本文对工业系统中元件寿命衰减的一类现象建立了数学模型，并且利用大子样理论和Ｕ－统计量方法对这一类元件的衰减现象提出了一个检验方法

张力远

李效虎

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第1 41 5 9 9卷 第 2期年 6月兰 州 铁 道 学 院 学 报JO U R NA LO FLA NZ O U HR A I LWA I Y NS I T TU T EV o l.1 4 No.2Ju n.1 9 95质量检验的一个统计模型及检验方法张 力 远 李 效 虎(兰州工业高等专科学校,兰州 7 3 0 0 5 0 ) (兰州大学,兰州 7 3 0 0 0 0 )摘 要 本文对工业 系统 中元件寿命衰减 的一 类现 象建立 了数学模型,并且利用大子样理论 和 U一统计量方法对这一 类元件的衰减现象提 出了一个检验方法.一关键词 寿命; 分布函数 ; 可 靠性理论 ; 假设检验分类号 0 2 1 2.7,0 2 1 3.21 问题的提出工业生产 中的一个常见问题是:作为一个 系统中的元件往往被要求在正常和合理 的工作过程中,元件的本质不被影响,从而,元件是否曾经被使用过 (旧的 )无关紧要 (和新的未曾使用过的元件寿命情况一致 ).若使用元件的方法和环境条件不合理,势必造成对元件自身的损坏,从而,旧元件的寿命应当比新元件的寿命“更短” .前者 明显是一种 尼记忆性,而后者却表 明新的比旧的“好” ;针对这一问题,考虑到 寿命一般都是连续的且是一 个随机变量,我们进而约定:I : 若合理使用并不对元件本身产生损害,则认为元件是无记忆 (Me m or y l e o s) 的.l : 若合理使用对元件本身产生损害,则认为元件是 N B U E ( Ne w b e t t e r t h a n u s e d i n e x-p e e t a t i o n )的.这里假定新的比旧 的平均地好,即 N B U E.当然一个无记忆性元件若使用方法不合理 (操作不当等 )或使用环境不符合要求,则该元件的真实寿命也是 N B U E 的.我们的问题是:若元件生产厂家声称其产品符合无记忆性要求,而用户经过多次使用却有迹象表明元件的真实寿命并非具有无记忆性而是 N B U E 的;作为用户而言,总是要怀疑产品质量或自己的操作方法和使用环境,这就需要证据来说明元件的真实寿命的确是 N B u E 的,即怀疑是成立 的.其原因是产品的寿命本身乃是一个随机现象,而不论元件属于哪一类,都可能产生用户所观察到的迹象 (譬如寿命的实际值总是偏小 ),单凭这些迹象来怀疑产品 (元件 )的质量或工作环境是不够合理的,因此合理的检验方法是十分必要的.2 基本概念和预备知识以下我们用 X 表示寿命,X,表示时刻 t 的剩余寿命,F (x ) 为元件的寿命分布函数,而F ( x ) 一 1一 F ( x )为其生存函数.2.1 无记忆性元件的寿命 x 若满足:对任意 x ) o 和 y ) 0 均有收稿日期:1 9 9 4一1 2一2 7第 2 期 张力远等:质量检验的一个统计模型及检验方法P (X )x +川 X )y )一 P (X 》 x )l ()则称元件是无记忆的 [ 1,以 {e xP }表示连续的无记忆性元件类.事实上,指数分布是唯一的连续型无记忆分布,几何分布是唯一的离散型无记忆分布阁.下边给出指数分布的密度函数、生存函数和矩母函数:又) 一 几e 一 七,x > 0,几> 0= e 一 七,x > o,又> o又一 ; 一-一 : , 人奋> O人 — t( 2 ),、少Xt)了少一F口口.!̀|悦寸刀L2.2 N B U E 性若元件的平均寿命总是不小于其平均剩余寿命,即对任意的 t > .0E X ) E X,( 3)则称元件是 N B U E 的,若上式 不等号取“镇” ,则称元件是 N W U E ( Ne w w o r s e t h a n u s e d i ne x p e e t a t i o n ) ; 以 <N B u E }表示连续的 N B U E 寿命分布类,利用条件分布不难证明 ( 3 )等价于,对任意的 t > .0介( 二 ) d二。士 )封了了 (二 , dx ( 4 )2.3 ( N B U E }的边界元素显然 (exP }c 弋N B U E },而且若令 ( 4) 对任意的 t > o 等式均成立,即{了: ( ! + 二 )。君) d二 一介二̀ , dx ( 5 )则 F 必为无记忆分布 1[].可见 谧N B U E }的边界元素是 哎exP .