用变分方法得到一类非线性差分方程多重周期解的存在性.我们的结果推广了Cai, Yu和Guo[Comput.Math.Appl.,52(2006),1630-1647]的结果,并且这里给出的证明显著地简化了.Multiple solutions for a class of nonlinear difference equations are obtained by variational methods. Our results generalize a recent result of Cai,Yu and Guo[Comput.Math.Appl.,52(2006),1630-1647],and the argument here is considerably simpler.Supported by National Natural Science Foundation of China(10601041) and by NCETF

刘轼波

方飞

王楠

Journal of Mathematical Study

Xiamen University Institutional Repository

第 41 卷 第 3 期2 0 0 8 年 9 月数 学 研 究J o ur an lo f M at eh ma t i e a l St u dy、勺1.4 1Se PN o.3.2 0 0 8M u l t i P le P e r i o d i e S o l u t i o n s fo r N o n l i n e a rD iefr e n e e E q u at i o n saF ng eF i Wa ng Na n L i u S hi b o氏 ho o l o f M at eh m at ialc Sc ie necs,X iame n U n ivesri yt X i ame n , X ianre n F u 」i an 3 6 1 0 0 5 )A bs t r ac t M dt ip le so xut ions for a e laso f no 川 i~d i而ecne e q u at io ns are o玩`n记 by varia t io n a l m et h o山.o ur esurlt s 罗 ner al ieza r” ntr es ulto f C al,uY an d G uo [oC m p ut.M at h.A p p l. ,5 2 (2 0 0 6 ),1 6 3于 16 4 7』, a dnt he ar gu m e nt h e r e 运 co ns id er ab ly s im P ler·K ey wor d s 卿ido ieso lut ions for d i fercen仪u at i o ns : pa lia -s s m iae co dn it io n ; t hr ee r it i e a l p o inet t h or e m ;C lar k, 5 t h eor e mC L C n u m b e r 0 1 5 1 D o e u m e nte o d e A1 I ntr o d u e t i o nI n a r e e e nt p a p e r 【1」,C a i,uYa n d G u o e o sn ide r e d t he 而s t e n e e o f mu lt ip le 。一p e r i o d ies o lu t io sn fo r t h e n o n lin e ar d i fe er ne e equa t io n s o f t he for m△ (P。(酝。 一 l)占) + f (二 , x 。) = 0,n 任 Z ; (l )w h e r e m 全 2 is a 叙e d inte g e r, △ 15 t h e foivarr d d i瓜r e n e ex 。 + l 一 x 。,{几 } 15 a r e al s e q u e n e e s u hc t ha t 几 > 0,p 。 + 。e o nt i n u o us fun e t i o n o n 2 x R s u由 t h ato P e r a t o r d e if n e d 饰 △ x。== po fo r al l 。 任 Z ; f isaf (二 + 二, z) = f (n , z),fo r a ll (n , z) 任 2x R ;a n d 占> 0.T h r o u hgo u t t h is p aPe r , t ha e o ven nti o n (一 1 )占 =L e t F (n, z) = foz f (。 , s ) ds.sAs u m in g in ad d i t io n t h a te o n d it io l s :一 1 15 m ad .ef (n, z)s at is if es t h e fo llo w i n g(lH ) for a叮: 任 R,F (二 , z) 全 0,lim名一 0f (n, z)z 占= 0,(2 )R e c e i v e d d a t e : 2X() 7一0 -7 0 8OFu n d a t io n i t e m:Su p P o r t de by N at io n al N at ur al cS ie n e eoP un d at io n o f C h i n a (1 06 0 1 04 1 )a n d 勿 N C E T F J第 3期 aF gn eF ie t a l.: M u l t i P l e P e r i o d i e s o l u t io sn fo r n o n l i n e a r d l fer e n e e e qua t i o sn 2 3 5(2H ) t he r eiexs t s R : > 0 an d 口 > 占+ 1s u c h t h at fo r 二 任 N a n d / 任 R w i t h }:}全凡,: f (n, :) 全口F (n , z ) > 0.I t fo l lowsfr o m ( 2) t ha t f (n , 0 ) = 0,t h e r e fo r e x 。 = 0 15 a t r ivi al -m pe r io d ic S o lu t i o no f ( 1).I n {1』T he o r e m 3.1, u n d e r t h e as s-um pt io sn (lH )a n d (2H ),t h e a u t h o rS 0 b t a in e dtwnn o nt r ivi a l二 pe r i o d i e s o l u t io n s fo r t h e p r o b le m ( 1) 饰u s in g va r iat i o n a l m e t h o d s an dt h e l in k i鳃 t he o r e m 【2〕T h e o r e m 5.3.I n t hi s P a P e r we w i ll ge n e r al i z e t ha i r ser lu t.We im Po s e t h e fo l lo iw n g e o n d i t io sn o nt h e n o lu in e ar i ty f (n, :):。fn 、 t h e r 。 、t。 : , 。 。 u e h t h a t F on,: 、 > 。 of r 。 n 一: l 、 :, 。 n d lim 军华典2一 。,“`一 ” 一`z一 o }z }1十 “(fo ) lim}:} , oF (n , z)}z}, + 。= + co u n iof r m ly i n n 任 2.T h e n 丫Ve h a v eT h e o r e m 1 A s s u m e t h a t (f0 )a n d (cof ) are s a t i s if e d,t h e n t h e p r o b le m ( 1) h asa tle as t t w ( 〕 n o lt r i v ia l s o l u t io n s.eR m ar k T he lim i t i n (f0 ) im p lies t h at f (n , 0 ) = 0, s o x 。 = 0 15 a t r ivi a l m一p e ir o d i es o l u t i o n o f ( 1).N o t e t h at t h e e o n d i t io n (lH )o f C ia,uY an d Gu o【11 15 a g l o b公 as s u m p t i o n,w h i l eo u r(f0 )o n ly r qe u i r e s F (n, z) 七 0 for s二吐 1 12}.B y ane as y e o m p u t at io n,i t 15 e as y t os e e t h a t (2H ) im p lies t ha t t h e er 骊s t s a ; > 0, a : > 0 s u hc t h a tF (n , : ) 全a l121口一a 2.S in e e 口> 占+ 1,wes e e t h at (2H ) 15 s t r o n g e r t h at o u r (fo ).T h e r e fo r e, o ur T h e o r e m l罗 n e r al i z e s {1} T he o r e m 3.1 e o n s i d e r ab 琢I f f (。 , 名) 15 o d d i n z,t h e n weeano b t ian be t t e r r se u l t.T h e o r e m 2 A s s u m e t h a t (f0 ) an d (fo ) are s at is if de,if f (n, z) = 一 f (n , 一 z ) for a l l(二, z) 任 2x R,t h e n t h e p r ob le m (1 ) h as at le as t 。 一 1 p ia r s o f n o nt ir vi al s o l ut io sn.T h i S S y m m e t r ic c as e h as n o t b e e n e o sn i de er d i n 【1」.T h e p r o o f o f 【1} T he o r e m 3.1 15b as e d o n t h e lin ik n g t h e o r e m 【2」T he o r e m 5.3,w ih 比 r e妙 ir e s s o m e t e d io u s es t im a t es.w 匕s h a l l p r voe T heo rem 1a n d T h co r e m 2 us i雌 t he t hr ee r it i e a l p o i nts t heo rem {3},l4[a n dt h e C l a r k, 5 t h e o r e m 【5 },{2」.I t t u r璐 o u t