Simonyi, A.

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Periodica Polytechnica (Budapest University of Technology and Economics)

BERECHNUNG DER QUERSCHWINGUNGEN VON SCHIENENFAHRZEUGEN Von A. SnlONYI Lehrstuhl für Schienenfahrzeuge, Technische Universität Budapest (Eingegangen am 28. August 1971) Vorgelegt von Prof. Dr. K. HORV • .\.TH 1. Einleitung Die erhöhten Geschwindigkeiten im Eisenhahnverkehr erfordern die Lösung einer Reihe technischer Prohleme. Ein Teil derseihen hetrifft die Unter-suchungen, die dazu hestimmt sind, das Schwingungsverhalten des mit hoher Geschwindigkeit fahrenden Schienenfahrzeugs zu klären. Die Bewegungen der einzelnen Baugruppen (Wagenkasten, Drehgestellrahmen, Wiege, Radsatz usw.) heim Lauf lassen sich in Kenntnis des Fahrzeugs als Schwingungs-system mit einer endlichen Vielzahl der Freiheitsgrade und der Erregung dieses Systems hestimmen. Die Erregung des Fahrzeugs rührt von den Gleis-unehenheiten her; da diese aher sowohl hinsichtlich der Amplitude wie auch der Wellenlänge zufallshestimmt sind, scheint es zweckmäßig, die Erregung als stochastische Funktion der Zeit zu herücksichtigen. a(t) c, d f fk .Jfi, n x y ;v(t) W(jw) c[:Jyy(jw) c[:Jü(jw) c[:J,,(jw) rp(jw) T(jw) H(w) K(w) Z(jw) Z(jw) i. w C(t) Ht) 2. Bezeichnungen Beschleunigungsfunktion Sehnenlänge Frequenz Mittelfrequenz des Bandfilters Bandbreite des Bandfilters Häufigkeit Zeit Bewegung in Fahrtrichtung des Fahrzeugs Querbewegung des Fahrzeugs Gewichtsfunktion des Fahrzeugs als Linearsystem Übertragungscharakteristik des Fahrzeugs als Linearsystem Leistungsspektrum der Wagenkasten-Querschwingungen Leistungsspektrum der Erregung Leistungsspektrum der Sehnenhöhe ~hasencharakteristik des Sehnenhöhe-Meßgeräts Ubertragungscharakteristik des Sehnenhöhe-Meßgeräts Amplitudencharakteristik des Invertiersystems Amplitudencharakteristik des Sehnenhöhe-Meßgeräts Fouriertransformierte des Signals C(t) Fouriertransformierte des Signals ~(t) Wellenlänge der Schienenunebenheit Kreisfrequenz Sehnenhöhenfunktion Erregungsfunktion 74 A. SIJI01YYI 3. Berechnung der Querhewegungen des Wagenkastens Wird das Fahrzeug als lineares, invariantes System betrachtet, das in Querrichtung durch die aus Schienenrichtungsfehlern herrührenden, mit der Funktion ;(t) beschriebenen Gleisachsenunebenbeiten erregt wird (Abb. 1), läßt sich die Querbewegung y(t) des Wagenkastens aus der Beziehung y(t) = l/;(t) * ;(t) (1) bestimmen, die Querbewegung des Fahrzeugs wird also als Konvolution der Gewichtsfunktion w(t) und der Erregung ;(t) angeschrieben. Nach den bis-herigen Messungen darf die Erregungsfunktion ;(t) als stationär stochastisch aufgefaßt werden, daher ist für ihre Kennzeichnung die Autokorrelations-funktion bZ'L die Fouriertransformierte (das Leistungsspektrum) dieser Funktion am besten geeignet. Abb.l Das Leistungsspektrum der Querverschiebung des Wagenkastens wird aus der folgenden Beziehung ermittelt: ifJyy(jw) = W(j(J)) W( - jw) (2) da W(jw) = W( - jw) = i W(jw) '2 , gilt (3) 4. Verschiedene Verfahren zur Messung der Gleisunehenheiten Um das Leistungsspektrum der Erregung zu bestimmen, müssen die Gleisachsenunebenheiten infolge der Schienenrichtungsfehler in der Horizontal-ebene bekannt sein. Die Richtungsfehler der beiden Schienenstränge sind scheinbar unab-hängig voneinander, daher enstehen durch diese Maßabweichungen nicht nur in der Gleisachse sondern auch in der Spurweite. Die durchgeführten Messun-gen (1) zeigen jedoch, daß man die Spurweitenänderung den Richtungsfehlern der Gleisachse gegenüber vernachlässigen darf, damit läßt sich die Erregung des Fahrzeugs mit der Funktion ;(t), die die Richtungsfehler des beliebigen Schienenstranges enthält, kennzeichnen. QUERSCHWliYGU:YGE:Y VO;Y SCHIKYE.YFAHRZEUGE:Y 75 Bei dem gegenwärtigen Stand der Meßtechnik können wir die Richtungs-fehler direkt nicht messen; unter den obwaltenden Umständen ist nur eine indirekte Ermittlung möglich. Nach einer der indirekten Verfahren zur Bestimmung der Richtungs-fehler ist die durch die Gleisunebenheiten erzeugte Beschleunigung meßbar (Abb. 2); aus den Richtungsfehlern ergeben sich nämlich - selbst bei den realisierbaren Geschwindigkeiten - Verschiebungen mit so niedrigen Frequenz-bereichen, daß deren Messung mit der erforderlichen Genauigkeit unmöglich ist. (" Abb.2 In Kenntnis der gemessenen Funktion ~ (t) = a(t) läßt sich also ~(t) durch Doppelintegration bestimmen, also gilt ~(t) = SS a(t) dt dt. Unter Berücksichtigung des Umstands, daß auch die gemessene Funktion a(t) stochastisch zeitabhängig ist, stößt die Doppelintegrierung auf Schwierig-keiten, die daraus herrühren, daß sich bei der Doppelintegration der Funktion u(t) - da die Anfangsbedingungen unbekannt sind - doppelt unendlich viele y(t)-Funktionen ergeben. Wird angenommen, daß die Funktion a(t) einen stationär stochastischen Prozeß mit dem Mittelwert Null darstellt, so kann y(t) mit Hilfe eines Analogrechners mit gewisser Genauigkeit ermittelt werden. Eine andere Art der indirekten Messung des Richtungsfehlers erfolgt vom Oberbaumeßwagen aus, indem sich die beiden äußeren lVIeßwertgeber des auf dem W-agen angeordneten Meßbalkens gegebener Länge die Schienenleit-kante entlang he'wegen, wobei der Meßkopf auf dem Meßhalken den Abstand zwischen Sehne und Schienenleitkante, die Sehnenhöhe mißt. Ahh. 3 zeigt die beiden üblichsten Methoden zur Sehnenhöhenmessung. 76 A. SlJW:VYI 5. Beziehung z",ischen Sehnenhöhe und Gleisunehenheit Einer der allgemeinsten Fälle der Sehnenhöhenmessung ist in Abb. 3b zu sehen. Hier ermöglicht die mechanische Konstruktion des Meßgeräts, mit dem Schreiber den mathematischen Mittelwert zu registrieren, also (4) ~.-:1]~.-r = . =-~-x Abb.3 frx) c .f2 (.x) ~~--~---------------------O--~~~~~~------~X x-c x-d x x+d Abb.4 Die Beziehung zwischen der registrierten Sehnenhöhenfunktion ~(t) und der gesuchten Gleisunebenheits- (Erreger-) Funktion wird mit den Kurzbezeich-nungen in _A.hb. 4 durch folgende Zusammenhänge ausgedrückt: c-d c) - -- [~(x) - ~(x - c)] (5) c und ~2(X) = ~(x - c) - ~(x + d) + c + d [~(x) - ~(x - c)]. (6) c QUERSCHWINGUNGES VO.\" SCHIESES FAHRZEUGKY 77 Die Gleichungen (5) und (6) in (4.) eingesetzt, erhält man die Gleichung 1 r 2d 2d J ~(x) = . l~(x - d) ---L ~(x) - ~(x - c) - ~(x + d) . 2 c c (7) Da das für die Erregung kennzeichnende Leistungsspektrum bestimmt werden sollte, ist es zweckmäßig, die Beziehung zwischen der Gleisunebenheit ;(x) und der gemessenen Sehnenhöhe ;(x) auf die Spektren der Autokorre-lationsfunktionen dieser Funktionen zu beziehen. Unter der Voraussetzung einer lHeßgeschwindigkeit v 1 illjS sind die Funktionen :(x) und ;(x) mit den Zeitfllnktionen :(t) und ;(t) identiseh, daher wird die Beziehung zwischen den Leistungsspektren ihrer Autokorrelations·· funktionen dureh folgende Gleichung ausgedrückt: (8) U ill r(jw) , die Übertragungscharakteristik des :L\1eßgeräts, zu ermitteln, betrachten wir die Funktionen 2:(t) und ;(t) als Funktionen. deren Energie-spektrum existiert, damit läßt sieh (jw) aus der GI. Z(jw) = r(jw) . 5(jw) (9) bestimmen. Da Z(jw) = 8F ~(t) = J ~(t) e-jwldt (10) und +-(11) gelten und die Abstände c und d in GI. (7) wegen der Normierung t' 1 mj S als Zeiten betrachtet werden dürfen, läßt sich unter Anwendung der Gl. (7) folgender Zusammenhang anschreiben: Z(jco) d) 2d ~(t) c) ;(t (12) c Den Verschiebungssatz der Fouriertransformation angewandt, sehreihen Wir die GI. (12) wie folgt: (13) 78 A. SIJIONYI Wird aus der rechten Seite von GI. (13) der Ausdruck += ausgeklammert, dann erhält man Z(jw) = E(jw) [~e-jWd +.!!:-. _ d e-jwc _ 2 C C (14) Aus dieser GI. ergibt sich die Übertragungscharakteristik des Meßgeräts unter Berücksichtigung der GI. (9) zu F(jw) 2 (15) Da -jwc . . e = cos wc - ] Sin wc und j sin w d, nimmt die GI. (15) folgende Form an: F(jw) = ~ (1 - cos wc) -j (~ sin (J)C - sinwd) . (16) :N ach GI. (16) werden die Amplitude K(w) und die Phasencharakteristik (w) des Meßgeräts durch folgende Zusammenhänge ausgedrückt: K(w) und lf dz (1 - cos WC)2 c2 ( d ) 2 -;; sin (J)C - sin wd q:;(w) = arc tg (f sin wc - sin Wd) d - (1 - cos wd) C ( 17) 18) In ähnlicher Weise lassen sich auch die Amplituden und Phasencharak-teristiken der Meßgeräte symmetrischer Anordnung in Abb. 3a bestimmen. Die in Ungarn eingesetzten Meß"wagen mit den Betriebsnummern 950 und 150 sind symmetrischer, der Meßwagen mit der Betriebsnummer 163 ist QUERSCHWIlVGWYGElV VOl\" SCHIElVElVFAHRZEfJGElV 79 asymmetrischer Anordnung. Unter Berücksichtigung der auf diesen Meßwagen angewandten Sehnenlängen sind ihre Amplitudencharakteristiken in Abb. 5 dargestellt. 2,0 r-,""---"--"-r---""---"'----';'"'I 'I ,,------,--1 -,-1',--;1' Meßwagen. mit d.er Bet9rl5'eObsnummer j'/I: 'i i I f\ ! I \1 ' , K (w) ! \ I \ I I ' I \ I / ! i I 1,8 1 i \ i i' 11 I I I I I 1 ----150 ---163 i iI \i " \ i i: ~,I 1\ 1 I i I I I I I I I I 1,6 I' ! 11 ! \ i ~ I \1 \1 I I i I 1 i I I I / 1 ii 11 I I I i : I I I I ! i I 1,4 f---:o-/7-\. \ --t+! 