}2.4 元件 N BU E性的度量以 产 一丁了了 (工 ) d二表示元件尸 的平均寿命,容易验证 尸 是犷了 ( X , d二 镇 “万 (` ’N B U E的当且仅当对任意的 t >显然,量 产了 (t )我们可以用量犷厂( 二 ) d二 衡量了在时亥。` 元件的乘。余寿命同新元件寿命间的“距离’ , ,因此,“ (“ ) 一丁了仁产了 ( , ) 一丁厂了 ( X ) d X 〕d F ( , , ( 6 )来度量元件剩余寿命同新元件寿命的“距离” ;不难验证:性质 1 N B U E元件 F 的寿命是指数型的当且仅当 创 F )一 .0证明 必要性是 明显的,只须将 ( 2) 代入 ( 6) 中计算即可.充分性.若 0( F ) 一。,注意到元件 F 是 N B U E 的,即 产尸 ( )t 一> o,则知必有 ( 5) 成立,因而 F 是无记忆性的.性质 2 (6 )等价于f了 (二 , d二 ) 。,又̀ 任意的 `夕̀ F , 一 2丁了节, 、一, 、lx 厂 气x 少O 厂 L x 少 一.万产`( 7 )·84·兰 州 铁 道 学 院 学 报 第 4 1卷证明 利用分部积分立即可证.3元件的无记忆性对 NB U E性的检验在第 2部分的模型之下,第 1 部分 中的问题成为确定元件 F 任 ( ex p }还是 F 任 <N B U E }.注意到寿命分布函数 F ( x) 的具体形 式通常是未知的,通过 ( l) 和 ( 4) 来鉴别 F 是不可能的; 另外,由于用户的多次使用经验可以提供元件寿命的大量实际观察数据,由辛钦大数定律可知平均观测寿命是元件平均寿命的一致估计,所以下边不妨假定元件的平均寿命 产 已知.由于0 ( F )不可观察,我们将通过一个 0 ( F )的合理的估计来替换它作为鉴别标准.以下总设 X, ,… …,X,为一个取 自总体 F 的简单随机样本.3.1 0( F ) 的一个无偏估计性质 3证明X艺` (“ 1 > XZ, 是丁了X厂 二̀ ,〔 ,二 的一个无偏估计,其中的 ` 是示性函数·利用双期望定理有E ( X:I ( Xz> X:) ) 一 E x。[ Ex , ( X:I ( X,> XZ) IX:) ]= E x,( X:F ( X:) )一丁了x:: ( X:) d : ( 二:)( 8 )无偏性得证.性质 4 ZX:I ( X> x:) 一要, 是 。 ( F )的一个无偏估计.`证明 结 合 ( 7 )和 ( 8 )即可.3.Z U一统计量的构造记 、 ( x; ,x:)一 x艺, ( x;> x:) + x,, ( x:> x,) 一冬产,容易验证 、 ( x; ,x:)也是 。 ( F )的无偏乙估计,并且 l( X; ,X:) 一 l( X: ,Xl) (对称性 ),根据 U 一统计量的定义知2 又~,jL. 二二二—户 I子气才、 ` 一 2、 `少2 2 ( 1之 一 1 ) 一吮一一1受二 , 《 、 j. ”是一具有对称核的 u 一统计量川.3.3 U一统计量的收敛性质直接应用 Ho e f f d i n g ( 1 9 4 5 ) 的结果 [, 〕有定理 I U,是 0( F )的一个一致估计,即当注意到,若记,:~ co 时,U,~ 夕( F ).h , ( x,) 一 E (h ( X, , X : ) IX;~ x;)= E (h ( xl ,X:) )_`_ _ 一 _ , _ 、 、.一, , , , _ 、 、 1= E (X,I ( X,< xl) ) + E ( xll (X:> xl) ) 一 青产~、“ 芯一 、 ` “ 芯 、 一尸产 ’一“ 一护、一“ 一孟 ` ’2 厂总体 F 为指数分布且均值 产 已知,则 ( l) 中的参数 几-,从而h , ( xl) 一 xl e 一令1州卜 下干产 一 以t十 xl 夕e`立 1产一 下~产 一 产 e乙令。凳一 Va r ( h,(Xl) ), 、 r , _生、= 产一 v a r 气尸 产 ,第 2 期 张力远等:质量检验的一个统计模型及检验方法利用 2 () 易有E(e X:`) =l1 一 产 t于是V 一 `一今, 一 E (一华卜:2(一今) 一鑫。 `一鑫, 2 > 。另外,容易验证:若 X、具有指数分布,则E ( h艺( X一 ,X:) ) < co由 Ho e f fd i n g ( 1 9 4 8 )的著名定理 〔,〕易有定理 2 若元件的寿命服从指数分布,则当, :~ o 时丫不一U丫。~ N ( o,告产公)O.3 4 检验原假设H: F 任 { e x p }对备选假设 K: F 任谧N B U E }一哎ex p },这里 。 < 产 < co 已知,F 连续.注意到若 F e {N B U E }一丈exP },则 0 ( F ) > 。 ; 而由 (3.3) 知 U。