运用上下解方法研究二阶边值问题这里0＜α≤b＜1，α，β，γ，δ，ζ，η＞0，A，B均为给定的实数，且ρ：＝αγ＋αδ＋βγ＞0，f为满足Nagumo条件的Caratheodary函数．此问题有解当且仅当有一个上解y和一个下解x，且对所有的0≤t≤1，都有x（t）≤y（t）

中新, 张

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1 9 9 7年 l 月N o.1吉 林 大 学 自 然 科 学 学 报A C T A S C I EN T I AR U M N A T U R A l l U M U N IV E R S IT A T I S J I L IN E N S I S第 1期19 9 7一 0 1关于二阶二、三、四点边值问题的上下解方法张 中 新(长春邮电学院基础部,长春 1 3 0 0 1 2 )提要 运用上下解方法研究二阶边值问题{一 ul= f ( t, u , u , ),0 < t < 1,a[u ( 0 ) 一 宁u ( a )〕一 夕u,( 0 ) -y [u ( 1 ) 一 夕u ( b )〕 + 占u`( 1 ) =这里 0 <a镇 b < 1, a ,月,7,占,子,夕) 0,A,B 均为给定的实数,A,B,且 P:一 a了+ a占+ 夕y > 0,f 为满足 N agu m 。 条件的 C ar at h `o d ar y 函数.此问题有解当且仅当有一个上解 y 和一个下解 x,且对所有的 O簇 t簇 1,都有 x ( t) ( y ( t).关键词 上解,下解,边值问题1 引 言本文应用上下解方法研究如下形式的二阶边值问题{一 ul,= j一( t, u , u ` ),t 任 Ia[u ( 0 ) 一 泞u ( a )〕一 夕u`( 0 )y 仁u ( 1 ) 一 夕u ( b ) 〕 + a u,( l )此处 0 <a 镇 b < 1, a ,月,y,占,宁,专) 0,A,B 均为给定的实数,对于上述方程,假设= [ o,1〕,一 A,一 B,且 产,~ 产+ 时+ 夕y > .0( 1.1 )( H ) f: I 又淤~ R 是一个 C ar at h ` od ar y 函数,并且对于给定的一对函数 x,y 〔 C ( )I 而言,在集Z 、口D,= { ( t, u , v ): t e l,x ( t ) 成u镇 y ( t ), v 任 R }上满足 Na g u m o 条件,此处 x ( t )镇夕 ( t ),t 〔 1.称 f: I x 况~ R 是一个 Ca r a t h亡o d a r y 函数,如果( 1 ) 对任意的 (u , v ) 任况2 ,函数 t一 f ( t, u , v )于 I 上可测;( 2 ) 对几乎所有的 t 任 I,函数 (u , v )~ f ( t, u , v ) 于况2上连续.称函数 f:I x 况2~ R 于 D 上满足 N agu m 。 条件,如果存在一个正的可测 函数 K 任 L。( )I,1镇 。簇+ o 和一个正的连续函数 夕任 C ( R +),R 十 : 一 [ o,+ co ),使得不等式}f ( t, u , v ) }簇 K ( t )夕( }v} ), a.e.于 D 上, `( 1.2 )「十 co v(` 一 1)/` , 一 `一,一。 , 一 “j。 下不万,d y 夕 ,` “一 1八 1.。 ( 1.3 )成立,此处一 m a x {少 ( t ): t 〔 I } 一 m i n { x ( t ): t 任 I }= m a x { }y ( 1 ) 一 x ( o ) l,! x ( 1 ) 一 y ( o ) l }( 1.4 )产,,收稿日期 1 9 9 6一0 4一1 6I K (` ) l`d̀)s u p {} K (t ) }:1镇` < +c o,t 任 I }, J 一 + co.内le门s|̀人少、并且我们规定 尸一 1.边值问题 (1.1) 可能是两点的、三点的,也可能是四点的.形如 ( 1.1) 的两点边值问题已经得到广泛的研究、然而有关三点、四点边值问题的研究工作甚少,G uP ,a等 .l[’ 〕曾研究过三点边值问题 (但是没有使用上下解方法 ),而对四点边值问题似乎也只有 Ra c h 6 k or d匕 `〕研究过.本文的 目的是对形如 (1.1)的两点、三点和四点边值问题应用上下解方法给出一种统一的处理.称函数 x (t )是问题 (1.1) 的下解,如果 x 任 lC x( ),了 〔 A C ( )I,且{一 工’ `( ` ’ 蕊 f (`,士 (` ’,x ` ( `”, “·e·于 了上,万“叶( O , 一 子̀ (“ ’{一 gx’ ( O’ 落 A,〔 了 Lx ( 1 ) 一 夕x ( b ) J + 咨 x`( 1 ) 簇 方.