t h a t o ur a p p r o a c h 15 e o n s i d e r a b le s im p l e r.T h e t h r e e e r i t ie a l P o int s t h e o r e m a n d t h e C l ar k, 5 t h e o r e m hvaeP la y e d a s ign iife a n tr o l e in t h e s t u d y o f d ifer e nt ial e妙at iosn.eRe e nt l又 L iu 沁}a p p l ie d t h es e t h e o r ems to2 36 数 学 研 究 2 0 0 8 年d ifer e n e e e q u a t io n s a n d o b t a in e d s o m e int e r e s t in g r e s u lt s.T h is wor k 15 m o t iva te d b y L i u【6」.2 P r o o fa o f t h e t h e o r e msA s in 【11,we de if n e t h e l in e ar o p e r at io n s o n凡一{x 一 {x 。}。 。 z : x 。 。 R, x n + 。 一 xn , n 0 2}in ano bvi o us 圳甘 ) t he n d e ifne t h e i n n e r P r o d u e t an d no r m }卜}}o n凡 as fo l l二s :, n(x , 。卜 艺x 。纵,n = 1z ~ \ 1 / 2, ” . 、xI 一 }又引\ n = 1 /x,夕任 尽刀.T h e n,石m 15 a m一d im e sn io n al H il b e r t s P ac e a n d l in e a r is o m o rP h i e t o Rm.W e d e if n e a fu n e t io n al l : 尽几* R,1 皿` (x ,一 了石息几+ ` (△ x·)”宁` 一 艺州二 , xn ), x 一 {纵 } 任凡·几= 1S in e e f 任 C (2x R,R ),i t fo llows t h a t l 任 C ` (凡,R ).A e e o dr i n g to【1」,t h e e r i t i e a l p o i nt so f 1 ar e xe ` t ly t he二 pe r io d i e s o l u t io sn o f (1 ).5 0 we h vaet o if n d e r i t i e al p o in t s o f 1.oFr t h is P u pr o s e we ne e d t ha fo l lo衍 n g r e s u lt s.p r o p o s it i o n 1 13,4 ] L e t 召 b e a B二a ch s p ac e,沪 任 C ` (E,R )s at is if e s t h e p al a i s一Sm al e(P S )e odn it io n an d 15 b o un de d fr o m b e low.S u p p os e 沪 h as a lo e a l l乞n k乞n夕 at t h e o r iig n0, n a m e l又 t he er are a d e e o m P o s i t io n E = Y e W an da P o s i t ive r e al n u m b e r P > 0 s u hcht at k = id m y < co,沪(x) < 沪(0 ) for x 任 Y,o < }}x}}三 户,沪(x) 七沪 (0 ) for x 任 W,}}x}}三户; (3 )t h e n 沪 h as at l e as t t hr e e e r i t ie al P o int s.R e e al t ha t 沪 s at is if se t h e (p s )e o n d i t io n,i fvans哪e cn e {x (` ) }s u hc t h at {沪(x (` ) ) }15 b o u n d e d an d 尹 ,’(x (̀ ) ) * o,h as a e o vner罗 nt s u b s e妙e n e e.P r o p o s it i o n Z [2,5 ] L e t E b e a B a n汕s p ace a n d 尹 〔 C ` (万,R) be a n e ve n fu n e t i o n als a t is尔n g t h e (P S )e o n d i t io n a n d 尹 (0 ) 二 0.A s s u m e t h at 沪 15 b o u n d e d fr o m b e l二a n dt h e r e a r e P > 0 a n d a k一d im e sn io n a l lin e a r s u b s P a e e Y o f E s u e h t h a tS l P二〔 y, !!二卜 p试x) < 0,t h e n 尹 P o s s e s s e s a t l e as t k Pa i r s o f e r i t i e al Po int s.