是以 F )的一个合理的估计,所以,当n较大时,若 U。较大,则有理 由认为 F 任 谧N B U E }一 佳xP },即拒绝原假设 H.对任意给定的水平a > 。,令P ( U。) C。( a ) )ln 丫厄万U, ._而万c。(a ) )一川—声—l、 产 产 /、 l 一 。}亚e,( “ ) )、 产其中 中 为标准正态分布 N ( O,1) 的分布函数,易有C,( a ) 岛 产z ( l 一 a ) / 丫丽为该检验的临界值; 于是一个渐近地水平为“的假设 H 对 K 的检验当且仅当观察到 U。妻 .ca( )时拒绝 H,即认为元件 F 不是无记忆的.3.5 检验的一致性定理 3 (3.4) 中的检验是一致的 ( F 连续时 ).证明 若 F 连续且 F 任 {N B U E }一 {。xP },则至少存在一个 t0 > o,使介`二)’clx < 迩 (0)t由连续性知上式必定在 t。的一个邻域中成立,这样就有丁了了2(二 ) d二 )丁厂`文 , , 一丁了厂 ( , , d y d二F ( y )分(̀ ’ d X d ,F ( x )厅( , ’ d、ù0付广l`产IJ一.86 兰 州 铁 道 学 院 学 报 第 1 4卷因为所以从而犷厂坠鲁丝 d沁+俄乙呼丛d沁一 、f。二 ) d二 >厂架介(, ) d、一韶,检验方法 ( 3,4) 具有一致性.至此,我们的问题获得完满解决.参 考 文 献aBr l o w R e e h a r d E,Pr o s e h a n F r a n k.S ta t i s t ie a l th e o r y o f r e l ia b il it y a n d l if e t e s t in g,N e w OYr k : J o h n W ile y& S on s , 1 9 8 5.5 6~ 5 8,1 5 9~ 1 6 1复旦大学.概率论.第 1册.北京:高等教育出版社,197 9.1 15 ~ 125S e r f li n g R o b e r t J. ,A p pr o x ima t io n t he o r ems of m a t h e m a t ie a l s t a t is t ie s,Ne w Y o r k:J o h n W ile y & So n s ,1 9 8 0.1 7 1~ 1 9 9T h e S t a t i s t i e a l M o d e l a n d T e s t i n g M e t h o d f o r Q u a l i t y T e s t i n gZ h a, 29 L l’y u a n L i X i a o h u( L a n z h o u I n d u s t r ia l C o ll e g e,La n z h o u 7 3 0 0 5 0 ) ( L a n z h o u U n iv e r s i t y,L a n z h o u 7 3 0 0 0 0 )A b s t r a e t T h i s p a p e r d e a !5 w i t h a k i一l d o f d e g e n e r a t i v e p h e n o m e n o n o f a e o m p o n e n t l i f e i ni n d u s t r i a l s y s t e m,t h e a u t h o r s es t a b li s h a s t a t i s t i e a l m o d e l f o r i t, a n d d is e u s s s o m e p r o p e r t ie so f t h e e o m p o n e n t l i f e.F u r t }飞e r m o r e,b y u s in g l a r g e s a m p l e t h e o r ym e t h o d f o r s u e h P r o b le m s 15 o b t a i n e d.K e y w o r d s li f e t im e s ; d i s t r ib L一t io n f u n e t i o n ; r d i a b i l i t y t h e o r y ;a n d U 一 S t a t i s t i e, a t e s t i n gh y P o t h e s is t e s t i n g责任编辑:一工

质量检验的一个统计模型及检验方法

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