En este trabajo se muestran los comportamientos dinámicos cercanos a una resonancia 1:2 en sistemas con retardos, por medio de la metodología en el dominio frecuencia. Se hallaron y aproximaron los ciclos asociados a una u otra frecuencia, se efectuó el análisis de su estabilidad y se detectaron bifurcaciones de ciclos características.Fil: Itovich, Griselda Rut. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; Argentina. Universidad Nacional de Río Negro. Sede Alto Valle. Escuela de Producción, Tecnología y Medio Ambiente; ArgentinaFil: Gentile, Franco Sebastián. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - Bahía Blanca. Instituto de Investigaciones en Ingeniería Eléctrica "Alfredo Desages". Universidad Nacional del Sur. Departamento de Ingeniería Eléctrica y de Computadoras. Instituto de Investigaciones en Ingeniería Eléctrica "Alfredo Desages"; ArgentinaFil: Moiola, Jorge Luis. Universidad Nacional del Sur. Departamento de Ingeniería Eléctrica y de Computadoras. Instituto "alfredo Desages"; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; ArgentinaVI Congreso de Matemática Aplicada, Computacional e IndustrialArgentinaAsociación Argentina de Matemática Aplicada, Computacional e Industria

Gentile, Franco Sebastián

Itovich, Griselda Rut

Moiola, Jorge Luis

Spanish

CONICET Digital

VI MACI 2017 - Sexto Congreso de Matemática Aplicada, Computacional e Industrial2 al 5 de mayo de 2017 – Comodoro Rivadavia, Chubut, Argentina86ANÁLISIS LOCAL DE UNA RESONANCIA 1:2 EN SISTEMAS CONRETARDOS EN EL DOMINIO FRECUENCIAGriselda R. Itovich , Franco S. Gentile ∗† y Jorge L. Moiola †‡ Escuela de Tecnología, Producción y Medio Ambiente - Sede Alto Valle - Universidad Nacional de RíoNegro, Tacuarí 669, (8336ATG) Villa Regina, ARGENTINA, gitovich@unrn.edu.ar∗ Dpto. de Matemática - Universidad Nacional del Sur (UNS), † Instituto de Investigaciones en IngenieríaEléctrica - IIIE (UNS-CONICET), ‡ Dpto. de Ing. Eléctrica y de Computadoras - UNS, Avda. Alem 1253,(B8000CPB) Bahía Blanca, ARGENTINAResumen: En este trabajo se muestran los comportamientos dinámicos cercanos a una resonancia 1:2 en sistemascon retardos, por medio de la metodología en el dominio frecuencia. Se hallaron y aproximaron los ciclos asociados auna u otra frecuencia, se efectuó el análisis de su estabilidad y se detectaron bifurcaciones de ciclos características.Palabras claves: Resonancia 1:2, Dominio frecuencia, Bifurcación de Hopf2000 AMS Subject Classification: 34K13 - 34K18 - 34K20 - 37L10 - 37N35 - 93C231. INTRODUCCIÓNEn general, en sistemas físicos, biológicos y de economía, existen interacciones que involucran estados anteriores,que deben modelarse con un conjunto de ecuaciones diferenciales con retardos (EDRs, ver [1],[5]). Por otra parte eldesarrollo y uso de sistemas de control automático, también dio gran impulso al desarrollo de este área, a través de lanoción de control realimentado. Resultan innumerables los aportes que se dan en esta temática ya sea por el análisisde ejemplos prácticos [5] o por resultados teóricos [1]. En este trabajo, se exponen algunas generalidades del marcoteórico en la Sección 2 para luego presentar la metodología en la Sección 3. Posteriormente, se introduce la nociónde estabilidad de ciclos y sus bifurcaciones en la Sección 4 y se caracteriza la resonancia 1:2 en la Sección 5. Losresultados obtenidos para el ejemplo considerado se muestran en la Sección 6 y por último, en la Sección 7 se danalgunas conclusiones.2. BIFURCACIÓN DE HOPF EN SISTEMAS CON RETARDOSSe considera un sistema de EDRs como̇ =  (   ) 0() = ()  ∈ [− 0]  (1)donde  = ()  ∈   = ( − )   0 y  ∈  ∈ (Ω), donde Ω ⊆ 2 × . Se supone que̂ es un equilibrio de (1) y su estabilidad se deduce de la EDR lineal asociada, a saber, ̇ = 0  + 1   donde0 =¯̄̂y 1 = ¯̄̄̂, lo cual lleva a estudiar cuáles son las raíces de la ecuación característica  () =det( − 0 − 1− ) = 0. Se sabe que ̂ es asintóticamente estable si todas las raíces de  tienen parte realnegativa. Si al variar  dos raíces complejas de  cruzan el eje imaginario y pasan al semiplano derecho, el equilibriocambia su estabilidad y puede aparecer una bifurcación de Hopf (bH). Este es un fenómeno muy conocido paraecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) y EDRs, que permite asegurar la aparición de soluciones periódicas [6].Dado que el enfoque adoptado en este trabajo para el análisis de la bH es el dominio frecuencia, se profundizará estetema en el marco de siguiente sección.3. ENFOQUE EN EL DOMINIO FRECUENCIAUn problema modelado como (1) puede expresarse como̇ = 0+1 +  = −  = (  ) (2)donde se han introducido nuevas variables  ∈  y  ∈  para interpretarlo como un sistema realimentado ylas matrices 01 y  de órdenes apropiados dependen de , en general Aplicando transformada de Laplace yefectuando algunas operaciones, se llega a la ecuación de equilibrios (0 )() = − donde ( ) = ( −0−1− )−1 Hallando su solución ̂ y linealizando el sistema se obtiene la función característica que resuelve:(    ) = det( −( )− ) = 0, donde  = ¯̄̄̂ Se conoce el siguiente resultado:VI MACI 2017 - Sexto Congreso de Matemática Aplicada, Computacional e Industrial2 al 5 de mayo de 2017 – Comodoro Rivadavia, Chubut, Argentina87Lema: Si el sistema (1) exhibe una bifurcación de Hopf en (0 0) para una frecuencia 0 entonces la matriz de lalinealización del sistema realimentado que resulta de (2), a saber, la matriz ( )− tiene un único autovalor ̂que pasa por -1 en esa configuración y cuando  = 0En otras palabras, si existe una bH en (0 0) para  = 0 esta configuración satisface que (−1    ) = 0.Separando partes real e imaginaria de esta expresión genérica, esto es1(  ) = Re [(−1   )] = 0 2(   ) = Im [(−1    )] = 0 (3)se obtiene un sistema de ecuaciones que determina una condición necesaria para la existencia de una bH.Se utilizará el teorema de Hopf gráfico ([8] y [9]) donde la intersección de dos lugares geométricos en el planocomplejo representa una solución periódica. Además, con este resultado se puede determinar la estabilidad local delas órbitas emergentes mediante el signo de = −ReÃwT(0 0)p1−00wT  [( 0)−0 ]¯̄=0v! (4)donde wT y v son los autovectores a izquierda y derecha de la matriz ( )− asociados con ̂ y p1 = (02 ⊗ v+ 05v̄⊗ 22) + 0125 (v⊗ v⊗ v̄)  donde  = 22¯̄̄̂  = 33¯̄̄̂y 02 = −025(0)v⊗v̄22 = −025(2)v⊗v con () = ( + ( )− )−1( ). Si   () 0 el ciclo es estable(inestable), siempre que el equilibrio cambie su estabilidad en la bH.También es posible construir fórmulas aproximadas para las soluciones a partir de la determinación de estimacionesde la amplitud  y de la frecuencia Estas expresiones resultan de un balance de armónicos de segundo orden o mayor,con un cálculo creciente de coeficientes según sea el caso [9].4. ESTABILIDAD Y BIFURCACIONES DE CICLOSEn el origen de la rama de ciclos, la estabilidad, según (4), es un dato conocido pero puede suceder que ésta cam-bie. Esto se conoce como bifurcación de ciclos (BC). Es ahí, donde aparecen escenarios dinámicos clásicos comoduplicación de ciclos con frecuencias cercanas (bifurcación silla-nodo de ciclos), duplicación de ciclos con frecuen-cias en relación 1:2 (bifurcación de doble periodo de ciclos) o aparición de soluciones cuasiperiódicas (bifurcaciónNeimark-Sacker). Para determinar la