Ljiljana Arambašić

Marija Kolarek

Croatian

Arambašić, Ljiljana

Kolarek, Marija

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

   29Napeti bazni okviriNapeti bazni okviriLjiljana Arambašić1 i Marija Kolarek2Sažetak: U ovom radu diskutiramo o nizovima vektora 1, , nv v   u prostoru 2V  koji imaju svojstvo da se svaki vektor 2v V  može zapisati u obliku 1 1( ) ( )n nAv v v v v v v         za neki 0.A  Takve nizove vektora nazivamo napetim baznim okvirima za 2 .V  Nakon toga navodimo osnovne pojmove i tvrdnje o općenitim baznim okvirima u konačnodimenzijskim prostorima.Ključne riječi: baza, ortonormirana baza, sustav izvodnica, bazni okvir, rekon-strukcija vektoraO napetim baznim vektorima u V 2Svima su nam dobro poznati vektori i i j prostora 2V  svih vektora ravnine – znamo da se svaki vektor iz 2V  može na jedinstven način napisati kao linearna kombinacija ovih dvaju vektora, to jest, svi vektori iz 2V  su oblika i j   za neke jedinstveno određene realne brojeve   i  . Pritom se skalari   i   mogu računati pomoću skalarnog produkta na 2V  koji je zadan formulom| | | | cos ,a b a b      gdje su | |a  i | |b duljine vektora a  i b, a   kut između njih. Lako se dobije da za zadani 2v V  imamo( ) ( ) .v v i i v j j       Postoje li, osim i i j, još neki vektori s ovim svojstvom? Jasno da postoje, npr. možemo uzeti i  i j , ali zapravo i svaka dva jedinična međusobno okomita vek-tora 1v  i 2v .Možemo li naći tri ili više vektora s ovim svojstvom? Preciznije, postoje li vektori 1, , nv v   za 3n  tako da1 1( ) ( )n nv v v v v v v         1Ljiljana Arambašić, PMF-Matematički odsjek Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb2Marija Kolarek, OŠ Eugena Kvaternika, Velika Gorica(1)(2)Poucak 77.indd   29 26.3.2019.   8:13:23Poučak 7730  vrijedi za sve 2v V ? (Pretpostavljat ćemo da je svaki od vektora 1, , nv v   različit od nulvektora.)Navedimo dva primjera.Primjer 1. Promotrimo  sljedeće vektore1 2 36 6 2 6 2, , .3 6 2 6 2v i v i j v i j         Ako je v i j  , onda je1 2 36 6 2 6 2, , ,3 6 2 6 2v v v v v v               i direktnim uvrštavanjem provjerimo da vrijedi1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) .v v v v v v v v v v              Primjer 2. Uzmimo sada vektore1 2 3 4, , , .v i v i j v j v i j            Ako je v i j  , onda je1 2 3 4, , , .v v v v v v v v               Tada je1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( ) 3 .v v v v v v v v v v v v v                   Iako vektori 1 2 3 4, , ,v v v v     ne zadovoljavaju (2), iz prethodne relacije vidimo da vektori1 2 3 43 3 3 3, , ,3 3 3 3v v v v   zadovoljavaju taj uvjet.Imajući na umu prethodni primjer, promatrat ćemo vektore 1, , nv v   koji zado-voljavaju relaciju koja je malo općenitija od (2), to jest vektore za koje postoji 0A  tako da za sve 2v V  vrijedi1 1( ) ( ) .n nAv v v v v v v         Ono što želimo jest dati jednu geometrijsku interpretaciju i karakterizaciju ova-kvih vektora.Neka su zadani vektori 1, , nv v  . Tada se svaki od njih može zapisati kao | | (cos sin ), 1, , ,k k k kv v i j k n      pri čemu je | |kv  duljina vektora kv , a k  kut koji taj vektor zatvara s pozitivnim dijelom x  osi, to jest s vektorom .i (3)Poucak 77.indd   30 26.3.2019.   