En este trabajo hacemos una extensión de la métrica de Hausdorff H sobre C(Rn), el espacio de todos los conjuntos difusos cerrados en Rn,
obteniendo una familia de métricas Df. Estudiamos algunas propiedades
topológicas del espacio métrico (C(Rn), Df).Ministerio de Ciencia e InnovaciónComisión Nacional de Investigación Científica y Tecnológica (Chile)Fondo Nacional de Desarrollo Científico y Tecnológic

Chalco Cano, Yurilev

Jiménez Gamero, María Dolores

Revista Integración

RESUMEN 
En este trabajo hacemos una extensión de la métrica de Hausdorff  sobre C(Rn), el espacio de todos los conjuntos difusos cerrados en Rn, obteniendo una familia de métricas Df . Estudiamos algunas propiedades topológicas del espacio métrico C(Rn),Df. 


Chalco Cano, Y.

DIALNET

Una generalización de la métrica de Hausdorff sobre C(Rn)

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

∮Revista IntegraciónEscuela de MatemáticasUniversidad Industrial de SantanderVol. 27, No. 1, 2009, pág. 59–67Una generalización de la métrica de Hausdorffsobre C(Rn)Y. Chalco-Cano∗M.D. Jiménez-Gamero∗∗.Resumen. En este trabajo hacemos una extensión de la métrica de HausdorffH sobre C(Rn), el espacio de todos los conjuntos difusos cerrados en Rn,obteniendo una familia de métricas Df . Estudiamos algunas propiedadestopológicas del espacio métrico (C(Rn), Df ).1. IntroducciónExisten muchas formas de extender la métrica de HausdorffH para Fn, el espacio de to-dos los conjuntos difusos compactos y normales sobre el espacio euclidiano n-dimensionalRn (ver [6, 14]), es decir, el espacio de todos los conjuntos difusos cuyos niveles sonsubconjuntos compactos no vacíos de Rn. Por ejemplo, tenemos las métricas d∞, dp, con0 < p < ∞, las cuales son generadas a partir de los niveles de los conjuntos difusos yla métrica de Hausdorff H (ver [6, 13]). También, tenemos la métrica del sendógrafo ymétrica del endógrafo, generadas a partir de los sendógrafos, endógrafos de los conjuntosdifusos y la métrica H . En todos estos casos, necesariamente los niveles de los conjuntosdifusos son compactos y no vacíos.Recientemente, en [15] ha sido introducido una nueva familia de métricas para el espaciode conjuntos difusos compactos y convexos sobre el espacio Rn. Esta familia de métricas0Palabras y frases claves: Métrica de Hausdorff, conjunto difuso compacto, conjunto difuso cerrado.0MSC2000: 26E50, 46S400∗ Departamento de Matemática, Universidad de Tarapacá, Casilla 7D, Arica, Chile. e-mail :ychalco@uta.cl0∗∗ Departamento de Estadística e I.O., Universidad de Sevilla, 41012 Sevilla, Spain. e-mail :dolores@us.es5960 Y. Chalco-Cano & M.D. Jiménez-Gameroes una generalización de la métrica de Bertoluzza dw introducida en [2] para el espaciode intervalos difusos.Ahora, es muy importante el estudio de conjuntos difusos cuyos niveles no son ne-cesariamente compactos. Particularmente, es necesario estudiar el espacio de todos losconjuntos difusos cerrados C(Rn), es decir, el espacio de todos los conjuntos difusos cuyosniveles son subconjuntos cerrados en Rn, ver por ejemplo [8, 9, 10].En este trabajo definimos una familia de métricas Df para el espacio C(Rn). Tambiénmostramos que el espacio métrico (C(Rn), Df ) es completo.2. Conceptos básicosSea Kn el espacio de todos los subconjuntos compactos no vacíos de Rn. Denotaremospor H la métrica de Hausdorff sobre Kn definida porH(A,B) = ma´x{δ(A,B), δ(B,A)},para todo A,B ∈ Kn, donde