证明 Bochner- Martinelli型奇异积分在 Cn 空间中闭光滑流形上的置换公式 ,从置换公式出发 ,当密度函数可全纯开拓到区域 D内时 ,证明了相应的合成公式 

林良裕

邱春晖

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第 40 卷　第 1 期 厦门大学学报(自然科学版) Vo l. 40　No . 1　2001年 1月 Journal of Xiamen Univ er sity ( Natural Science) Jan. 2001　文章编号: 0438-0479( 2001) 01-0001-06闭光滑流形上奇异积分的置换公式收稿日期: 2000-04-04基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 19771068)作者简介: 林良裕( 1943- ) ,男, 教授.林良裕,邱春晖(厦门大学数学系,福建 厦门　361005)摘要: 证明 Bochner-M artinelli型奇异积分在 Cn空间中闭光滑流形上的置换公式, 从置换公式出发, 当密度函数可全纯开拓到区域 D 内时, 证明了相应的合成公式.关键词: 多复变数;奇异积分; 置换公式; 合成公式中图分类号: O 174. 56 文献标识码: A　　　　　　　　　　　　　　　周知,陆启铿、钟同德[ 1]最早研究了闭光滑流型上Bochner-M ar tinel li型积分的边界性质,后来 Kakichev B. A.[ 2]讨论了极限值函数的性质, 文献[ 3～5]则把他们的结果分别拓广到域的拓扑积与闭逐块光滑流形上. Kytmanov A . M[ 6, 7]指出文献[ 8]的合成公式有错误和文献[ 9]的证明中应用了文献[ 8]的一个错误公式,并且采用与文献[ 9]不同的方法证明了 B-M 型奇异积分的置换公式和合成公式.文献[ 10]采用直接方法证明了奇异积分的合成公式.本文则采用与他们不同的方法证明了 B-M 型奇异积分的置换公式,并且当密度函数可全纯开拓为域D内时,由置换公式可直接推出合成公式.设 D 是 Cn空间中具有C ( 1) 光滑边界的有界域, 记B ( ) = { z z - < } , > 0, n 表示 D 上点 的外法线,  k( ) , 1≤ k≤n为其单位复方向余弦, D!表示在 D上 !为积分变元,dS !为 D !的体积元素,并记∀ ( , !) = D!∩B ( ) , D != ( , !) + ∀ ( , !) , dz [ k-] 表示dz-1∧ dz 1∧⋯∧ dz-n ∧dz n中缺去因子 dz-k, 1≤ k ≤ n.　K ( w , z ) =( n - 1) !( 2#i ) k ∑nk= 1( z-k - w- k ) z - w - 2ndz [ k-]是 B-M核 [ 1] , 并记 K ( z , !) = K 0( z , !; !) dS!, K 0( z , !; !) = C∑nk= 1( !k - z-k ) k (!) !- z - 2n , C=( n - 1) !2#n ,对 ∃∈ H (%, D ) ,定义哥西型积分　& ( z ) =∫D!∃( !) K ( z , !) , z  D ( 1)其中H ( %, D ) 表示在 D 上满足指数 0 < %≤ 1的 Holder 条件的函数空间.1　主要定理定理 1　(置换公式) 设 ∃∈ H (%, D × D ) , ∈ D ,则　∫D!K ( , !)∫D ∋∃(!, ∋) K (!, ∋) =∫D∋∫D!∃(!, ∋) K (!, ∋) K ( , !) +14∃( , ) ( 2)上式右端第一项内层积分取主值 V  P∫D!= limi→0∫∑1( , !)∩∑2( ∋, !), 其余积分取主值V  P∫D! =lim→0∫∑定理 2　(合成公式) 设 ∃( ∋) ∈ L * ( D- ) ,即 ∃∈ H (%, D ) , 并且 ∃可全纯开拓为 D 中的函数,则　∫D!K ( , !)∫D ∋∃( ∋) K (!, ∋) =14∃( ) ( 3)2　引　理命题 1[ 1]　设 ∃∈ H (%, D ) , ∈ D ,则　&± ( ) =∫D!∃(!) K ( , !) ±12∃( ) ( 4)命题 2[ 9]　 设 D ∈ C( 1), ∈ D , z 从 D内沿n 趋向 ,则存在与 无关的正数 (, 使当 z- ≤ (时,对 D 上的点 !,　有　 z - ≤ 2 z - ! , !- ≤ 3 z - ! ( 5)命题 3[ 9]　设 ∃∈ H (%, D ) , w , z ∈ D , , ∋∈ D ,记　S ( z , ∋) =∫D!(∃(!) - ∃( ∋) ) K ( z , !) K ( !, ∋)　T ( , w ) =∫D!(∃(!) - ∃( ) ) K (!, w ) K ( , !)