8:13:24   31Uočimo da, ako (3) vrijedi za i i ,j onda zbog linearnosti vrijedi i za sve vektore v  iz 2V .Relacije2 2 21 1( ) (| | cos | | sin cos ),n nk k k k k k kk kAi i v v v i v j             2 2 21 1( ) (| | sin | | sin cos )n nk k k k k k kk kAj j v v v i v j             ekvivalentne su relacijama2 2 2 21 1(| | cos ) , (| | sin ) ,n nk k k kk kv A v A      21(| | sin cos ) 0,nk k kkv  što možemo sažeti u sljedeća dva zahtjeva:2 2 2 2 21 1 1(| | cos ) (| | sin ), (| | sin cos ) 0.n n nk k k k k k kk k kv v v           Još jedan ekvivalentan način da ovo zapišemo je sljedeći:2 21 1(| | cos2 ) 0, (| | sin2 ) 0.n nk k k kk kv v      Uočimo da ovaj račun možemo izvrtiti natrag, to jest ako vektori 1, , nv v   zado-voljavaju (4), onda oni zadovoljavaju (3) za neki 0.AUvedimo sada vektore2 2| | cos2 | | sin2 , 1, , .k k k k kw v i v j k n       Njih nazivamo dijagram vektorima pridruženim vektorima 1, , .nv v   Dakle, di-jagram vektor vektora v  je vektor čija je duljina 2| | ,v  a kut koji zatvara s pozitivnim dijelom osi apscisa dvostruko je veći (do na puni krug) od kuta koji vektor v  zatvara s pozitivnim dijelom osi apscisa.Prethodna diskusija daje nam sljedeći rezultat.Teorem 1. Vektori 21, , nv v V    zadovoljavaju (4) ako i samo ako njihovi dija-gram vektori 1, , nw w   zadovoljavaju1 0.nw w  Definicija 1. Niz vektora 21, , nv v V    koji zadovoljavaju (3) nazivamo napetim baznim okvirima za 2 ,V  te Parsevalovim baznim okvirima za 2V  ako je 1,A  to jest ako zadovoljavaju (2).(4)Napeti bazni okviriPoucak 77.indd   31 26.3.2019.   8:13:24Poučak 7732  Dakle, 21, , nv v V    čine napeti bazni okvir za 2V  ako i samo ako je zbroj pri-padnih dijagram vektora 1, , nw w   jednak nulvektoru.Na primjer, pogledajmo sljedeće vektore:1 2 31 3 1 3, , .2 2 2 2v i v i j v i j         Uočimo da su to vektori iz prvog primjera koje smo normirali. Na sljedećim sli-kama prikazani su vektori 1 2 3, ,v v v   , te pripadni dijagram vektori 1 2 3, ,w w w    i njihov zbroj:Kako je 1 2 3 0w w w     , prema teoremu 1 zaključujemo da se radi o napetom baznom okviru. Napomenimo da se bazni okvir 1 2 3, ,v v v    naziva jedinični Merce-des-Benz bazni okvir, a razlog za taj naziv je očit iz gornje slike. Sljedeća slika ilustrira vektore iz drugog primjera.Poucak 77.indd   32 26.3.2019.   8:13:24   33Navedimo još i primjer napetog baznog okvira prostora 2V  koji se sastoji od šest vektora, a čiji prikaz vidimo na slici ispod. Na prvi pogled nije očito da se radi o na-petom baznom okviru, no pogledamo li pripadne dijagram vektore i njihovu sumu, zaključujemo da je zaista riječ o napetom baznom okviru.Napomena 1. Uočimo da će dva vektora 1v  i 2v  zadovoljavati (3) ako i samo ako su dijagram vektori 1w  i 2w  međusobno suprotni vektori. No, tada se lako dobije da 1v  i 2v  moraju biti okomiti i jednakih duljina. Posebno, dva vektora zadovoljavaju (2) ako i samo ako oni čine ortonormiranu bazu.Za razmišljanje navodimo dva posebna slučaja.Zadatak 1. Što možemo zaključiti o četveročlanom napetom baznom okviru čiji su svi vektori jedinične duljine?Zadatak 2. Što možemo zaključiti o baznom okviru čiji su dijagram vektori dani sljedećom slikom?Napeti bazni okviriPoucak 77.indd   33 26.3.2019.   8:13:25Poučak 7734  Uočimo i to da nam teorem 1 daje način kako možemo konstruirati napeti bazni okvir za 2 .V  Naime, uzmemo li neke nenul vektore 1, , nw w   za koje vrijedi da je 1 0,nw w    te onda nađemo njihove “originale”, to jest vektore 1, , nv v   čiji su dijagram vektori upravo , ,w w  , onda će 1, , nv v   činiti napeti bazni okvir za V 2.Također, teorem 1 govori nam o nadopunjavanju zadanog niza vektora do nape-tog baznog okvira za V 2. Neka su nam zadani vektori 1, , nv v   koji ne zadovoljavaju (3) ni za koji 0.A  Tada to znači da je vektor1 1:n nw w w    različit od 0.Ako je 1nv  vektor čiji je dijagram vektor upravo 1nw , onda je jasno da 1 1, , ,n nv v v    čine napeti bazni okvir za V 2.Malo općenitijePojam baznih okvira definira se za mnogo širu klasu vektorskih prostora nego što je V2. Ovdje ćemo se ograničiti na konačnodimenzionalne unitarne prostore V. Pri-tom će nam ,v w   biti oznaka za skalarni produkt vektora ,v w V ,  a ,v v v  ＼＼  norma od v definirana pomoću tog skalarnog produkta.Definicija 2. Kažemo da vektori 1, , nv v  u unitarnom prostoru  V  čine bazni okvir unitarnog prostora V  ako postoje pozitivne konstante A  i B  takve da vrijediA v v v B v v Vkkn       2212≤ 〈 〉 ≤ ∀ ∈=∑ , , .Konstante A i B nazivamo donjom i gornjom  granicom baznog okvira. Ako je A = B, tada govorimo o napetom baznom okviru, odnosno Parsevalovom ako je A = B = 1.Brojeve 1, , , , nv v v v      nazivamo koeficijenti vektora v s obzirom na bazni okvir 1, , nv v .