δ(A,B) denota la semidistancia de Hausdorff (ver [1]). Esconocido que el espacio métrico (Kn, H) es completo y separable (ver [1]).Extendemos H a una métrica limitada h sobre Kn (incluyendo el conjunto vacío), comoh(A,B) =H(A,B)1 +H(A,B), si H(A,B) <∞,1, si H(A,B) =∞,admitiendo que δ(∅, A) = 0 para todo A ⊂ Rn y δ(A,∅) =∞ para todo subconjunto novacío A ⊂ Rn. Siendo así, tenemos que h es una métrica sobre Kn.La siguiente distancia de Hausdorff generalizada fue introducida en [11]. Para esto,consideramos x0 ∈ Rn un punto fijo. Sea f una función continua con valores reales talque f(t) > 0 para todo t ∈ [0,∞) y∫[0,∞)f(t)dt < ∞. Se define la distancia entre dossubconjuntos cerrados A y B de Rn porHf (A,B) =∫[0,∞)f(t)h(A ∩K(x0, t), B ∩K(x0, t))dt, (1)donde K(x0, t) = {x ∈ Rn : ‖x− x0‖ ≤ t} y ‖ · ‖ es el producto interno usual en Rn.Luego, Hf es una métrica sobre P(Rn), el espacio de todos los subconjuntos cerradosde Rn y el espacio métrico (P(Rn), Hf ) es compacto (ver [11]).[Revista IntegraciónUna generalización de la métrica de Hausdorff sobre C(Rn) 613. El espacio métrico (C(Rn), Df)Un conjunto difuso sobre Rn es una aplicación u : X → [0, 1]. Esto quiere decir quecada elemento x ∈ Rn tiene asociado un grado de pertenencia al conjunto difuso u encuestión y el cual es dado por 0 ≤ u(x) ≤ 1.Sea u un conjunto difuso sobre Rn; definimos por [u]α = {x ∈ Rn : u(x) ≥ α} el α-nivel(α-corte) de u, con 0 < α ≤ 1. Para α = 0 tenemos [u]0 = supp(u) = {x ∈ Rn : u(x) > 0},el soporte de u.Un conjunto difuso u sobre Rn es llamado (i) compacto si [u]α es compacto para todoα ∈ [0, 1], (ii) cerrado si [u]α es cerrado para todo α ∈ [0, 1], (iii) normal si existe x enRn tal que u(x) = 1. Nótese que si un conjunto difuso u es normal, quiere decir que losniveles [u]α son no vacíos, para α ∈ [0, 1].Denotemos por Fn el espacio de todos los conjuntos difusos, compactos y normalessobre Rn. Este espacio es el más importante en la teoría de los conjuntos difusos y hasido motivo de estudio para diversos autores y utilizado en los más diversos tópicos (verpor ejemplo [3, 4, 5, 7]).Existen varias formas de generalizar la métrica de Hausdorff H sobre Fn; podemoscitar las más usuales:d∞(u, v) = supα∈[0,1]H([u]α, [v]α),dp(u, v) =(∫ 10H([u]α, [v]α)pdα)1/p.Se sabe que el espacio métrico (Fn, d∞) es completo, más no es separable, y (Fn, dp) esseparable mas no completo (para detalles ver [6],[12],[14]).A continuación presentamos una familia de métricas para el espacio C(Rn), el espaciode todos los conjuntos difusos cerrados, es decir, la familia de conjuntos difusos u : Rn →[0, 1] cuyos niveles [u]α son conjuntos cerrados en Rn, para todo α ∈ [0, 1].Consideremos la distancia acotada entre dos conjuntos difusos compactos u, v comosiendoD(u, v) =d∞(u, v)1 + d∞(u, v). (2)Podemos verificar que D es una métrica en Fn.Definición 3.1. Sea x0 ∈ Rn un punto fijo. Sea f una función continua con valores realestal que f(t) > 0 para todo t ∈ [0,∞) y∫[0,∞) f(t)dt < ∞. Definimos la distancia entreVol. 27, No. 1, 2009]62 Y. Chalco-Cano & M.D. Jiménez-Gamerodos conjuntos difusos cerrados u y v porDf(u, v) =∫[0,∞)f(t)D(u ∩ χK(x0,t), v ∩ χK(x0,t))dt, (3)donde χK(x0,t) denota la función característica del conjunto K(x0, t).Proposición 3.2. (C(Rn, Df ) es un espacio métrico.Demostración. (i) Como Df (u, v) ≤∫[0,∞) f(t)dt <∞. Entonces,0 ≤ Df (u, v) <∞.