计算出S6,S7,S8,S9,S10,S11的循环子群,并给出其共轭分类.Calculated the cyclic subgroup of 6 7 8 9 10 11 S,S,S,S,S,S,and gave the conjugate classification

刘姊珺

王积社

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第33卷 第 4期                                高 师 理 科 学 刊                                Vol. 33  No.4 2013 年   7 月                    Journal of Science of Teachers′College and University                     Jul.  2013 文章编号：1007-9831（2013）04-0030-03 对称群的循环子群的计算结果 王积社 1，刘姊珺 2 （1. 韩山师范学院 数学与应用数学系，广东 潮州 521041；2. 厦门大学 数学科学学院，福建 厦门 361005） 摘要：计算出 6 7 8 9 10 11        ,   S S S S S S, , , , 的循环子群，并给出其共轭分类. 关键词：对称群；循环子群；共轭类 中图分类号：O152.1  文献标识码：A    doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2013.04.010 The calculation results of the cyclic subgroup of the symmetry group WANG Ji-she1，LIU Zi-jun2 （1. Department of Mathematics and Applied Mathematics，Hanshan Normal University，Chaozhou 521041，China； 2. School of Mathematics Science，Xiamen University，Xiamen 361005，China） Abstract：Calculated the cyclic subgroup of 6 7 8 9 10 11       ,   S S S S S S, , , , ，and gave the conjugate classification. Key words：symmetry group；cyclic subgroup；conjugacy class 设计 C 语言程序计算了对称群 6 7 8 9 10 11        ,   S S S S S S, , , , 的所有循环子群，且给出了共轭分类及其类代表以及各类的类长（该类中所含子群的个数），因为程序代码较多，所以只列出计算结果． 为了计算方便，本文将置换1 21 2nnk k k    简记为  1 2 nk k k ，称之为置换的简约式．至于对称群与循环群的有关概念及结论参考文献[1-3]．本文程序设计中参考了文献[4]的全排列生成算法及文献[5]的某些算法． 1  6S 的循环子群 6S 只有阶数为 1，2，3，4，5，6 的循环子群，共有 362 个，可分为 11 个共轭类，其中 1，5 阶的都只有一类，3或 4或 6 阶的可分为 2类，2阶的可分为３类（见表 1）． 表 1 6S 的循环子群的共轭分类 编号 阶数 类长 类代表 编号 阶数 类长 类代表 1 1 1  〈[123456]〉 7 4 45 〈[124563]〉 2 2 15  〈[123465]〉 8 4 45 〈[214563]〉 3 2 45  〈[124365]〉 9 5 36 〈[134562]〉 4 2 15  〈[214365]〉 10 6 60 〈[132564]〉 5 3 20  〈[123564]〉 11 6 60 〈[234561]〉 6 3 20  〈[231564]〉     2 7S 的循环子群                                                         收稿日期：2013-02-01 作者简介：王积社（1954 -），男，山西晋城人，副教授，从事数学机械化研究．E-mail：wangfeng.yz@163.com 第 4期                              王积社，等：对称群的循环子群的计算结果                              31 7S 只有阶数为 1，2，3，4，5，6，7，10，12 的循环子群，共有 2 039 个，可分为 15 个共轭类，其中1，5，7，10，12 阶的都只有一类，3或 4阶的可分为２类，2或 6阶的可分为３类（见表 2）． 