若 z 和w 分别沿n 和n∋趋向 和 ∋时, 则当 ≠∋时存在与 和∋无关的正数 (i 和K i, i = 1,2, 使当 z - ≤ (1 , w - ∋ ≤ (2时, 分别有　 S( z , ∋) ≤K 1dS∋- ∋ 2n- 1- %/ 2 ( 6)　 T ( , w ) ≤K 2dS∋- ∋ 2n- 1- %/ 2 ( 7)引 理 1　 设 z , w ∈ D , z ≠ w 记 G( z , w ) =∫D!K (!, w ) K ( z , !) , P( z , w ) =limi→0∫D!- B 1 ( z) - B 2 ( w) !K (!, w ) ∧ K ( z , !) ! V  P∫D!,则　G ( z , w ) = P ( z , w ) +n - 1nK ( z , w ) , P( , ∋) = G( , ∋) + 1 - n2n K ( , ∋) ( 8)其中　G ( , ∋) = V  P∫D!K ( !, ∋) K ( , !) , P ( , ∋) = V  P∫D! !K (!, ∋) ∧ K ( , !)证　对足够小的 i > 0, i = 1, 2, 应用 Stokes 定理·2·　　　　　　　　　　　　　　　　厦门大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　　2001年　∫D!- B 1( z ) - B 2( w )K (!, w ) K ( z , !) =∫D!- B 1 ( z) - B 2 ( w) !K (!, w ) ∧ K ( z , !)上式左端等于 G( z , w ) -∫B1( 2)-∫B2( 2)! G - I 1 - I 2 , 易知lim1→0I 1 = K ( z , w ) , lim2→0I 2 = -1nK ( z , w ) ,因此式( 8) 的第 1式成立,同理可证第 2式.引理 2　设∃∈ H (%, D× D ) , , ∋∈ D , ≠ ∋,记A ( , ∋) =∫D!∃(!, ∋) K (!, ∋) K ( ,!) ,则存在与 和 ∋无关的正数 M1 ,使　 A ( , ∋) - 12(∃( , ∋) + ∃( ∋, ∋) ) G( , ∋) ≤ M1dS∋- ∋ 2n- 1- %/ 2 ( 9)证　设 z , w ∈ D ,分别位于 n 和 n∋上,则　A ( , ∋) = limz→w→∋∫D!∃(!, ∋) K (!, w ) K ( z , !) - l im1→0 limz→∫∀ 1( , !) ∃( !, ∋) K ( !, ∋) K ( z , !) -　　　 lim2→0limw→∋∫∀2( ∋, !)∃(!, ∋) K (!, w ) K ( , !) ! A 0 - A 1 - A 2易知　A 0 =12( limz→S ( z , ∋) + limw→∋T ( , w ) ) +12(∃( , ∋) + ∃( ∋, ∋) G( , ∋)　A 1 =12 ∃( , ∋) K ( , ∋) , A 2 = -12 ∃( ∋, ∋) K ( , ∋)其中S ( z , ∋) , T ( , w ) 如式( 6) , ( 7) 所示.综上,估计式( 9) 是显见的.引理3　设 ∃∈H (%, D× D ) , z ∈D ,记)( z , ∋) =∫D!(∃( !, ∋) - ∃( , ∋) ) K (!, ∋) K ( z ,!) , z 沿 n 趋向 (≠ ∋) ,并记 )+ ( , ∋) = limz→)( z , ∋) ,则　)+ ( , ∋) =∫D!∃(!, ∋) K ( , !) K (!, ∋) - ∃( , ∋) G ( , ∋) ( 10)对任意固定的正数 0 ,存在仅与 0有关的正数 M2 ,使当 z → 时,　 )( z , ∋) - )+ ( , ∋) ≤ M2 z - %dS ∋ ( 11)证　由于 )( z , ∋) 主值存在,因此,对 ∀ > 0, # (> 0,使　 )( z , ∋) -∫∑(( ∋, !) (∃(!, ∋) - ∃( , ∋) ) K ( !, ∋) K ( z , !) <于是, ≠ ∋时,有　 limz→)( z , ∋) -∫∑(( ∋, !) = )+ ( , ∋) -∫∑(( ∋, !) ≤由 的任意性立得)+ ( , ∋) =∫D!(∃(!, ∋) - ∃( , ∋) ) K (!, ∋) K ( , !) ,再由式( 8) 立得式( 10) .类似文献[ 9] 引理 6中 2) 的证明知式( 11) 成立.