1-\:+-11 -+~ --+~i~\-+I-+-+'or--+---+I----'-: --'-1--+1-1-1 -r-I -+1 -t-i +11 'I ! 1I ,I! I'. 1 I i I I I ! I : ; 1,2 / 11 i 'I I I 1 \ \ I I i I I i i : ! il I ! I I li I 1 \ i I I i i I ! 1,0 '/ . \ I ;::r ~\ I~ , \ \ I I I 1 I I i i i (li!!1 'f\ I \1 I I1 I 1 li 0,8~-~,T\~I,:~!/+-+'~I~~~~1 H1 rr-~~~!-~!, ~I~!~I-+~I+I~ /\ 1'1 li 11 1\1 1 1\ ~! I I o'S~'~f.UWI4~+\rl ~1-++I+N-r,ITI 7\-r.1\~1 ~-+-rrri I~ 1 J , l' \i ! I 1 f\. \ I ~. I 1 I 0,4~-~irl~,~' 1~;~!I~~/~-H~~~-ri\~I\~+I-+~1 ++ITn Ijl' ; I ! ! 1 1 N.".t I I 0.2 1J--+TI1 't-t+;: 7-, -'-I---1'-+--+--+--1 +++t--+--+I"''''~: ~c-1;""-~',+--, --'ji---t--+:-+--H 0,0 '---.1<.1 ..:.L->I ..... , -'-..l>~,-' -,--,---,--I ...l-i-....l...J.._-,---,-I--<-1 -ll_ ..... .l...rs:_-J...; s-t--,I...::_=! :t-:.,.I...... J.. = 2Tt [m) 1 1,5 2 3 I, 5 6 7 8910 15 20 30 1,0 50 100 w Abb.5 6. Bestimmung des Erregungsleistungsspektrums anhand des Sehnenhöhendiagramms In Kenntnis der Übertragungscharakteristik des Meßgeräts kann das Leistungsspektrum der Erregung ermittelt werden. Nach formaler Umordnung der GI. (8) ergibt sich das Erregungsleistungsspektrum aus (19) 80 A. SlJIOSY! Da • ruw) ;2 = 1(2(w) gilt (20) Bei K(w) 0 ist GI. (20) selbstverständlich nicht gedeutet, daher ist die Be-stimmung des Leistungsspektrums der Erregung mit Berücksichtigung der Amplitudencharakteristiken in Abb. 5 nur in einem bestimmten "\Vellenlängen-bzw. deme~tspreehenden Frequenzbereich möglich. Obwohl bei allen drei Meß-geräten die Amplitudencharakteristik bei wachsenden Wellenlängen asympto-tisch gegen Null geht, läßt sich eine hinreichende Genauigkeit unter Berück-sichtigung von GI. (20) nur erreichen, wenn die obere Grenze von J. für alle drei Meßeinrichtungen in 40 bis 50 m festgelegt wird. Die untere Grenze von i. ändert sich je nach Meßwagen, für den Meßwagen Betriebsnummer 163 beträgt sie 2 bis 2,5 m. N ach den vorigen Ausführungen wird das Leistungsspektrum der Erre-gung aus folgendf'm Zusammenhang bestimmt: <P~~(jw ) H2(OJ) <P,,(jw). (21) mit r 0, bei J. <-::: 2,5 H(w) = 1 bei 40>}. > 2,5 K(w) (22) O. hei I. ;;. 40 Nach den Zusammenhängen (21) und (22) werden die Erregungslei stungsspektren mit Hilfe der Messung des Lristungsspektrums der Sehnenhöhe berechnet. Einer der günstigsten Wege der Messung des Sehnenhöhen-Leistungs-spektrums ist, das der Sehnenhöhenfunktion analoge elektrische Signal durch einen Bandfilter durchzulassen und den quadratischen Mittelwert des durch-gelassenen Signals zu messen [3]. Den Erfahrungen gemäß weist dessen Ampli-tude starke Schwankungen auf, daher muß eine statistische Analyse durchge-führt werden. Dabei werden vom filtrierten Signal in äquidistanten Zeitpunkten Proben entnommen, die zweckmäßig in entsprechend gewählte Klassen einge-ordnet ·werden. Die Ergebnisse der Bandfiltration bzw. der statistischen Analysen in je einem Frequenzband "iurden" in der Tabelle auf S. 82 zusammengefaßt. QUERSCHWISGU,',GES FO.V SCHIENE,VFAHRZEUGES Abb. 6. Erregungsleistungsspektren (Auswertung der Messungen) , Strecke: GODISA = > KOllILO Abschnitt: 00100 = > 00160 linksseitiger Schienenstrang Filtration: TERCOKTAV Wellenlängebereich: 3.15-50.0 M Probeent;ahmefrequenz: 10.0 Hz Probenzahl: 100 Betriebsweise des :i'liveauschreibers: R.M.S. Leistungsspektrumsangaben der Amplitude :Mittelwcllenbcreich Amplitude linearer !lIittelwert pDIr~[J .. Amplitude quadrati-scher 2\1ittelwert [)ß!"2i)[] PI] 3.15 4.00 5.00 6.30 8.00 10.00 12.50 16.00 20.00 25.00 31.50 40.00 .634 .749 .912 .758 .562 .758 1.120 .993 1.129 1.179 1.032 .855 .434 .809 1.425 1.253 .870 1.884 4.789 4.588 6.739 8.788 8.987 7.270 Amplitude -- LeistnngsspektruIll 1 ] .25 MM .. " 21M }Ii t tel wellenherei c h [:\1] 3.15 ]] 4.00 ] J ] 5.00 ]]]]]] 6.30 ]]]] J 8.00 1]] 10.00 ]]] J J 1 ] 1 12.50 ]]]] J ] 11 ] ] 1 ] ] ] ] 1 J J J 16.00 1 J J 1111 ] 1 ] 11 ] 1 J 111 20.00 ]]] 11 J ] J 1 J J 1 J ] 1 ] J ] 1 1 J 1 ] ] ] ] ] 2~.00 ]]]]] J 11 ] J 11 ] J ] J ] ] J 1 11 J ] ] ] 1 ] 111 ] 1 ] 1 31.50 ]]]]] 11 ] J ] 1 ] 1 ] 1 ] 111 J ] 11 ] 1 ] 111 ] 1111 ] 1 40.00 ]] 11 ] 11111 ] ] 11111 ] 1 ] ] 111 ] ] 111 81 Unter Berücksichtigung des Umstands, daß die Bandbreite des Band-filters nicht unendlich schmal ist, wurde das Erregungsleistungsspektrum auf die Bandbreite 1 Hz bezogen für die zu der Mittelfrequenz fKl gehörenden Ordinatenwerte angeschrieben. Die einzelnen Leistungsspektrumordinaten werden aus folgender Formel ermittelt: (23) 6 p.riodiea Polytechnioa T. E. I/I 82 A. SIMO"Yl s.Iittelfrequenz der Bandfilter (Hz) fKI fK~ fKi fKll 'Kr "11 nl~ nil n 1n ~"'C ------~ T. _ ,~ ~.~ 'K'!. n:!l n::!:! n?i n 2Tl ~~ Z ;: ~~ .- --= ;-njl nj~ nji njn '" - 'Kj -' '" ~ ::: '" ~ 1:~ '" ~~ ~ ~ ~Km n m1 nm! nmi n mn Da die Bestimmung des Erregungsleistungsspektrums aus der Beziehung (23) einen großen Rechenaufwand erfordert, empfiehlt es sich, diese für einen Digitalrechner zu programmieren. Das Ergebnis der nach der im weiteren beschriebenen lVlethode durchgeführten Messung ist in Abb. 6 zu sehen. Die Darstellung des Erregungsleistungsspektrums mit Hilfe der Rechenanlage ermöglicht einen raschen Überblick. Zusammenfassung Wird das Schienenfahrzeug als lineares System aufgefaßt, läßt sich in Kenntnis des Erregungsleistungsspektrums das die Querschwingungen des Wagenkastens beschreibende Leistungsspektrum errechnen. .. Das Erregungsleistungsspektrum kann aus der Sehnenhähenfunktion in Kenntnis der Ubertragungscharakteristik der Sehnenmessung in einem beschränkten Wellenlängenbereich erstellt werden. Literatur 1. STASSEN, H. G.: Random lateral motion of Railway Vehicles. Doktorarbeit. Delft 1967. 2. SnIOl.'.-YI A.: Ausarbeitung eines Verfahrens zur Bestimmung der Querverschiebung-Zeit-Funktion der Eisenbahn-Radsatzachse.* Forschungsbericht 1969. 3. Frequency Analysis and Power Spectral Den;;ity Measurements. Brue I-Kjaer 1970. * In ungarischer Sprache. Dr. Alfred SIl\IONYI, 1502 Budapest, Postfach 91, Ungarn 

BERECHNUNG DER QUERSCHWINGUNGEN VON SCHIENENFAHRZEUGEN

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