||  || =(5) || |||| ||Poucak 77.indd   34 26.3.2019.   8:13:29   35U svakom prostoru V možemo naći bazne okvire jer je svaka ortonormirana baza unitarnog prostora V jedan Parsevalov bazni okvir za V. Prisjetimo se da je orto-normirana baza prostora, po definiciji, ona baza prostora čiji su svi vektori jedinične duljine i međusobno su okomiti. Ako je zadana bilo koja baza, onda primjenjujući, na primjer, Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije dolazimo do ortonormirane baze.Nadalje, iz zadane ortonormirane baze možemo konstruirati nove bazne okvire za V.Primjer 3. Neka je 1, , me e  ortonormirana baza zaa V.Dodamo li ovoj ortonormiranoj bazi prvi vektor m puta, dobit ćemo niz vektora1 1 1 2 3,..., , , , ,..., ,me e e e e ekoji je bazni okvir za V. Zaista, za svaki v V  vrijedit će21111222 212222,, ,,( 1) .mkkmkkv v em v e v em v e vm v e vm v                 Prema tome, promatrani niz je bazni okvir za V s granicama 1 i 1m . Uočimo da su 1 i 1m  optimalne granice baznog okvira (optimalne u smislu da je 1 najveća donja, a 1m  najmanja gornja granica). Naime, za 1v e  na mjestu prve nejedna-kosti u prethodnom računu zapravo stoji jednakost, a za 2v e  na mjestu je druge nejednakosti prethodnog računa jednakost.Napomenimo još da smo u drugoj nejednakosti primijenili Cauchy-Schwarz-Bu-njakovskijevu nejednakost |áv, w ñ| ≤ ||v|| ||w|| koja vrijedi u svakom unitarnom pro-storu.Primjer 4. Neka je 1, , me e  ortonormirana baza od V. Niz vektora 1 1 2 2 3 3, , , , , , , ,m me e e e e e e e  je napet bazni okvir Hilbertovog prostora V s granicama 2.A B Primjer 5. Ako su 1, , mf f  i 1, , me e  dvije ortonormirane baze za V, onda nji-hova unija daje jedan napeti bazni okvir za V s granicama 2.Napeti bazni okviriPoucak 77.indd   35 26.3.2019.   8:13:29Poučak 7736  Uočimo da svaki konačan niz vektora 1, , nv v  zadovoljava desnu nejednakost u (5), naravno uz uvjet da barem jedan od ovih vektora nije nulvektor. Naime, prema Cauchy-Schwarz-Bunjakovskijevoj nejednakosti slijedi221 12  ,n nk kk kv v v v        za svaki v V , pa možemo uzeti 21nkkB v . Prema tome, naglasak je u postojanju donje granice (barem je tako u konačnodimenzionalnim slučajevima).Može se pokazati da vrijedi sljedeći teorem.Teorem 2. Konačan niz vektora 1, , nv v  u V je bazni okvir za V ako i samo ako je on sustav izvodnica za V.Jedno od najvažnijih svojstava baznih okvira sadržano je u sljedećem teoremu.Teorem 3. Neka je 1, , nv v  bazni okvir za V. Tada postoje vektori 1, , nw w  u V takvi da za sve v V  vrijedi1, .nk kkv v v wAko je 1, , nv v  napeti bazni okvir s granicom A, onda možemo uzeti 1, 1, , .k kw v k nA  Kažemo da vektori 1, , nw w  čine dualni bazni okvir baznog okvira 1, , nv v . Formulu (6) nazivamo rekonstrukcijskom formulom.To znači da se svaki vektor v V  može rekonstruirati na osnovi koeficijenata , , 1, , ,kv v k n     vektora v s obzirom na bazni okvir 1, , ,nv v  ako znamo neki nje-gov dualni bazni okvir  (općenito, dualni bazni okviri nisu jedinstveni).Sjetimo se da smo davno naučili da ortonormirane baze imaju ovo svojstvo. Na-ime, za ortonormiranu bazu 1, , me e  vrijedi1, , .mk kkv v e e v V   Zašto onda bazni okviri ako već imamo ortonormirane baze pomoću kojih mo-žemo rekonstruirati vektore?Odgovor ćemo pokušati dati bez ulaženja u detalje.  