类似地,称函数 y (t )是问题 ( 1.1) 的上解,如果 y 任 lC ( )I,夕任 A C ( )I,且{一 y”(` , ) f (` , , (` ,,y “ ` , ’, “·“·于 了上,}“巨( 0 , 一 于, ( “ ’J一 脚`(0) ) A,t y L夕 ( 1 ) 一 勿 ( b )」+ a夕`( 1 ) 异 方.称函数 u( ` )是 l(.1) 的解,如果它同时是 (1.1) 的下解和上解,此时 A C ( )I 为 I 上 的绝对连续函数全体之集合.2 主 要 结 果引理 2.1 对任意( 1 )晶尸 ( ,, · )存在u 〔 C ` ( I ) : 一 E,有, a.e.于 I ;_, , 、 、d _, , 、 、__尸 又t, u ,又t ) ) ~ 了 1产Lt, u o 又t ) ), a.e.士 1,U Ld一dtm男( 2 ) 如果u , , u 。 任 E,且u ,~u 。 ,x ( t ),U ,y ( t ),如果u < x ( t ),t 任 I,如果 x ( t ) (u簇 少 ( t ),t 〔 I,如果 抓 t) <u , t 任 .I了l|少、l J、一、 ,ZU币̀吸厂、尸本引理的证明参见文献 [ 5〕.假设 x (t ),厂 t) 分别是 (1.1) 的下解和上解,考虑修正边值问题,f _, 、d _,u’ `= J’{ t,1,戈t, u ), 芍: I,L t, u )\ U 石t 任 I,a[u ( o ) 一 宁P ( a, u ( a ) )〕 一 月u,( 0 ) ~ A,y [u ( 1 ) 一 专P (b, u ( b ) )〕 + 占u`( 1 ) = B,( 2.1 )这里{f (` , “ , 一 N )f’( `, “ , 刀 ’ 一万f (`, “ , . ’,Lf一( t, u , N ),v < 一 N,}vl 簇 N,v > N,其中 N 是选定的充分大的正数,使得.N > m a x { }x`( t ) !,1夕` ( t ) }: t 任 I } + 云,{)’l竺未笋d · > “ `卜` ’ /` ” ` ”·( 2.2 )成立.引理 2.2 设 u( t) 是 (2.1) 的一个解,则下列命题成立:( 1 ) x ( t )簇u ( t )戎少 ( t ),V t 任 I;( 2 ) lu ` ( t ) I镇 N,V t 任 1.1 6 一证明:( 1) 仅对 u( )t 簇厂 )t 给出证明.类似的方法可以证明在 I 上 x ( )t 镇 u( )t.令z ( t ) = u ( t )一 少 ( t ),则a z ( o ) 一 月z`( o ) 镇 a 宁[ P (a , u ( a ) ) 一 夕 (a )〕簇 。,y z ( l ) + 占z ` ( 1 ) ( y夕[ P ( b, u ( b ) ) 一 夕 ( b )〕镇 0. ( 2,3 )假设 z( , )在 I 上某点取正值,则必存在一点 t’任 I,使得 z( ,’)为 (z )t 在 I 上的正最大值.于是,存在一个包含 `’在内的最大区间口。 , , : 〕,使得,二 ( , ) > o 在 ( t。 , , , )内成立.注意在〔t。 , , 1」上,几乎处处有z ,, ( , ) 一 。·(。 ) 一 ,·(才) 》 了·( ,,, ( , ),, , ( 亡) ) 一 了·( ,,: ( ,, 。 ( , ) ),票: ( ,, 。 (亡) ) ) ) 。,Q t即 z (t )是 [ t。 , t l 〕上的凸函数.此外我们分四种情况来讨论.1 ) 月= 占一 0.此时由 ( 2.3 ) 可知, z ( t。) = z ( tl) 一。,从而 由凸性可知在 [ t。 , t l 〕上 z ( t ) ) o,矛盾.2 ) 月二 o,占> 0.此时由 ( 2.3 ) 知z ( t。) = 0.如果 t’< tl ,则z ` ( t`) 一。,从而在〔t。 , t’〕上 z`( t )簇 。,即 二 ( t。) ) 二 ( t’),矛盾.如果 t`一 t,= 1,则由 ( 2.3 )可 知二 , ( 1 ) = o,再由凸性可知在 [ t。 , l 〕上 二 ( t ) )z( 1 ),矛盾·3) 月> 0,占一 0.此情况与 2) 类似.4 ) 月占> 0.这时又有三种可能.( i ) t’= tl一 1,此时如果z ( t。) 一 z ( 1 ),则必有 t。= 0,由 ( 2.3 )及 凸性可知矛盾.如果z ( t。) < z ( 1 ),此时与 2 )证明相同.( 11) t`= t。= o,此时如果z ( t,) = z ( o ),则必有 tl= 1,由 ( 2.3 )及凸性可知矛盾.如果z ( t l ) < z ( o ),这与 3 )证明相同.( 111) t。< t`< tl ,此时必有z ( t’)> z( t。)且 z( t`) > z( t1),这与 1) 的证明完全相同.