones sont conGus par Penrose, etc., en utilisant le nombre d‘or. 13. Le vecteur de Descartes. On prtsente ici une projection dans un espace a trois dimensions des axes coordonnts quadridimensionnels que Yon retrouve dans les oeuvres d’art et dans la nature, et on la compare aux axes coordonnts tridimensionnels de Descartes. 14. La creation de Schlafli. t t t  dtcrits dtja par Schlafli, sont reprtsentts par leurs modtles symttriques. Les six polytopes rtguliers 21 quatre dimensions, ayant tous 15. La nature de Coxeter. Les polytopes rtguliers sont dtformts par Coxeter et par d’autres, ce qui nous permet de concevoir des ttoiles, des flocons de neige, des fleurs, des diamants, etc., tous quadridimensionnels. 16. La sphere d’Einstein. On trace rebours l’histoire des figures quadridimensionnelles en Orient et en Occident en partant #Einstein, notre contemporain, jusqu’i Platon dans l’Antiquit6, et finalement, on substitue au cosmos dodecatdrique regulier et tridimensi- onnel de Platon le cosmos quadridimensionnel dont la forme est dtterminte par la cellule- 120. 4. Family of Archimedes. Archimedes, etc. 5. Orbit of Kepler. The cosmic cup of Kepler as the vessel of the planets and the geodesic domes of Fuller as the vessel of the human beings, both of which are determined by the regular polyhedra, are compared with each other. Plato’s regular polyhedra are symmetrically deformed by 6. Secret of Kukai. The regular polyhedra seen in the past of Japan are traced by the holy relics or legends in memory of Kukai, etc. 7. Synergy of Fuller. The microscopic world constructed according to Fuller’s Synerger- ics is explained by using the polyhedric arrangements of spheres. 8. Palace of Kelvin. constructed in relation with the designs of nature. Periodic space fillings by symmetrical polyhedra of Kelvin, etc. are 9. Formula of Euler. Polyhedra, all of which satisfy the Euler’s formula, are  classified, and of them, Pythagorean regular tessellations, Plato’s regular polyhedra, and  Coxeter’s regular sponges are related to the plane, spherical, and hyperbolic universe respectively. 10. Labyrinth of Mobius. The regular polyhedra are curiously moved, rotated, and stellated, and moreover, changed to the one-sided polyhedra like the Mobius strip. 11. Melancholy of Durer. and pentagrams are shown by Durer, Kepler, Penrose, etc. The planar and spatial arrangements using regular pentagons 12. Horizon of Penrose. Non-periodic tessellations and honeycombs are designed by Penrose, etc., using the golden-ratio. 13. Vector of Descartes. A projection into 3-space of the four-dimensional co-ordinate axes, which are seen in arts and nature, is introduced in comparison with the three- dimensional Cartesian co-ordinate axes. 14. Creation of Schlafli. The six regular polytopes in Cspace, all of which were already described by SchlBfli, are shown by their symmetrical models. 15.Nature of Coxeter. The regular polytopes are deformed by Coxeter et al., and according to them, four-dimensional stars, snowflakes, flowers, diamonds, etc., are designed. 16. Shpere of Einstein. A history of four-dimensional figures in the East and  West are traced backwards from Einstein of the present to Plato of the past, and lastly, the Plato’s three-dimensional regular dodecahedra1 cosmos is replaced with the four-dimensional cosmos whose form is determined by the 120-cell. 26 Topologie sttucturale #lo, 1984 Les principaux apports originaux de ce livre 1. La prtsentation d’exemples oh I’on retrouve des polytdres dans I’histoire ancienne du Japon (dans chaque section). 2. La construction de riseaux d’hexagones non-ptriodiques utilisant les iso-zonatdres d’or (section 12). 3. La suggestion de l’existence rtelle d’une quatritme dimension dans la nature par l’utilisation de quatre lignes qui relient le centre du tttra2dre rtgulier B ses quatre sommets (section 13). 4. La construction des modeles symttriques de polytopes rdguliers quadridimensionnels (section 14). 5. La dtformation des polytopes rtguliers en des polytopes semi-rtguliers et ttoilts (section 15). 6. La suggestion de l’aspect des oeuvres d’art et de la nature en quatre dimensions B travers des polygones, polytdres et polytopes symktriques (sections 13- 16). Adresse de I’auteur: Koji Miyazaki Kobe University 1-2-1 Tsurukabutu Nada-Ku Kobe-Shi 657 Japan Main Original Works in this Book 1. Introduction of the polyhedral traces in the past of Japan (each section). 2. Construction of non-periodic honeycombs using the golden iso-zonohedra (section .12). 3. Suggestion of the four-dimensionality of actual nature using four lines which connect the body-center and four vertices of the regular tetrahedron (section 13). 4. Construction of the symmetrical models of four-dimensional regular polytopes (sec- tion 14). 5. Deformation of the regular polytopes into the semi-regular and stellated polytopes (section 15). 6. Suggestion of the fourdimensional arts and nature through symmetrical polygons, polyhedra, and polytopes (sections 13- 16). Address of the author: Koji Miyazaki Kobe University 1-2-1 Tsurukabutu Nada-Ku Kobe-Shi 657 Japan 

Compte rendu: La forme de I’espace: polygones, polyèdres et polytopes

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