Kao što znamo, bazni okviri, stoga i ortonormirane baze, skupovi su izvodnica prostora. S druge strane, iz pret-(6)Poucak 77.indd   36 26.3.2019.   8:13:30   37hodnih primjera uočavamo da bazni okviri ne moraju biti linearno nezavisni sku-povi, dok ortonormirane baze to jesu. To znači da, ukoliko uklonimo neki vektor iz ortonormirane baze, ostatak vektora sigurno neće biti skup izvodnica prostora, pa se neki vektori prostora neće moći rekonstruirati pomoću preostalih vektora iz te baze. Kod baznih okvira (ukoliko nisu baze, to jest ako čine linearno zavisan skup) neki se vektori mogu ukloniti, a ono što ostane novi je skup izvodnica, to jest novi bazni okvir prostora, pa se i pomoću tih preostalih vektora može rekonstruirati svaki vektor prostora.Naravno, prethodno objašnjenje vjerojatno će proizvesti novo pitanje: zašto bi-smo uklanjali neki vektor iz baznog okvira ili ortonormirane baze?Bazni se okviri koriste pri prijenosu signala. Ako je v signal, onda se prvo taj si-gnal analizira, to jest izračunaju se koeficijenti , kv v   s obzirom na neki bazni okvir 1, , ,nv v  a nakon prijenosa se signal sintetizira, to jest primijeni se rekonstrukcijska formula (6) (s obzirom na neki dualni bazni okvir 1, , nw w ) kako bismo dobili si-gnal v.Međutim, pri prijenosu podataka neki se od koeficijenata , kv v   mogu oštetiti ili izgubiti. U tom je slučaju dobro ako se iz onih sačuvanih i neoštećenih podata-ka može rekonstruirati signal v. Ako smo za bazni okvir uzeli ortonormiranu bazu 1, , me e , onda gubljenje bilo kojeg od koeficijenata , kv e   može prouzročiti nemo-gućnost rekonstrukcije vektora.  Na primjer, ako je 1v e  i pri prijenosu podataka izgubljen je koeficijent 1, ,v e   onda se v neće moći rekonstruirati iz koeficijenata , , , ,v e v e      (koji svi iznose 0).S druge strane, ako imamo, na primjer, bazni okvir 1, , nv v  takav da je i 2 , , nv v  bazni okvir za V, onda signal v (za bilo koji v) možemo rekonstruirati i bez koeficijen-ta 1,v v  . Naime, ako je 2 , , nz z  dual baznog okvira  2 , , nv v , onda vrijedi2, ,nk kkv v z z  a za ovo nam očito ne treba koeficijent 1,v v  . Prema tome, kada govorimo o ukla-njanju vektora iz baznog okvira, onda zapravo mislimo na gubljenje određenih koe-ficijenata u formuli (6).Od interesa je konstruirati primjere baznih okvira koji imaju svojstvo da se ukla-njanjem raznih (jednog ili više) vektora očuva svojstvo razapinjanja prostora, to jest takvih da i ostatak vektora čine bazni okvir prostora. O konstrukciji takvih baznih vektora i načinima rekonstrukcije vektora pomoću “krnjeg” baznog okvira postoje mnogi znanstveni i stručni radovi (na primjer, vidjeti 1, 2, 3, 7).Napeti bazni okviriPoucak 77.indd   37 26.3.2019.   8:13:30Poučak 7738  Literatura1.  Lj. Arambašić, D. Bakić, Dual frames compensating for erasures, Glasnik matema-tički, 52(1) 2017., 131-146.2.  Lj. Arambašić, D. Bakić, Full spark frames and totally positive matrices, prihvaćeno u Linear and Multilinear Algebra3.  D. Han, W. Sun, Reconstruction of signals from frame coefficients with erasures at unknown locations, IEEE Trans. Inform. Theory 60 (2014.), no. 7, 4013-4025.4.  D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates, AMS, Pro-vidence, 2007.5.  K. Horvatić, Linearna algebra, Golden marketing – Tehnička knjiga, Zagreb, 2003.6.  M. Kolarek, Bazni okviri konačnodimenzionalnih Hilbertovih prostora, diplom-ski rad, PMF-Matematički odsjek, Sveučilište u Zagrebu, 2018. (mentor: Ljiljana Arambašić)7.  D. Larson, S. Scholze, Signal reconstruction from frame and sampling erasures, J. Fourier Anal. Appl. 21 (2015.), no. 5, 1146-1167.Poucak 77.indd   38 26.3.2019.   8:13:30

NAPETI BAZNI OKVIRI

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia