The topic of this thesis lies in the intersection between proof theory and alge-
braic logic. The main object of discussion, constructive reasoning, was intro-
duced at the beginning of the 20th century by Brouwer, who followed Kant’s
explanation of human intuition of spacial forms and time points: these are
constructed step by step in a finite process by certain rules, mimicking con-
structions with straightedge and compass and the construction of natural
numbers, respectively.
The aim of the present thesis is to show how classical reasoning, which
admits some forms of indirect reasoning, can be made more constructive.
The central tool that we are using are induction principles, methods that cap-
ture infinite collections of objects by considering their process of generation
instead of the whole class. We start by studying the interplay between cer-
tain structures that satisfy induction and the calculi for some non-classical
logics. We then use inductive methods to prove a few conservation theorems,
which contribute to answering the question of which parts of classical logic
and mathematics can be made constructive.Tämän opinnäytetyön aiheena on todistusteorian ja algebrallisen logiikan leikkauspiste. Keskustelun pääaiheen, rakentavan päättelyn, esitteli 1900-luvun alussa Brouwer, joka seurasi Kantin selitystä ihmisen intuitiosta tilamuodoista ja aikapisteistä: nämä rakennetaan askel askeleelta äärellisessä prosessissa tiettyjen sääntöjen mukaan, jotka jäljittelevät suoran ja kompassin konstruktioita ja luonnollisten lukujen konstruktiota.
Tämän opinnäytetyön tavoitteena on osoittaa, kuinka klassista päättelyä, joka mahdollistaa tietyt epäsuoran päättelyn muodot, voidaan tehdä rakentavammaksi. Keskeinen työkalu, jota käytämme, ovat induktioperiaatteet, menetelmät, jotka keräävät äärettömiä objektikokoelmia ottamalla huomioon niiden luomisprosessin koko luokan sijaan. Aloitamme tutkimalla vuorovaikutusta tiettyjen induktiota tyydyttävien rakenteiden ja joidenkin ei-klassisten logiikan laskelmien välillä. Todistamme sitten induktiivisten menetelmien avulla muutamia säilymislauseita, jotka auttavat vastaamaan kysymykseen siitä, mitkä klassisen logiikan ja matematiikan osat voidaan tehdä rakentaviksi