表 2  7S 的循环子群的共轭分类 编号 阶数 类长 类代表 编号 阶数 类长 类代表 1 1 1  〈[1234567]〉 9 5 126 〈[1245673]〉 2 2 21  〈[1234576]〉 10 6 210 〈[1243675]〉 3 2 105  〈[1235476]〉 11 6 420 〈[1345672]〉 4 2 105  〈[1325476]〉 12 6 105 〈[2143675]〉 5 3 35  〈[1234675]〉 13 7 120 〈[2345671]〉 6 3 140  〈[1342675]〉 14 10 126 〈[2145673]〉 7 4 105  〈[1235674]〉 15 12 105 〈[2315674]〉 8 4 315  〈[1325674]〉     3  8S 的循环子群 8S 只有阶数为 1，2，3，4，5，6，7，8，10，12，15 阶的循环子群，共有 14 170 个，可分为 22 个共轭类，其中 1，5，7，8，10，12，15 阶的都只有一类，3 阶的可分为２类，2 或 4 阶的可分为４类，6 阶的可分为５类（见表 3）． 表 3  8S 的循环子群的共轭分类 编号 阶数 类长 类代表 编号 阶数 类长 类代表 1 1 1   〈[12345678]〉 12 5 336 〈[12356784]〉 2 2 28 〈[12345687]〉 13 6 560 〈[12354786]〉 3 2 210 〈[12346587]〉 14 6 1 680 〈[12456783]〉 4 2 420 〈[12436587]〉 15 6  840 〈[13254786]〉 5 2 105 〈[21436587]〉 16 6  560 〈[21453786]〉 6 3 56 〈[12345786]〉 17 6 1 680 〈[21456783]〉 7 3 560 〈[12453786]〉 18 7 960 〈[13456782]〉 8 4 210 〈[12346785]〉 19 8 1 260 〈[23456781]〉 9 4 1 260 〈[12436785]〉 20 10 1 008 〈[13256784]〉 10 4 630 〈[21436785]〉 21 12 840 〈[13426785]〉 11 4 630 〈[23416785]〉 22 15 336 〈[23156784]〉 4 9S 的循环子群 9S 只有阶数为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，14，15，20的循环子群，共有 109 694 个，可分为 30 个共轭类，其中1，5，7，8，9，14，15，20 阶的都只有一类，10 或 12 阶的可分为 2 类，3 阶的可分为 3类，2或 4阶的可分为４类，6阶的可分为７类（见表 4）． 表 4  9S 的循环子群的共轭分类 编号 秩 阶数 类长 类代表 编号 秩 阶数 类长 类代表 1  1 1 1 〈[123456789]〉 16 1 6 3 780 〈[124365897]〉 2  1 2 36 〈[123456798]〉 17 1 6 5 040 〈[132564897]〉 3  1 2 378 〈[123457698]〉 18 1 6 15 120 〈[132567894]〉 4  1 2 1 260 〈[123547698]〉 19 1 6 1 260 〈[214365897]〉 5  1 2 945 〈[132547698]〉 20 1 6 10 080 〈[231567894]〉 6  1 3 84 〈[123456897]〉  21 1 7 4 320 〈[124567893]〉 7  1 3 1 680 〈[123564897]〉 22 1 8 11 340 〈[134567892]〉 8  1 3 1 120 〈[231564897]〉 23 1 9 6 720 〈[234567891]〉 9  1 4 378 〈[123457896]〉 24 1 10 4 536 〈[124367895]〉 10  1 4 3 780 〈[123547896]〉 25 1 10 2 268 〈[214367895]〉 11  1 4 5 670 〈[132547896]〉 26 1 12 3 780 〈[124537896]〉 12  1 4 5 670 〈[134527896]〉 27 1 12 3 780 〈[214537896]〉 13  1 5 756 〈[123467895]〉 28 1 14 4 320 〈[214567893]〉 14  1 6 1 260 〈[123465897]〉 29 1 15 3 024 〈[134267895]〉 15  1 6 5 040 〈[123567894]〉 30 1 20 2 268 〈[234167895]〉 32                                          高 师 理 科 学 刊                                       第 33 卷 5  10S 的循环子群 10S 只有阶数为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，14，15，20，21，30 的循环子群，共有 976 412个，可分为42个共轭类，其中1，7，9，14，15，20，21，30阶的都只有一类，5或8阶的可分为2类，3或10 阶的可分为 3 类，12 阶的各自可分为 4 类，2 阶的各自可分 5 类，4 阶的可分为 6 类，6 阶的可分为 9类（见表 5）． 