至此我们证明了在 I 上 u( , )蕊厂 )t.( 2) 的证明参见文献 [ 6〕.定理 2.1 假设条件 ( H )成立,则边值问题 ( .1 1) 有解的充要条件是:问题 (1.1) 的下解 x( : ) 和上解 少 ( ` )存在,且在 I 上 x ( ` ) 蕊 少 ( ` )·设 , (` )为 ( 1·_1 )的一个解,则 x ( ` )镇u ( ` ) 毛夕 (` ),]u`(` ) I镇 N,V !任 I,此处 N 是一个仅依赖于 x,y,K 和 0 的常数.证明:必要性是显然的.充分性的证明如下:设 x (t ),厂 t) 分别为 (1.1) 的下解和上解.先证明修正问题 (2,l) 有解.定义映射 T: E一 E,厂` ~, 、 , _ ,一, , 、 、d _,以 u 少又x ):= l 妙以, t ) J 又t,l一又t, u 弋t ) ),了 1尹戈t, u 又t ) ) 〕d t 十 cl x 十 c, ( 1 一 x ),J O U不这里(月+ a t ) (占+ y 一 了x )夕O簇 t ( x 簇 1(召+ a x ) (占 + 7 一 7 t )PO ( x 簇 t 镇 1厂|21一、 ,J乙XZ̀、G1一尸一a 十 月 A + a宁P ( a, u ( a ) )一 占 B 十 ) 夕P (b, u ( b ) )一 月 A + a 宁P ( a, u ( a ) )7 十 占 B + ) 7尸 ( b, u ( b ) )z一户一C7 厂` , 。 . 、 。 _ , _, 、 、d _又I u 少 又x 少 - 一 二厂 l 又户 十 a t ) J \ t, I伙 t, u 又t ) ),下丁1’ 又t, u 仁t ) ) d t尸 J 0 Q ra f` , 、 . , , , , 、 。 _、 、d _一 万 l 又。 十 , 一 I t ) J’戈t,厂 又t, u 仁t ) ),不 I产( t, u 叱t ) ) ) d t 十 c:一 c2.尸 J 了 U 石不难验证、 , , 、 。 , 二 r , 、 , , _ 、 a口f `、. , , , 、 , _ ,_、 、d _a 、 I u 夕又U 少一 P 又I u ) LU 夕= 二丁 } 戈o 十 I 一 , t ) J’又t, 1伙 t, u 又t ) ), 万万 I产仁t, u 仁t ) ) ) d t尸 J O Q 乙a 口r` , 。 . , , , 、 , , 、 、d _丁 I 又。 十 , 一 , t ) J一又t,P 又t, u 又t ) ),了 1’ 贬t, u ( t ) ) ) d t + a eZ一 月( cl一 c,)f’ J O U La 心2根据 T 的定义及引理 2.1一 月( c:一 cZ) = A +a 宁P ( a, u ( a ) ),7 (了’u ) ( 1 ) + 占(了’u )`( 1 ) = B + y刀(b ).,不难证明 T 是 E ~ E 上的全连续算子,由 cS h au der不动点定理,有: `一 1 7 一任 E,使得 了’u = u,即· ( , ) 一丁;。 ( X,: ) f·( :,p ( `, · “ , , d _,,币 1’仁t, u t t ) ) , d t + cl x +` 2 ( 1 一 x )这表明u是修正问题 (2.1) 的解,从而由引理 2.2 可知, u也是问题 (1.1) 的解.对吉林大学数学系王俊禹教授提出的一些建设性意见,作者在此表示感射.参 考 文 献Gu p t a C P,N t o n y a s S K,T s a m a t o s P C.oS lv a b il it y o f a n m一P o in t Bo u n d a r y V a lu e P r o b l e m f o r S e e o n d O r d e r O r-d in a r y D if fe r e n t i a l E qu a t i o n s.I M口 th A n a l 滩P P I,1 9 9 5,1 8 9 : 5 7 5~ 5 8 4Gu p t a C P.So l v a b i li t y o f a T h r e e一p o in t No n l in e a r B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m fo r a S e e o n d O r d e r O r d i n a r y D i f f e r e n-t i a l E qu a t i o n.J 入了口 t h A n a l A P P I,1 9 9 2,1 6 8:5 4 0~ 5 5 1R a e h白n k o u d 1.On t he E x is t e n e e o f T woSo lu t i o n s