引理 4　设 ∃∈ H (%, D× D ) , )( z , ∋) 和 )+ ( , ∋) 如引理3中所示, z ∈D 位于 n 上,则limz→∫D∋()( z , ∋) - )+ ( , ∋) ) = 0·3·第 1 期　　　　　　　　　　林良裕等: 闭光滑流形上奇异积分的置换公式　　　　　　　　　　　　　证　首先指出,对 z ∈ D , ∋∈ D ,我们有　∫D!K ( z , !) K ( !, ∋) =12 K ( z , ∋) + G( z , ∋) ( 12)任取 0 > 0,　∫D∋( ∗ ( z , ∋) - ∗+ ( , ∋) ) ≤∫D ∋ ( ∗ ( z , ∋) - ∗+ ( , ∋) =　∫∀0( , ∋)+∫∑0( , ∋)= J 1 + J 2利用式( 12) , 知　∗ ( z , ∋) - ∗ + ( , ∋) = S ( z , ∋) - ( A ( , ∋) - 12( ∃( , ∋) +　　　( ∃( ∋, ∋) ) G( , ∋) ) + ( ∃( ∋, ∋) - ∃( , ∋) ) ( 12K ( z , ∋) + G( z , ∋) ) +　　　12(∃( , ∋) - ∃( ∋, ∋) ) G( , ∋) ! I 1 - I 2 + I 3 - I 4以下M i, 1≤ i ≤ 7均为常数.由式( 6) 和( 9) 知 I 1 + I 2 ≤M1dS ∋- ∋ 2n- 1- %/ 2 .经过仔细的分析,我们不难证明　 I 3 ≤M 2dS∋- ∋ 2n- 1- %/ 2　 I 4 ≤ M3 - ∋ 1+ / 2- 2ndS ∋因此　 )( z , ∋) - )+ ( , ∋) ≤ M4 - ∋ 1+ %/ 2- 2ndS∋因而有正数 M 5,当 z - ≤ (时,　J 1≤ M5∫∀0( , ∋)dS ∋- ∋ 2n- 1- %/ 2≤ M 6 0%/ 2于是,任给 > 0,可先取定 0足够小,使当 z - ≤(时, J 1 < / 2.再根据引理 3,存在仅与0有关的正数 M7 ( 0) ,使 J 2≤M 7( 0) z -2,因而, 只要当 z - 足够小,使当 z - ≤(时, 且 M7 ( 0) z - 2 < / 2, 则立知引理成立.引理 5　设 ∃∈ H (%, D × D ) , z ∈ D , z 沿n 趋于 (≠ ∋) 时, 则　 limz→∫D∋∃( , ∋) G( z , ∋) =∫D∋∃( , ∋) G( , ∋) ( 13)证　易知limz→G( z , ∋) = G( , ∋) , 由于式( 13)中的两个积分的主值均存在,于是对∀ > 0,# (1 > 0,使∫D∋∃( , ∋) G( z , ∋) - G( , ∋) ) -∫∑(1( , ∋) < ,因此,当 z ∈ D沿 n 趋于 (≠ ∋)时,有limz→∫D∋∃( , ∋) ( G ( z , ∋) - G( , ∋) ) ≤ ,由 的任意性,立知式( 13) 成立.3　定理的证明定理 1的证明 　对 z ∈D ,记　& ( z ) = 4∫D!K ( z , !)∫D ∋∃(!, ∋) K (!, ∋) , ∗ ( z ) =∫D ∋∫D!∃(!, ∋) K (!, ∋) K ( z , !)·4·　　　　　　　　　　　　　　　　厦门大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　　2001年上述内层积分均取主值,易知& ( z ) = ∗ ( z ) ,当 z ∈D ,沿 n 趋于 时, 则& + ( ) = ∗ + ( ) .由Plemelj公式[ 1]及文献[ 2] 知　& + ( ) =∫D!K ( , !)∫D ∋∃(!, ∋) K (!, ∋) +12∫D ∋∃( , ∋) K ( , ∋)应用引理 3的记号,由式( 12) 知　∗ ( z ) =∫D∋)( z , ∋) +12∫D ∋∃( , ∋) ( K ( z , ∋) + 2G( z , ∋) ) =　　∫D ∋()( z , ∋) - )+( , ∋) ) +∫D ∋)+( , ∋) + 12∫D ∋K ( z , ∋) +　　∫D ∋∃( , ∋) G ( z , ∋)由式( 10) , ( 13) 及引理 4,有　∗ + ( ) =∫D ∋∫D!∃(!, ∋) K ( !, ∋) K ( , !) +12∫D∋∃( , ∋) K ( , ∋) +14∃( , )再由 & + = ∗ + , 立得式( 3) .定理 2的证明 　设 ∃∈ L * ( D- ) ,由定理 1知　∫D!K ( , !)∫D ∋∃( ∋) K (!, ∋) =∫D∋∃( ∋)∫D!K (!, ∋) K ( , !) +14∃( )显然,只需证明上式右端第一项积分为零. 为此,记　K 0, 1 (!, ∋) = ( n - 1) !( 2#i ) n ∑nj = 1∑k≠j∀( j , k) ∋k - !k∋- ! 2nd∋[ j ,k] ∧ d∋∧d!j ,　∀( j , k ) d!= d!k ∧ d!j ∧ d![ j ,k] ,易知 !K (!, ∋) = - ∋K 0, 1 (!, ∋) ,只要在域 D!\ ( B ( ) ∪ B ( ∋) ) 上应用 Stokes 公式, 并令 →0, 我们有　V  P∫D!K ( !, ∋) K ( , !) = - ∋V  P∫D!K ( 0, 1) (!, ∋) ∧ K ( , !)