A functional central limit theorem for recursive residuals and applications in asymptotic statistics

Abstract

Wir untersuchen Partialsummen von rekursiven Residuen, definieren einen rekursiven Partialsummenprozess und beweisen, dass dieser Prozess schwach gegen die Brownsche Bewegung konvergiert. Für nicht normalverteilte Fehler war der Grenzprozess bisher nur für Zeitreihenstichproben unter schwer überprüfbaren Annahmen oder im Falle von Dreiecksschemata von Designpunkten nur unter starken Annahmen an die Regressionsfunktionen bekannt. Zum ersten Mal bestimmen wir den Grenzprozess für Dreiecksschemata ohne die restriktive Annahme normalverteilter Fehler und unter sehr milden Annahmen an die Regressionsfunktionen (sie müssen linksstetig, von beschränkter Variation und linear unabhängig in Bezug auf die L2-Norm sein), die für praktische Anwendungen von großem Nutzen sind. Entscheidend für den Beweis sind Donskers Invarianzprinzip für Dreiecksschemata, eine Technik zur gleichzeitigen Faktorisierung einer Familie von Funktionen und Rubins berühmten Satz von der stetigen Abbildung. Unser Ansatz, der auf Rubins Satz basiert, erlaubt es uns außerdem, die Verteilung des Grenzprozesses unter lokalen Alternativen zu berechnen. Mit Hilfe dieser asymptotischen Ergebnisse sind wir dann in der Lage, asymptotische Tests zu definieren und zu untersuchen, und wir geben ein Beispiel für einen asymptotisch gleichmäßig besten Test. Außerdem geben wir eine Einführung in die Theorie der schwachen Konvergenz endlicher Maße und präsentieren diese klassischen Ergebnisse in einer allgemeineren Form als üblich. Wir betrachten Maße auf vollkommen normalen Räumen statt auf metrischen Räumen, und wir betrachten Filter von Maßen anstelle von Folgen von Maßen