estabilidad de una solución periódica, es necesario calcular sus multiplicadoresde Floquet. Todo ciclo tiene un multiplicador trivial que toma el valor 1. Cuando algún multiplicador (no trivial) cruzala frontera del círculo unitario se da una BC y se clasifica según la descripción anterior. En EDRs, los multiplicadoresdel ciclo analizado forman el espectro del operador de monodromía y se busca una aproximación de dimensión finitadel mismo. Así, la evolución de sus autovalores permite detectar las bifurcaciones del ciclo, como se describe en [2].5. LA RESONANCIA 1:2Cuando falla alguna de las hipótesis del teorema de bH aparece una degeneración de Hopf (dH). Entre ellas, si laecuación característica  () = 0 tiene, para algún valor de , dos pares de autovalores imaginarios puros como ±0y ±20 se presenta una singularidad conocida como Hopf doble resonante 1:2, que se asocia con ciertas BC comode doble periodo y también Neimark-Sacker. Esta degeneración ha sido analizada con distintas técnicas, como porejemplo, formas normales y tipificada completamente en el contexto de EDOs [7].6. EJEMPLOSe considera el modelo considerado por Campbell y Leblanc [3] que puede escribirse como01 = −1 − 522 + (2(− )) 02 = 1 (5)donde  es un parámetro y se supone que existe un punto de equilibrio E=(0 ∗2) ((∗2) =52∗2) Tomando encuenta la linealización de (5) en E, de acuerdo con la Sección 2, resulta  () = 2 +  + 52 − 1− = 0, donde1 = 0(∗2) Una condición necesaria para que aparezca una bH resulta de  () = 0 que se traduce en el sistemade ecuaciones de Hopf H: {−2 + 52 − 1 cos = 0  + 1 sin = 0}. De acuerdo con la Sección 5 unaresonancia 1:2, cumple  () = 0 y  (2) = 0 de donde resulta que  = 1  = 0 1 = −32 y  = (2 − 1) ∈ N. Volviendo con el sistema anterior, de aquí en adelante se considerará  = 0 se pueden expresar las curvasde bH en el plano 1 −  como 1() = (−1)³52 −¡¢2´  ∈ N y la singularidad particular elegida es la quecorresponde a  = (1 ) = (−32  ) Para aplicar la metodología en el dominio frecuencia, es necesario dar unaVI MACI 2017 - Sexto Congreso de Matemática Aplicada, Computacional e Industrial2 al 5 de mayo de 2017 – Comodoro Rivadavia, Chubut, Argentina88realizacion del sistema (5) para que resulte como en (2) y para esto se definen las matrices0 =µ0 −521 0¶ 1 = 02  =µ10¶  =¡0 1¢de modo que  = −2 y  = ( ) = (− ) Se considera el caso particular () = 1+092 Así los equilibriosresultan de la ecuación (0)() = − Como () = ∆−1() donde ∆() = 2 + 52 se llega a (−) = −52,que se resuelve con  = −∗2 En particular, se toma ∗2 = 0 y así resulta E=(0 0) De esta manera, el autovalorcaracterístico (ver el Lema de la Sección 3) se expresa como̂ = ()− = −1−∆−1() (6)De nuevo, analizando cuando esta última expresión toma el valor -1 para  =  y al separar partes real e imaginaria,siguiendo (3) se obtiene el sistema H así como también las curvas bH. Estas curvas y otras auxiliares que surgen deldesarrollo que sigue, cobran mucha importancia debido a que definen regiones en el entorno de la singularidad donde se reconocen escenarios dinámicos particulares. De acuerdo con la realización efectuada (la variable de entrada y la salida  son de dimensión 1, de modo que el sistema realimentado resulta SISO -   -  ),los autovectores v y w son ambos iguales a 1 y otros vectores auxiliares, propios de la metodología, resultan nulos.De esta forma para hallar la expresión de (4) y determinar la estabilidad sobre las curvas de bH cercanas a  sóloresta el cálculo de p1 que resulta p1() = −1822³2¡52 − 1¢−1+¡∆(2)2 − 1¢−1´ donde 2 =  00(∗2)Analizando con las dos frecuencias críticas  = 1 y  = 2 sobre las curvas 1(1) y 1(2) en