对于非线性方程组,本文中推广了 Alefeld 的两种区间 Newton法,由此可导出各种不同的算成,以便在特定的应用中做出合适的选择。另外,对Alefeld 提出的问题给出肯定的回答

林群

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第29 卷 第 4 期 厦 门大学学拟自然科学阂Jo u r n al o f X ia m en U ni 代招ity 困at 幻ra l sc 沈n ee)V o l.29 N o.41990 年 7 月 Ju L 19 90两类区间算法的收敛性¹林 群(统 计 系)摘要 对于非线性方程组,本文中推广了人址fel d 的两种区间 Ne w to。法,由此可导出各种不同的算成以便在特定的应用中做出合适的选择.另外,对 Al e fcl d 提出的问题给出肯定的回答二关键词 收敛性,区间算法,非线性方程组1 算法本文中以英文小写字母 i,k , n 表示 自然数,以希腊小写字母 :,夕,y ⋯ 表示实区间,以上方加“峭 的希腊小写字母表示实数,以英文小写字母 (i ,k,。除外 )a, b , 。,⋯ 表示区间向量,以英文大写字母 A声,c, ⋯ 表示区间矩阵,分别以上方加护 )̂, 的英文小写和大写字母表示点向量和点矩阵.另外,今后仍沿用 [l 中的距离 q,宽度 d 和绝对值 l。!等记号.设了:二 。 ‘ R’ * R ’ ,我们的目的是寻求了在: 。中的零点.今假定了满足区间L ip, ch itz 条件,即形 )一 大力。L( x) 伏一 P), 任意戴夕。x ‘ x 。 ( 1)其中算子艺:众 ” , IR””满足l) L在Ix 。上连续; 2) L是包含单调的,即二 任 y二L (x) 三 L( y).在实际计算中,L 可选择f( x) 的自然区间扩展池可选择其各种中心形式.为了描述算法,我们需要考虑线性方程组解集的包含问题.设 A 。 IR月戈 ” , b o IR” ,且任意万。义才一 ’均存在.以 L E s( A办) 表示线性方程组解集的任一包含,即L E s( 义,b) 二 行}众一友万。刀万。歼令 L E s (A ) 一 压E s(A声: ), LE s似,右2 ), , 二 ,L E s州,省.)1,其中省, 表示第i个单位向量·本文仅限于考虑具有下列性质的L E S :(l ) 若 L E s( B) 存在,则对 月 ‘ B, L E s( A ) 和 LE s叼,句均存在 ; (2 ) 若 L E s( 匀存在,则万 一 ’ 存在,且 L E s( 万,自 一 万一 ’凡 (3 ) 若 L E s( A ) 存在,则 L E s ( A,右)二 L Es似卜 反 (4 ) 若 LE s( 刃存在且 通 二 B,则 L E s( 诬,幻二 L E s扭为.[l] 中按区间G aus , 法得到的包含I G 刀(月,b) 就具有这些性质.由上述性质(2) 和 (4) 可以推出l) L E s衍卜万一 l ; 2) L E s是包含单调的,即, 生 刀冷L E s扭 ) 9 LE s伊 )¹ 飞日8 日刃 6一 12收到第 4 期 林群 : 两类区间算法的收敛性 385!选择厉 k o x 介 ‘ R,s。(x k )一碗 k 一 LE s(: (二 0 ),加k ))浑‘+ ’一 : 。(二禽)n二乏 , * 一 。,1,z,⋯俘){选知会。 x ’ 。 ,·{Q‘X ‘ , 一“ 一 L E s‘L(x “),, ‘’))七二 介+ ’ 一 。(: “ )门二“ , 、= 0,1,2,⋯(3)2 收 敛 性定理 设 f , 。 g R’ 一 R “ 满足式口)所述的区间 LI Ps 比、:条件,又设 L E s体(x 。) 存在,并记万二 成一 LE s(“二0) ).L (x 0) {,万一 d( L E s(L (x 0) ).泌(二0) 1,于是。 ) 若 Q(二 。) 一 sQ (二 。 )‘ 二 “,则 f在 二 6 中有一零点 ;’ ,又若 二 “n Q (x 。)一 匕,则了在 x 。中无零点,b) 若 p (万) < l( p 为谱半径 )或 P( 甸《 1,且.f在 二 “ 中有弓零点交, ,则算法 (2 ).(3) 均收敛,即腼二介 一 、’,若病惫 取为二 “ 的中心,则试扔 < 1 可改为 P( 扔 < 2.* 叶 出c) 若 P( 匀 <l 或 P(扔<1,且 了在护 中无零点,则算法 (2) ,(3) 经有限步终止,即存在气) 0,使得s。(; 介。)n二 七一 。(x“。 )门‘“。 一 必证 a) 由B ro u w er 不动点定理,并注意到当浮点王‘。二 “时,有交. 。Q (二0),即得.句 注意到对算法有汾‘ 。x k 方 一 。,1,2,. ⋯下面仅就可万) < 1证明算法(2 》的收敛性,由式(l皿L E s的性质,得s创xk )一 分’ 一 病 * 一室’一LE s( “x0 ),f 厉*)g 成介 一分’一 LE S仪(x 0)}·加卜兰 示 “ 一 交’一 LEs (L (二“){ 乙(x ” )汤 无 一 分’)} ‘蔺一 乙Es (L 你”) 乙(x ”)l( 碗“一 才.) 