分数阶微分算子被用来描述具有记忆性和遗传特征的力学与物理过程，且在许多情况下比传统的整数阶算子更准确，现已成为复杂力学与物理过程以及其他应用学科数学建模的重要工具。最近几年，分数阶微分方程理论及其计算逐渐成为了一个新的活跃的研究领域。由于分数阶算子具有非局部性，其理论研究特别是弱解的存在唯一性、正则性等分析变得更加复杂，数值模拟也面临高计算和存储复杂度的困难。本文中，我们考虑时间分数阶扩散方程(TFDE)这一基本且核心的问题。我们构造和分析了基于TFDE弱形式的数值格式。准确地说，我们在时间方向构造了间断谱元法(DSEM)，在空间方向上采用传统的谱方法。时间方向上的DSEM基于分片高阶多项式逼...Fractional differential equations are becoming an useful tool in various fields of science and engineering, and have attracted increasing attention in recent years. The fractional diffusion equation, which plays an essential role in modeling anomalous diffusive phenomenon, has been subject of many research efforts. In this paper, we are interested in the numerical solution of the time fractional d...学位：理学硕士院系专业：数学科学学院_计算数学学号：1902010115251

郝征

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学校编码：10384 分类号 密级学号：19020101152517 UDC硕 士 学 位 论 文时间分数阶扩散方程的间断谱元法数值计算A Discontinuous Spectral Element Method forTime Fractional Partial Equations郝征指导教师姓名： 许 传 炬 教授专 业 名 称： 计 算 数 学论文提交日期： 2013 年 5 月论文答辩日期： 2013 年 5 月学位授予日期：答辩委员会主席：评 阅 人：2013 年 5 月厦门大学博硕士论文摘要库厦门大学学位论文原创性声明兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。声明人（签名）：年 月 日厦门大学博硕士论文摘要库厦门大学学位论文著作权使用声明本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。本学位论文属于　　1、保密 （ ），在 年解密后适用本授权书。　　2、不保密（ ）作者签名： 日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日厦门大学博硕士论文摘要库中文摘要中文摘要分数阶微分算子被用来描述具有记忆性和遗传特征的力学与物理过程，且在许多情况下比传统的整数阶算子更准确，现已成为复杂力学与物理过程以及其他应用学科数学建模的重要工具。最近几年，分数阶微分方程理论及其计算逐渐成为了一个新的活跃的研究领域。由于分数阶算子具有非局部性，其理论研究特别是弱解的存在唯一性、正则性等分析变得更加复杂，数值模拟也面临高计算和存储复杂度的困难。本文中，我们考虑时间分数阶扩散方程(TFDE)这一基本且核心的问题。我们构造和分析了基于TFDE弱形式的数值格式。准确地说，我们在时间方向构造了间断谱元法(DSEM)，在空间方向上采用传统的谱方法。时间方向上的DSEM基于分片高阶多项式逼近，在交界面上没有连续性要求。通过引入恰当的空间和范数，我们讨论了离散问题的适定性，推导了误差估计。最后通过一些数值实验验证了理论结果的正确性。借助于谱方法的高精度，由非局部性导致的存储和计算复杂度得到了明显地降低。关键词：分数阶扩散方程；间断谱元法；误差估计I厦门大学博硕士论文摘要库AbstractAbstractFractional differential equations are becoming an useful tool in various fields of scienceand engineering, and have attracted increasing attention in recent years. The fractionaldiffusion equation, which plays an essential role in modeling anomalous diffusive phe-nomenon, has been subject of many research efforts. In this paper, we are interested inthe numerical solution of the time fractional diffusion equation (TFDE), resulted fromreplacing the first order time derivative in the traditional diffusion equation by the α-order fractional derivative with α ∈ (0, 1). The main difficulty in the design of numericalmethods for this equation stems from the nonlocal time fractional derivative, which makesthe computation and storage expensive. We construct and analyze a numerical schemabased on the weak formulation of the TFDE. Precisely, the proposed method combinesa discontinuous spectral element method (DSEM) in time and usual spectral method inspace. The DSEM method in time consists in approximating the solution by piecewisepolynomials without requiring the continuity of the numerical solution at the element in-terfaces. By introducing suitable spaces and corresponding norms, the well-posedness ofthe discrete problem is established, and some error estimates are derived. Thanks to thespectral accuracy of the proposed method, the storage requirement and the computationalcomplexity are considerably reduced.Key words: Time fractional diffusion equation; Discontinuous spectral element method;Spectral method; Error analysisII厦门大学博硕士论文摘要库目 录目 录中文摘要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I英文摘要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II中文目录 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III英文目录 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V第 一 节 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 研究背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 本文主要工作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2第 二 节 问题及其弱形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1 方程和基本定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 分布函数和分数阶空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 变分形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 一般初始条件的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9第 三 节 间断谱元法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1 间断谱元多项式空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 时空全离散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 误差估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20第 四 节 数值结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1 计算实施 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 数值算例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27第 五 节 结论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32附另一种计算积分技巧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33III厦门大学博硕士论文摘要库目 录参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36IV厦门大学博硕士论文摘要库目 录ContentsChinese Abstract IEnglish Abstract IIChinese Contents IIIEnglish Contents V1 Introduction 11.1 Physical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Main Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Problem and the Weak Formulation 42.1 Definitions and the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Distribution and Fractional Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Variational Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Case of Usual Initial Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Discontinuous Spectral Element Method 113.1 Discontinuous Spectral Element Polynomial Space . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Full Discretization by Spectral Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Error Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Numerical Examples 234.1 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27V厦门大学博硕士论文摘要库目 录5 Conclusion 32Appendix 33References 36VI厦门大学博硕士论文摘要库第 一 节 引言第 一 节 引言1.1 研究背景间断谱元法(DSEM)可以看作间断有限元法的一个特例，它们的主要区别在于前者可以用到很高阶的基于张量结构的多项式空间。间断谱元/有限元方法是传统（连续）Galerkin方法的变种、改进和发展，在许多方面的应用上实现了前所未有的效能。它的出现，最早可以追溯到1973年，Reed和hill首次引入该方法[1]，用以求解中子传送问题（一个时间独立的线性双曲型方程）。间断谱元/有限元法能够灵活地处理间断问题，克服了一般有限元方法不适于间断问题的缺点，并且该方法可以通过提高剖分单元插值多项式的次数实现精度的提高，克服了有限体积法中通过扩大节点模板计算剖分单元交界面处的流通量的方法来提高精度的不足。由于近似解的间断性假设对网格正则性要求不高，因此在对网格进行加密或减疏处理时，不需要考虑一般有限元方法中连续性的限制条件；在不同的剖分单元上可以采用不同次数、不同形式的逼近多项式，也有利于自适应网格的形成。广义上说，间断Galerkin谱元法在解决含有间断现象的问题中发挥着越来越大的作用，它被广泛地应用到了水动力学，气动力学，波传播等问题，例如，凯勒塞贝尔趋化模型[2]、麦克斯韦本征值问题[3]、双调和问题[4]、浅水模型[5]等。在谱方法框架内，2000年，David A. Kopriva和他的合作者利用DSEM方法求解了麦克斯韦方程[6]，在2002年，他们结合了DSEM与mortar元法，构造了具有高计算灵活度的格式，计算了电磁散射问题[7]. 2007年Zhao和Liu在他们的工作中利用DSEM求解多维半透明介质中的热传导问题[8]. 最近，Altmann等人研究了并行计算在DSEM中的应用[9].另一方面，分数阶微积分在应用科学领域，正受到越来越多的关注。分数阶微积分算子作为一种描述非古典现象的数学工具，在许多学科的现代工程计算中得到1厦门大学博硕士论文摘要库第 一 节 引言越来越广泛的应用。反常扩散现象具有时间相关性和空间相关性，所以用非局域性的处理方法能更恰当地模拟这些性质。研究者通过反常扩散数学建模，推导出了分数阶的偏微分方程[10]. 分数阶微积分算子具有非局部性，非常适合描述现实世界中具有记忆性和遗传性质的材料和系统，这是整数阶微积分无法比拟的。在很多交叉学科中，许多系统和过程都可以用分数阶微积分加以描述，例如，描述材料的电性质[11]、输送管中的边界层效应[12]、反馈放大器[13]、电极电介质极化现象[14]、生物系统中的电导现象[15]、分形动力学[16]、混沌的同步[17]、神经细胞中离子的反常扩散过程[18]、金融系统[19]以及桥梁震动模型[20]等。将传统的扩散方程中的时间一阶导数项 ∂∂t用 ∂α∂tα代替，关于空间方向的二阶导数项 ∇2x 用 ∇βx 代替就得到了分数阶微分方程。根据 α, β 的不同取值可以把分数阶微分方程分成三类，分别是时间分数阶扩散方程 (0 < α < 1, β = 2)、空间分数阶扩散方程 (α = 1, 1 < β < 2)、时空分数阶扩散方程 (0 < α < 1, 1 < β < 2).1.2 本文主要工作有关分数阶微分方程的研究大致可以分为两个方面：理论分析和数值计算。在理论分析方面，研究者们已经做了一些初步工作 [21]. 然而，就像许多传统微分方程一样，对大多数分数阶微分方程，我们很难求得其解析解。因此，寻找好的数值方法就显得非常必要。在数值计算方面，由于分数阶算子具有非局部性，基于变分问题的算法设计变得更复杂。虽则如此，一些基于有限差分[22] 和有限元法[23] 的数值方法仍然被成功地推广到了分数阶微分方程。与其他古典问题相比，分数阶微分方程在计算上要付出更大的计算代价和存储代价。间断谱元法，因其兼具算法设计上的灵活性和高精度，使得构造低存储低计算复杂性的数值格式变得可行。在本文中，我们考虑时间分数阶扩散方程，构造了一种时间间断谱元法(DSEM)/空间谱方法的数值格式，并分析了算法的适定性和收敛性。新算法的基本思想是先将区间剖分成若干个不重叠的单元，在每个单元上用高阶多项式逼近精2厦门大学博硕士论文摘要库第 一 节 引言确解，并且不要求数值解在单元交界处的连续性。 DSEM可以很自然地在每个子区域上达到任意阶精度；不同地方可以任意地选择网格大小；得出的刚度矩阵是局部的。这些优点使它成为时间方向上的一个理想的逼近方法。由于空间方向是标准的二阶导数，因此我们选择标准的谱方法。文章从分析和算法两方面对时间分数阶空间二阶偏微分方程进行了深入研究。在第二节，我们首先描述所研究的问题，引入了必要的函数空间并研究其性质，给出了弱形式，并证明了弱解的存在唯一性。本节还特别讨论了非齐次初始条件的处理方法。第三节，我们提出了DSEM数值格式，并讨论了近似解的适定性和误差分析。第四节，我们详细描述计算实施策略，并给出了数值结果。3厦门大学博硕士论文摘要库第 二 节 问题及其弱形式第 二 节 问题及其弱形式2.1 方程和基本定义首先我们介绍本文要研究的问题。记I = [0, T ]，Λ = [−1, 1]分别是要研究问题的时间和空间区域，并记Ω = Λ× I. 令α ∈ (0, 1)，考虑如下问题：0Dαt u(x, t)− ∂2xu(x, t) = f(x, t), ∀ (x, t) ∈ Ω,0I1−αt u(x, 0) = 0, ∀ x ∈ Ω,u(−1, t) = u(1, t) = 0, ∀ t ∈ Ω.(2-1)算子0Dαt表示关于时间变量t的α阶左侧Riemann-Liouville分数阶导数，其定义如下:0Dαt u(x, t) =1Γ(1− α)∂∂t∫ t0u(x, τ)(t− τ)αdτ, 0 < t < T, (2-2)这里Γ(·)表示Gamma函数。