第 3期 aFn g eF i e t a l.: M u l t i p le p e r i o d i e s o l u t io sn fo r n o n l i n e ar d i fer e n ce e q u a t io sn 2 3 7N o t e t h a t t h e s e e r i t i e a l P o int s a r e n o n z e r o,b e e a u s e t h e 、吸 lu e s o f 沪 voer t h e s e P o i n t sa r e n e g a t ive, s e eN o v V , Ve ar eL e m i l l a 3t h e p r o o f o f !2」T he o r e m 9.1 of r t h e d e t ia ls.r e ad y t o P r o ve o u r t h e o r ems.I f (of ) ho ld s,t h e n l (:) +- 一 co as }}x}1叶 co·P r o o f T h e p r o o f o f t h i s le m m a 15 s lihgt ly d ifer e n e e fr o m t h a t o f !11 Le m m a 3.1.L e t刀 2 = 刀 l a X1 < 几 < , n几 > .0B y (fo ),t he er e劝 S t s C > 0 s u c h t h at尸 (儿 , Z ,之(2占+ 2乙一 ’ 一勺 2-二- 花一 十 1d + 1 ),·,`+ ` 一 `’(4 )R e m e m b e r x 。 + 。 = x o a n d P。 + 。 = 纵,weo b t a inI (x) 三1占+ 1艺, 。 + l }x fZ+ , 一 x 。 I`+ `几二 1一 E F (“ , x 。)似= 1<v2 合 「。二 - - - - , ) 12。 + 1昌L`+ ’(一x 。 + 11`+ ` + 一x 。r`+ `){一 艺 F (。 , x 。 )n = 1<2占+ 2 v 2 界. ,店下丁态,工几 }占+ 1(2占+ Zv,一 , 拼十 1O + 1 )艺 Ix 。}`+ ` + C mn = 1- 一艺 xl。}杆` 十 C m 研 一 co,n= 1t h e d se i r der e s lu t fo llo w s.P r o o f o f T h e o r e m 1 L e t/ , \ 1 /2as xl 一 (石:x)一姚W 一 {x 一 { xn}。 。 二 : x 。 一 x o R, n 0 2},a n d Y b e t h e o rt h o g o n al e o m P leme nto f W in 尽11.T h e n 尽, 1= W e y,d im y = m 一 1.I t h as b e e n p r voen in {11 pa g e 16 4 3一 16 4 4 t h at t he l诫t i n ( f0 ) im p lies t hee对s t e cn eo f a n 刀 > 0 s u hc t h a tI (x) > 0,fo r x 〔 Y n 刁风,( 5)w h e r e 7Bt = {x 任 ntE:}lx}}三 刀} an d a凡 its b o u n d a yr.N o t e t h at by t he a r g u m e nt t her e ,(5 ) 15 s t ill va lid if we de e r e as e 叮.T h e r e fo r e,t h e er e劝 s t s 户任 (0, :)s u c h t h atI (x ) > 0,fo r x 任 Y n 凡.(6 )If x 任 W,}}x }}三 p,t he n }x 。! 三 p <:an d we hvae △x 。 = 0.T h US 衍 (f0 ) weo b七ia nI x() 二 一艺烈。 ,几 ) 三 .0介= 12 38 数 学 研 究 20 0 8 年T h e r e fo r e,一 1 h as a lo e a l lin k i n g a t t h e o r i ig n o,B y L e m m a a n d t h e af e t t h a t d im 凡 <co,i t 15 e as y t o S e e t h a t 一 1 15 b o u n d e d fr o m b e lo w a n d Sat is if e s t h e (P S )e o n d i t io n.A p p l y in g P r o P o s it i o n l,一 1 h as a t le as t t h r e e e r i t ie a l P o int s.T h e r e fo r e,1 h as twon o n z e r oc r it i e a l p o int s,w h ihc a r e n o nt r ivi a l 。一p e r io d i e S o lu t io sno f t h e p r o b le m ( 1).R e m ar k 4 I n 【1」, a ft e r o b t a in i n g (5),in o r d e r t o a p p ly t h e likn in g t h e o r e m, s o m et de io u s se t im at se ar e iVonlve d a n d t h e glo b a l e o n d i t io n F (二 , z) 全 0 for a ll (n , :) 任 2x R15 n e e d e d.O ur ar gu me nt a bvoed o se on tn ede t h is g lo b a l e o n d i t io n, a n d s im P liif e s t h eP or o f e o sn id e r a bl .yP r o o f o f T he or e m 2 I f f (。