o f t h e F o u r一p o i n t p r o b le m.I Ma t入 A n a l 月沪P I,1 9 9 5,1 9 3 : 2 4 5~ 2 5 4R a e h位n ko v 口 1.Mult i P lie i t y Re s ul ts f o r F o u r一P o in t B o u n da r y V a lu e P r o b le m s.No n l i n e a r A n a l,1 9 9 2,1 8:4 9 7一5 0 5Ga oWe ni ie ,Wa n g J u n y u.O n a N o n l i n e a r S e e o n d O r d e r P e r io d i e B o u n d a r y V a lu e P r o b l e m w i t h C a r a t h 己o d a r yF u n e t io n s.A n n 尸 o lo n M口 th,1 9 9 5,6 2:2 8 3~ 2 9 1Wa n g J u n y u,Ga oWe n jie , L in Z he n g hu a.Bo u nda r y Va lu e P r o b l e m s f o r G e n e r a l S e e o n d O r d e r E q u a t io n s a n ds im i la r i t y s o l u t io n s t o t h e R a y l e ig h P r o b le m.了云入。乏u Ma t入 了,2 9 9 5,4 7 : 3 2 7~ 3 4 4刁习门」ù 19曰厂L刁习门八J月任resL厂LǐJ1 1匕Jōh尸l`J厂LT h e U P P e r a n d L o w e r S o l u t i o n M e t h o d f or S o m eS e e o n d O r d e r T w o一 ,T h r e e一 a n d F o u r一P o i n tB o u n d a r y V a l u e P r o b l e m sZ h a n g Z h o n g x i n( D ePa r tm e n t of Fo u n d a r i o n,C ha n g c h u n I n s t i t u t e of Po s t a n d Te l e c o m m u n i c a t i o n ;,C h a n g c入u n,1 3 0 0 1 2 )A b s t r a e t A s e e o n d ord e r b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m,u “ = f ( t, u , u ` ),a[u ( O ) 一 泞u ( a )〕 一 月u`( o ) = A,y [u ( l ) 一 夕u ( b ) ] + 占u ` ( 1 ) 一 B,w h e r e o <a 镇 b < 1, a ,月,7,占,宁,夕 ) o,A a n d B a r e g i v e n r e a l n u m b e r s,P , = a y +a占+ 月y > o, a n df 15 a C a r a t h之o d a r y f u n e t io n s a t i s f y i n g a N a g u m o e o n d i t i o n,w a s s t u d i e d b y m e a n s o f u p p e r a n d l o w e rs o l u t i o n m e t h o d.T h e p r o b le m h a s s o l u t i o n s i f a n d o n l y if t h e r e e x i s t s a l o w e r s o l u t i o n x a n d a n u p p e rs o l u t i o n 夕 a n d x ( t )簇夕 ( t ) fo r a l l o镇 t镇 1.K e y w o r d s l o w e r s o l u t i o n, u p p e r s o l u t i o n,b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m1 8

关于二阶二、三、四点边值问题的上下解方法

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关于二阶二、三、四点边值问题的上下解方法

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