对应地，文中还要用到α阶右侧Riemann-Liouville分数阶导数tDαT，tDαTu(x, t) =−1Γ(1− α)∂∂t∫ Ttu(x, τ)(τ − t)αdτ, 0 < t < T.算子0Iαt 表示左侧α阶分数阶积分：0Iαt u(x, t) =1Γ(α)∫ t0u(x, τ)(t− τ)1−αdτ, 0 < t < T.对应的，右侧α阶分数阶积分：tIαTu(x, t) =1Γ(α)∫ Ttu(x, τ)(τ − t)1−αdτ, 0 < t < T.此外在文中我们还将涉及到左侧Caputo分数阶导数C0Dαt：C0Dαt u(x, t) =1Γ(1− α)∫ t0∂u(x, τ)∂τdτ(t− τ)α, 0 < t < T,4厦门大学博硕士论文摘要库第 二 节 问题及其弱形式以及右侧Caputo分数阶导数CtDαT：CtDαTu(x, t) =−1Γ(1− α)∫ Tt∂u(x, τ)∂τdτ(τ − t)α, 0 < t < T.引理 2.1： [24] 当0 < α < 1时，有0Dαt u(x, t) =u(x, 0)Γ(1− α)tα+ C0Dαt u(x, t).tDαTu(x, t) =u(x, T )Γ(1− α)(T − t)α+ CtDαTu(x, t).令Hm(I)和Hm0 (I)表示通常的Sobolev空间，对应的范数记为∥ · ∥m. 为了讨论需要，我们引入分数阶Sobolev空间。给定实数s ≥ 0，记Hs(R) := {v(t)|v ∈ L2(R); (1 + |ω|2)s2 v̂(ω) ∈ L2(R)},及其范数：∥v∥s,R = ∥(1 + |ω|2)s2 v̂(ω)∥0,R,其中v̂表示v的傅里叶变换。在此基础上，我们可以定义有界区域I上的分数阶Sobolev空间Hs(I) := {v(t)|v ∈ L2(I); ∃ṽ ∈ Hs(R), s.t. ṽ|I = v},及其范数：∥v∥s,I := infṽ∈Hs(R),ṽ|I=v.∥ṽ∥s,R.记C∞0 (I)表示紧支集在I上的无穷光滑函数空间，Hs0(I)表示空间C∞0 (I)关于范数∥·∥s,I的闭包。对于附有范数∥ · ∥X的Sobolev空间X，记Hs(I;X) := {v; ∥v(·, t)∥X ∈ Hs(I)},5厦门大学博硕士论文摘要库第 二 节 问题及其弱形式赋予范数：∥v∥Hs(I;X) := ∥∥v(·, t)∥X∥s,I .特别地，当X是空间Hσ(Λ)或者Hσ0 (Λ)(σ ≥ 0)时，空间Hs(I;X)的范数记为∥ · ∥s,σ,Ω.接下来的部分里，在不引起混淆的情况下，区域记号Λ, I, Ω将被省略。2.2 分布函数和分数阶空间下面介绍关于分数阶导数的两个性质。引理 2.2： [24] ∀ s, r > 0，有0Ds+rt v(t) = 0Dst 0Drt v(t) = 0Drt 0Dstv(t).引理 2.3： [25] (傅里叶变换)∀ s ∈ R，v ∈ C∞0 (R)，那么̂−∞Dstv(t) = (iω)sv̂(ω),̂tDs∞v(t) = (−iω)sv̂(ω).∀ s ≥ 0，记区间Q = [a, b]，我们定义分数阶导数空间lHs(Q) := {v; ∥v∥lHs(Q) <∞}及其范数：∥v∥lHs(Q) := (∥v∥20,Q + |v|2lHs(Q))12 , |v|lHs(Q) := ∥0Dstv∥0,Q,和空间rHs(Q) := {v; ∥v∥rHs(Q) <∞}及其范数：∥v∥rHs(Q) := (∥v∥20,Q + |v|2rHs(Q))12 , |v|rHs(Q) := ∥tDsTv∥0,Q.6厦门大学博硕士论文摘要库第 二 节 问题及其弱形式定义 2.1： ∀ s ∈ (n − 1, n)，n ∈ N，v ∈ L2(I)，我们定义空间C∞0 (I)上的线性泛函0Dstv如下：0Dstv(ϕ) :=∫Iv tDsTϕ dt, ∀ ϕ ∈ C∞0 (I). (2-3)已被证明[26]：0Dstv是一个分布，且当v ∈ lHs(I)时，上述定义的0Dstv与(2-2)一致。因此，定义(2-3)可看作(2-2)的推广。连续问题(2-1)的弱形式延用文献[26]的思想，作为准备工作我们在引理2.4∼引理2.9中简单介绍文献[26]的部分结论。引理 2.4： ∀ s ∈ (0, 1)，若ψ(t) ∈ lHs(I) ∩Hs(I)，ϕ(t) ∈ C∞(I)，那么(0Dstψ(t), ϕ(t))I=(ψ(t), tDsTϕ(t))I.引理 2.5： ∀ s ∈ (0, 1)，空间lHs(I)，rHs(I)是完备的。引理 2.6： ∀ s ∈ (0, 1)，ψ ∈ C∞0 (R)，那么(−∞Dstψ, tDs∞ψ)R = cos(πs)∥−∞Dstψ∥2L2(R),(−∞Dstψ, tDs∞ψ)R = cos(πs)∥tDs∞ψ∥2L2(R).事实上，当0 < s < 1且s ̸= 12时，空间lHs(I)和rHs(I)不但是完备的，而且在某种意义上与传统的分数阶空间是等价的。引理 2.7： ∀ s ∈ (0, 1)，且s ̸= 12，在空间C∞0 (I)中，半范数|·|lHs(I)，|·|rHs(I)和|·|Hs(I)是等价的。引理 2.8： ∀ s ∈ (0, 1)，且s ̸= 12，空间lHs0(I)，rHs0(I)，和Hs0(I)是等价的。引理 2.9： ∀ s ∈ (0, 1)，如果ω, v ∈ Hs20 (I)，那么(0Dstω, v)I = (0Ds2t ω, tDs2T v)I ,(tDsTω, v)I = (tDs2Tω, 0Ds2t v)I .7厦门大学博硕士论文摘要库Degree papers are in the “Xiamen University Electronic Theses and Dissertations Database”. Fulltexts are available in the following ways: 1. 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A Discontinuous Spectral Element Method for Time Fractional Partial Equations

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