于是　∫D∋∃( ∋)∫D!K (!, ∋) K ( , !) =　　 l im→0∫B ( )∩D∋∃( ∋)∫D! !K (!, ∋) ∧K ( , !) ,令 1 = 212 ,对足够小的 > 0, <12 , 有 !- ∋ ≥12 , 对所有!∈∑1( , !) , ∋∈ B ( ) ∩D∋成立.则上式右端等于　 lim1→0lim→0∫∑1( , !)∩∑1( ∋, !)K ( , !)∫B ( )∩D∋∃( ∋) K (!, ∋) = 0.参考文献:[ 1]　陆启铿,钟同德. P rivalov 定理的拓广[ J] .数学学报, 1957, 7: 144- 165.[ 2]　Kakichev B A . Charact er o f the continuity of the boundary values o f a Mar tinelli-Bochner integ ral[ J] .Oblast . Ped. Inst. Uchen. ( Russian) Zap. 96( T rudy Mat . Kafedr . 6) 1960: 145- 150.·5·第 1 期　　　　　　　　　　林良裕等: 闭光滑流形上奇异积分的置换公式　　　　　　　　　　　　　[ 3]　钟同德.多复变数哥西型积分的边界性质[ J] .数学学报, 1965: 15: 227- 241.[ 4]　林良裕.闭逐块光滑流形上哥西型积分的边界性质[ J] . 数学学报, 1988, 31: 547- 557.[ 5]　林良裕.闭逐块光滑流形上的 Cauchy-Fantappie’型积分的边界性质[ J] . 数学学报, 1995, 38: 13- 23.[ 6] 　  !∀#∃% & ∋ . (# )∗+∀, −∃.#)+∀-∋ ∀+ /#),,// )∗∃0+/!)#)#/1[ M ] . 《2&3 &》4/5/+67∃) ∃ 8),)#/),1992.[ 7] 　  !∀#∃% & ∋ . 9 : ;/6,)#// /# )∗+∀,&  /<& ∋&+ /#),/-−∃.#)+& : =&+) ( 9 2)7∃ ∃+ .)∗∃<+/,∃> )#/1[ J] . ∋ ∀ )!∀ /7∀ ISSN , (?B. M AT ≅M . , 1983, ( 3) : C. 59- 66.[ 8]　4)+5/#& ( . 9 ∃Α#7Β/1.0+)86 &:/!./# )∗+∀,∃!∋&+ /#),,/-−∃.#)+& [ J] . Χ&# 444Δ, 1971, 196: 1276- 1 279.[ 9]　孙继广.闭光滑流形上的奇异积分方程[ J] .数学学报, 1979, 22: 675- 22.[ 10]　钟同德. P lemelj公式及其应用[ J] .数学进展, 1994, 23: 205- 211.The T ransformat ion Formula of SingularInteg ral on a Closed Smooth ManifoldLIN Liang-yu, QIU Chun-hui( Dept . of M ath. , Xiamen Univ. , Xiamen 361005, China)Abstract: Let D be a bounded domain in Cnspace, n≥2, and its boundary D be a ori-entable manifo ld of class C( 1) . K ( , !) denotes the Bochner -Mart inelli ker nel, w her e , !∈D ; - ! -the Euclidean distance betw een and !. The another method pr ove that if ∃∈H(%, D ) , 0< %≤1, the t ransformat ion fo rmula ho lds, and if ∃∈H (%, D ) and can be holo-morphic ex tended in to D then the composite formula can be deduced fr om transformationfo rmula.Key words: funct ion of several complex variables; sigular integral; t ransformation formula;composite formula·6·　　　　　　　　　　　　　　　　厦门大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　　2001年

闭光滑流形上奇异积分的置换公式

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闭光滑流形上奇异积分的置换公式

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