〔4)因二 禽‘ ’二 s。(二走)门二舟 ‘ s。(二走),故有 : 无‘ ’一 ;’ ‘ s。(, 去)一 *‘ ,再由式间得一x k + l 一 *’l《才一x 几 一 *’l (5)应用叔, 介,*‘)一 }二 k 一 戈‘},则式(3) 成为; (二 k + l声’)《万; (二 k,*’)簇万k + l口(二 o , ;’)从而 】i功 X七, 山k 二~ X的 我们首先证明 : 在 P( 万) < 1 或 p (扔< l 下,任意分。L E s〔以 : 。). 才均非奇异,在 P(万)< 1 下,取夕。斌x o),则有·38 6·厦门大学学报(自然科学版)o ))·乙(x o )J二 才19 90 年!E 一 X Y }( !E 一 LE S〔L (x应用Pe r r o n 一 F r o b e n iu s定理得 :风宕一 才乃成P(l 宕一分fl) ( 风匀 < 1因此才夕二 宕一 〔户一 才为非奇异,即有才非奇异.又若可句 < 1,则取一可逆阵玄。L E s(拭二卜),使得 玄八 。 L( 二0) ,L E s( 才一 l)一 艺,于是’}E 一 X Z一 ’}引玄一角.旧一 1 1《 d( LE s( L(二0) 卜 lL(二0)l一 万 这样试户一 才才一 ’)( P( !玄一才才一 ’l) ( 风扔 < l因此 行一 l一 E 一 (E 一 X Z一 l )非奇异,即分非奇异.下面我们仅对算法 (2 )用反证法证明定理的结论,对算法 (3) 的证明是类似的.若算法 (2 )非有限步终止,则有 二 k Z 二 k 十 1,k 一 。,1,2 ,’·且 区间列 你卜收敛于:‘ .对序列 葺碗协〔碗k。二 k ),它含于紧集 x o 之中,故由 B o 一z a n o 一wc ie rs tra s s定理知 : 存在一收敛子列 {示 k‘卜即 lim 碗气 二 玄 : 汤气。二气,l m x 气 一 z’ ,:’ 。 : ’.这样,由盆崎 。Os Q (工k‘) -x k , + 1 一 s Q (x k‘一烧s(L (、 0 )、成爪“ )))门x 介,s口(: ‘) = 玄’一 L E s(乙(x o ),犬玄 ))Z =s Q (:’)门: ‘三 s Q(: ’),故玄. o s Q (:.),于是 L E s怀 (二 0 ),天:’)),即有Jzo o L E s(乙(x o ),天:.))‘ L E s (乙(x o ))·C Z天玄’)存在点阵分。L E s( L (二o) )使得牙厂玄’)一 。 在 可幻 < 1 或 P(岛 < 1 下才非奇异,于是我李,。而因从们推出矛盾大分‘) 一 0.定理的结论。) 回答了【1)中提出的问题,参 考 文 献1 Alefe ld G.S侧M J.万“阴e r.才门a L,19 84,2 1 : 3 63 ~ 37 2The C o n v o rg e n c e o f T w o C la sse s o f In ter v a lA lg o rith m sL in Qu n(D e p t.o f 占Ia ￡.)A b st「a e t 厂o r a n o 川in e a r : vs te m o f e q u at}o n s.a g e n e raliz atio n o r tw oIn te rv olN e w to n 一a lg o r ith m s P re s e n te d b 丫A !e fe ld 15 d ise u s s e d.fro m w h ie h d if化: e n t a lg o rith m s e a n b e d e r iv e d a n d it15 Po ss ib le to e h o o s e th e a PP ro p ria te o n e fo r a Pa 犷t ieu la r aPPlie a t;o n.T h is p a Pe r a ls o g iv e s a n a ffi『m a t{v e a n·洲e r to th e q u e stio n Pu t bY A (e奄e (d.Ke y w o rd s eo n v e rg e o e oJ! n te rv a la 一g o rith m.N o n 一in e a r svs te rn

两类区间算法的收敛性

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/18967/%e4%b8%a4%e7%b1%bb%e5%8c%ba%e9%97%b4%e7%ae%97%e6%b3%95%e7%9a%84%e6%94%b6%e6%95%9b%e6%80%a7.pdf?sequence=1&isAllowed=y

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