表 5  10S 的循环子群的共轭分类 编号 秩 阶数 类长 类代表 编号 秩 阶数 类长 类代表 1  1 1 1 〈[123456789a]〉 22 1 6 75 600 〈[12436789a5]〉 2  1 2 45 〈[12345678a9]〉 23 1 6 12 600 〈[13254769a8]〉 3  1 2 630 〈[12345687a9]〉 24 1 6 100 800 〈[13426789a5]〉 4  1 2 3 150 〈[12346587a9]〉 25 1 6 12 600 〈[21436759a8]〉 5  1 2 4 725 〈[12436587a9]〉 26 1 6 37 800 〈[21436789a5]〉 6  1 2  945 〈[21436587a9]〉 27 1 7 14 400 〈[12356789a4]〉 7  1 3 120 〈[12345679a8]〉 28 1 8 56 700 〈[12456789a3]〉 8  1 3 4 200 〈[12346759a8]〉 29 1 8 56 700 〈[21456789a3]〉 9  1 3 11 200 〈[13426759a8]〉 30 1 9 67 200 〈[13456789a2]〉 10  1 4 630 〈[12345689a7]〉 31 1 10 15 120 〈[12354789a6]〉 11  1 4 9 450 〈[12346589a7]〉 32 1 10 22 680 〈[13254789a6]〉 12  1 4 28 350 〈[12436589a7]〉 33 1 10 90 720 〈[23456789a1]〉 13  1 4 28 350 〈[12456389a7]〉 34 1 12 12 600 〈[12356489a7]〉 14  1 4 9 450 〈[21436589a7]〉 35 1 12 37 800 〈[13256489a7]〉 15  1 4 28 350 〈[21456389a7]〉 36 1 12 12 600 〈[23156489a7]〉 16  1 5 1 512 〈[12345789a6]〉 37 1 12 37 800 〈[23416789a5]〉 17  1 5 18 144 〈[23451789a6]〉 38 1 14 43 200 〈[13256789a4]〉 18  1 6 2 520 〈[12345769a8]〉 39 1 15 15 120 〈[12453789a6]〉 19  1 6 12 600 〈[12346789a5]〉 40 1 20 22 680 〈[13452789a6]〉 20  1 6 12 600 〈[12354769a8]〉 41 1 21 14 400 〈[23156789a4]〉 21  1 6 25 200 〈[12436759a8]〉 42 1 30 15 120 〈[21453789a6]〉 6  11S 的循环子群 11S 只有阶数为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，14，15，18，20，21，24，28，30 的循环子群，共有 8 921 002 个（见表 6）． 表 6  11S 的循环子群 阶数 子群个数 阶数 子群个数 阶数 子群个数 阶数 子群个数 1 1 6 2 248 015 11 362 880 20 249 480 2 35 695 7 39 600 12 1 004 850 21 158 400 3 71 005 8 831 600 14 356 400 24 207 900 4 645 480 9 369 600 15 110 880 28 118 800 5 202 356 10 1 205 820 18 369 600 30 332 640 参考文献： [1] 徐明曜．有限群导引（上册）[M]．2 版．北京：科学出版社，1999 [2] 张远达．有限群构造（上册）[M]．北京：科学出版社，1982 [3] 韩士安，林磊．近世代数[M]．北京：科学出版社，2004 [4] 王晓玲．换位法实现全排列[J]．沧州师范专科学校学报，2004，20（4）：56 [5] 徐士良．常用算法程序集：C语言描述[M]．3 版．北京：清华大学出版社，2004 

The calculation results of the cyclic subgroup of the symmetry group

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/119852/%e5%af%b9%e7%a7%b0%e7%be%a4%e7%9a%84%e5%be%aa%e7%8e%af%e5%ad%90%e7%be%a4%e7%9a%84%e8%ae%a1%e7%ae%97%e7%bb%93%e6%9e%9c.pdf?sequence=1&isAllowed=y

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