, z) = 一 f (n , 一 z ) for al l (n , z) 任 2x R,t ha n 1 15 a nven fu n e t io n al.V尼 lm ow t h at l (0 ) = 0,一 1 15 b o u n d ed fr o m b e lowa n d s at i s if e s t h e( p s ) con d i t io n.B y (5 ),s in e e Y n 风 15e o m p a e t,we hvaes u p (一 I ) (x) < 0.二 c y, “动 = 刀N ow t he d es irder es u lt of llows fr o m P r o P o s i t io n 2.R exanrk 5 B y t h e p or o f o f L euna ,wes e t h at r e p lac in g (fco ) iw t h t he fo l lo w i雌,F (n,: ) 2占+ 2伪l l n l I n t- 气es 气二 , - ; es )- : - - - , -lzI 一 o }lz +lO d + 1t h e e o n e lus in n o f T h eo r e m 1 a dn T h eo er m 2 15s t i ll va li d.R e fe r e n e e s【1】C ia x C,uY J S,G uo 2 M.P e r in id e s o l u t io sn o f a e las s o f on ul ien ar d娥r ecene q u a t i o sn via cr i t ica lp o int me t ho d.C o m P u t.M a t h.A p P I. ,20 0 6,5 2 : 16 3 0一16 4 7.12】aR b in o w i t z P H.M i垃maxM e t ho d s in C r i t ica l P o int T h eO汀 iw t h A p p l ca t io sn ot D政er nt ia lE q u a t l o sn.C B M S,A me r ica n Ma t be m a t ica l S o e i e yt, 1 9 86,6 5.[31 L iu J Q,L i 5 J.E x is t e cent h e o er mso f m u l t iP l e er i t ica l p o ints a n d t be ira p p lica t io sn.K exueOT gn b ao, 1 9 8 4, 1 7 : 1 0 2 5一10 2 7.141 Br ez is H,N ir e bne r g L.eR ma r kS o n if dn igne r i t i e a l p o isnt.C oun.P ur e A p p l.M a t h. ,1 9 9 1, 4 4 :9 3 9一9 6 3.[51 C la r k D C.A var i a nt o f t h e jL us t e r n议一S c h n i r e lma nt h e o斗 In d iaan Un i v,M a t h.J. ,1 9 7 2,2 2 ,6 5一74.[61 L iu 5 B.M u l t ip le p e r i o d ie s o l u t i o sn fo r s eco dno r d e r d城r e nce s y s et ms.p r e p r int.第 3期 Fan g Fe ie t a l.: M u l t iP le p e r i o d i e s o l u t i o ns fo r n o n l i n e a r d i fer e n e e e q u a t io n s 2 3 9非线性差分方程的多重周期解方 飞 王 楠 刘轼波(厦门大学数学学院,福建 厦门 3 6 1 0 0 5 )摘 要 用变分方法得到 一类非线性差分方程多重周期解的存在性.我们的结果推广了 C ia,uY 和 G ou 【Com pu t.Ma t h.A p p l. ,5 2 (2 0 0 6 ),16 3于 1 64 7] 的结果,并且这里给出的证明显著地简化了.关键词 差分方程 的周期解; P al a ` S m a le 条件 ; 三临界点定理 ; lC ar k 定理

Multiple Periodic Solutions for Nonlinear Difference Equations

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/154821/%e9%9d%9e%e7%ba%bf%e6%80%a7%e5%b7%ae%e5%88%86%e6%96%b9%e7%a8%8b%e7%9a%84%e5%a4%9a%e9%87%8d%e5%91%a8%e6%9c%9f%e8%a7%a3%28%e8%8b%b1%e6%96%87%29.pdf?sequence=1&isAllowed=y

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