un entorno de  se llegaa que   0 siempre excepto cuando P∈ 1(1) y 1 ∈ ,  =£−32 −2522¤  donde   0 (ver Figura 1 (a)). Además sedetectó un punto de dH, donde  se anula, a saber  = (1 ) =³−2522  ¡1115¢05´que se destaca en el análisis quesigue.Aplicaremos el método frecuencial para detectar y aproximar las soluciones periódicas que aparecen en cercaníasde , vinculadas con una u otra frecuencia crítica ( = 1 o  = 2) usando armónicos hasta el orden cuarto [9].En primer lugar, se consideran los ciclos asociados con la frecuencia  = 1 para una configuración de parámetros(1 ) cercana a  Una primera aproximación de la frecuencia resulta de hallar el valor de  tal que Im ̂() = 0que notamos en adelante ̃ =   Con este dato y teniendo en cuenta la realización del sistema, se calculan doscomplejos 1 y 2 donde 1 = −p1(̃)(̃) y 2 = −p2(̃)(̃) siendo p1(̃) = −0405n2(0) +1(2)op2(̃) = −0164025n2|(2)|2(3)+3[(0)]2(3)+3[(0)]3[(0)]3|(2)|2(3)o donde () =h52 − (̃)2i(−1) − 1Ahora se debe resolver la intersección entre el lugar geométrico del autovalor característico ̂ (6) y el lugar geométricode la amplitud 2 = −1+ 12 + 24 , para hallar las aproximaciones de amplitud  y frecuencia  de la soluciónperiódica de la rama emergente de la curva 1(1), empleando armónicos hasta el orden cuarto. Esto lleva, despuésde algunos cálculos a la ecuación 4 + 2 +  = 0 donde  =p2(̃)  =p1(̃) y  = −³1 +52 −¡¢2´ dela que interesa sólo el número de raíces positivas y sus valores, que corresponden a la amplitud de una solución pe-riódica. Para poder avanzar resulta clave conocer el signo de   y  en el entorno de  y para esto conviene representarallí las curvas de Hopf 1(1) y 1(2), así como una curva auxiliar 1() =156 − 83¡¢2que contiene al punto  dondetambién se anula  =p1(̃) De esta forma se obtienen seis regiones, como puede apreciarse en la Figura 1 (a). Es fácilprobar que  =p2(̃)  0, en cercanías de  También, hay que observar que las soluciones de la ecuación  = 0, sonlos puntos del gráfico de 1(1) Aplicando la regla de Descartes, es posible determinar o acotar el número de raícespositivas de una ecuación, atento al signo de sus coeficientes. Observando la Figura 1 (a), en este caso resulta que enlas regiones 1 y 5 no existen soluciones positivas, en las regiones 2, 4 y 6 hay una sola raíz positiva y en la región 3pueden existir dos o ninguna raíz positiva. Esto se debe a que en la región 3 hay una curva de BC de tipo silla-nodoque separa una porción donde hay dos soluciones de otra donde no hay ninguna. Este resultado pudo establecerserecién ahora con esta metodología puesto que usando aproximaciones de segundo orden no fue posible hacerlo. Enla Figura 1 (b) está representada la continuación de la rama de ciclos que nace en (1 ) = (−12411; 28), que seobtiene en forma numérica (Dde-Biftool) [4] y con la metodología en frecuencia usando cuarto orden. En resumen,estos resultados confirman la existencia y número de ciclos límites con frecuencia cercana  = 1 en un entorno de Para detectar las soluciones periódicas ligadas con la frecuencia crítica  = 2, se debe rehacer todo el análisis anteriorahora con la primera aproximación de la frecuencia ̃ = 2  Del mismo modo, se puede confirmar la existencia deciclos asociados con la frecuencia 2 sólo en las regiones 5 y 6 de la Figura 1 (a).Por otra parte, se han detectado BC de tipo doble periodo, características de la resonancia 1:2, en la región 5, tantoen forma numérica [4] como con la metodología en frecuencia. A saber, con  = 34, empleando Dde-Biftool sedetecta una tal bifurcación para un ciclo de amplitud  cercana a la unidad, para un valor 1 ≈ −11234 y con unaVI MACI 2017 - Sexto Congreso de Matemática Aplicada, Computacional e Industrial2 al 5 de mayo de 2017 – Comodoro Rivadavia, Chubut, Argentina89−1.26 −1.24 −1.2200.511.52f12*θ(b)SN2 2.5 3 3.5 4−2−1.5−1−0.50τf 1(a)f1(2)f1(1)f1(aux)(4)(3)(2)(1)(5)(6)TSFigura 1: (a) Curvas de Hopf 1(1) y 1(2) que se cruzan en . El equilibrio es estable en las regiones 1 y 3, e inestableen el resto. Ciclos emergentes estables (rojo) e inestables (verde). La curva en negro es 1(), que se cruza con 1(1)en  donde  = 0 (b) Rama de ciclos que nace en (1 ) = (−12411; 28) asociada con  = 1, que ocupa lasregiones 3 y 4 (ver Figura 1 (a)). Los colores representan la estabilidad de la solución periódica. Dde-Biftool (azul).El punto de retroceso es un punto de BC de tipo silla-nodo (SN).frecuencia  = 1848 Por otra parte, utilizando la expresión aproximada del ciclo de orden 4 y la técnica de [2], seconsigue ver que tal bifurcación se encuentra en 1 ≈ −11213 En este caso, el error relativo es del orden del 2%, locual puede atribuirse a la amplitud del ciclo en esa configuración o a que la singularidad está alejada del punto de bH,en este caso para 1 = −091517. CONCLUSIONESEn este trabajo se analizó el entorno de una resonancia 1:2 en ecuaciones con retardo empleando la metodologíaen el dominio frecuencia. Esto permitió establecer la existencia de soluciones periódicas asociadas a una u otra fre-cuencia, así como la determinación de una expresión analítica aproximada que emplea armónicos hasta el cuartoorden, resultados que fueron contrastados numéricamente. Por otra parte, también se evaluó la estabilidad de los ciclosemergentes y se detectaron BC típicas en el escenario de la singularidad estudiada.AGRADECIMIENTOSG. R. I. agradece la ayuda brindada por la UNRN (PI 40/A389) y F. S. G. y J. L. M. hacen un similar reconocimientoal CONICET. Este trabajo ha sido subvencionado por aportes de la SGCyT de la UNS (PGI 24/K064) y de ANPCyT(PICT-2014-2161) y de CONICET (PIP 112-201201-00144).REFERENCIAS[1] B. BALACHANDRAN, T. KALMAR-NAGY Y D. GILSINN, Delay Differential Equations: Recent Advances and New Direc-tions, Springer, 2009.[2] E. BUTCHER Y B. MANN, Stability analysis and control of linear periodic delayed systems using Chebyshev and temporalfinite element methods, en B. Balachandran et al. (eds), Delay Differential Equations, Springer, pp. 93-129, 2009.[3] S. CAMPBELL Y V. LEBLANC, Resonant Hopf-Hopf Interactions in Delay Differential Equations, Journal of Dynamical andDifferential Equations, Vol. 10 Nro. 2 (1998), 327-345.[4] K. ENGELBORGHS, T. LUZYANINA Y D. ROOSE, Numerical bifurcation analysis of delay differential equations using DDE-BIFTOOL, ACM Transactions on Mathematical Software, Vol. 28 Nro. 1 (2002), pp. 1-21.[5] T. ERNEUX, Applied Delay Differential Equations, STAMS 3, Springer, 2009.[6] J. HALE Y S. VERDUYN LUNEL, Introduction to Functional Differential Equations, AMS 99, Springer, Nueva York, 1993.[7] V. LEBLANC Y W. LANGFORD, Classification and unfoldings of 1:2 resonant Hopf bifurcation, Arch. Ration. Mech. Anal.136 (1996), pp. 305-357.[8] A.I. MEES, Dynamics of Feedback Systems, John Wiley & Sons, Chichester, UK, 1981.[9] J.L. MOIOLA Y G. CHEN, Hopf Bifurcation Analysis: A Frequency-Domain Approach, vol. 21, World Scientific, Singapur,1996.

Análisis local de una resonancia 1:2 en sistemas con retardos en el dominio frecuencia

https://ri.conicet.gov.ar/bitstream/11336/169251/2/CONICET_Digital_Nro.d9f18b04-9254-4f49-8b9a-1e42a2e70210_A.pdf

Análisis local de una resonancia 1:2 en sistemas con retardos en el dominio frecuencia

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

CONICET Digital