(ii) Df(u, v) = 0 y f(t) > 0 ∀t ∈ [0,∞), implica queD(u ∩ χK(x0,t), v ∩ χK(x0,t)) = 0,para casi todo t ∈ [0,∞). Como D es una métrica, se sigue queu ∩ χK(x0,t) = v ∩ χK(x0,t),para casi todo t ∈ [0,∞). Consecuentemente, u = v.Recíprocamente, supongamos que u = v. EntoncesD(u ∩ χK(x0,t), v ∩ χK(x0,t)) = 0para todo t. Por tanto Df (u, v) = 0.(iii) Puesto queD(u ∩ χK(x0,t), v ∩ χK(x0,t)) = D(v ∩ χK(x0,t), u ∩ χK(x0,t)),para todo t, tenemos que Df (u, v) = Df (v, u).(iv) Como D es una métrica,D(u ∩ χK(x0,t), v ∩ χK(x0,t)) ≤ D(u ∩ χK(x0,t), w ∩ χK(x0,t))+D(w ∩ χK(x0,t), v ∩ χK(x0,t)),para todo t, se sigue de las propiedades de la integral queDf (u, v) ≤ Df (u,w) +Df (w, v).X[Revista IntegraciónUna generalización de la métrica de Hausdorff sobre C(Rn) 63A continuación debemos mostrar la relación entre la métrica Df y la métrica Hf .Lema 3.3. Sea g una función acotada definida sobre un subconjunto T de R con valoresen R y g(t) ≥ 0 para todo t ∈ T . Entoncessupt∈Tg(t)1 + g(t)=supt∈T g(t)1 + supt∈T g(t).Demostración. Puesto que para todo t ∈ T tenemos queg(t) ≤ supt∈Tg(t);entonces,1 +1supt∈T g(t)≤ 1 +1g(t),y por lo tanto1 + supt∈T g(t)supt∈T g(t)≤1 + g(t)g(t),g(t)1 + g(t)≤supt∈T g(t)1 + supt∈T g(t),supt∈Tg(t)1 + g(t)≤supt∈T g(t)1 + supt∈T g(t).Recíprocamente, para todo t ∈ T tenemos queg(t) =g(t)1 + g(t)(1 + g(t)).Entonces,supt∈Tg(t) = supt∈T(g(t)1 + g(t)(1 + g(t)))≤ supt∈T(g(t)1 + g(t))supt∈T(1 + g(t)).Lo que completa la prueba del Lema. XCorolario 3.4. Sea x0 ∈ Rn un punto fijo. Sea f una función continua con valores realestal que f(t) > 0 para todo t ∈ [0,∞) y∫[0,∞)f(t)dt <∞.EntoncesDf(u, v) = supα∈[0,1]Hf ([u]α, [v]α), (4)para todo u, v ∈ C(Rn).Vol. 27, No. 1, 2009]64 Y. Chalco-Cano & M.D. Jiménez-GameroDemostración. Es una consecuencia del Lema 3.3 y de (1). XTeorema 3.5. El espacio métrico (C(Rn), Df ) es completo.Demostración. Sea {un : n ≥ 1} una sucesión de Cauchy en C(Rn). Entonces un∩χK(x0,t)es una sucesión de Cauchy en Fn para cada t ∈ [0,∞). Luego, por la completitud delespacio métrico (Fn, d∞), existe ut ∈ Fn tal queun ∩ χK(x0,t)d∞→ ut.Se sigue de allí que[un]α ∩K(x0, t)H→ [ut]α ∈ Kn ∀t ∈ [0,∞).Consecuentemente,[un]α ∩K(x0, t)h→ [ut]α ∈ Kn ∀t ∈ [0,∞). (5)Por otro lado, [un]α es una sucesión de Cauchy en P(Rn). Luego, como el espaciométrico (P(Rn), Hf ) es compacto, este es completo, por lo que existe un conjunto cerradoMα ∈ P(Rn) tal que[un]α Hf→ Mα.Consecuentemente,[un]α ∩K(x0, t)h→Mα ∩K(x0, t) (6)para casi todo t ∈ [0,∞). Se sigue de (5) y (6) que[ut]α =Mα ∩K(x0, t), (7)para casi todo t ∈ [0,∞).Ahora, consideremos la familia {Mα}α∈[0,1]. Esta familia verifica:(i) Sea 0 ≤ β ≤ α ≤ 1. Dado que ut es un conjunto difuso, sigue de (7) que Mα ∩K(x0, t) ⊂Mβ ∩K(x0, t) para casi todo t ∈ [0,∞). Por tantoMα ⊂Mβ.(ii) Sea αn una sucesión no decreciente tal que αn → α. Considerando que ut es unconjunto difuso y tomando en cuenta (7), tenemos queMα ∩K(x0, t) =∞⋂n=1(Mαn⋂K(x0, t))=(∞⋂n=1Mαn)∩K(x0, t),[Revista IntegraciónUna generalización de la métrica de Hausdorff sobre C(Rn) 65para casi todo t ∈ [0,∞). Por tanto, Mα =⋂∞n=1Mαn .Luego, la familia {Mα}α∈[0,1] satisface las condiciones del Teorema de Representaciónde Negoita & Ralescu [6], por lo que existe un conjunto difuso u : Rn → [0, 1] tal que[u]α = Mα,para todo α ∈ [0, 1] y[un]α Hf→ Mα.Ahora veamos que unDf→ u. Sea ǫ > 0. Entonces, dado que {un} es una sucesión deCauchy, existe nǫ tal que si m,n > nǫ,Df(un, um) < ǫ.Sea n > nǫ fijo. Entonces,Hf ([un]α, [u]α) = l´ımm→∞Hf ([un]α, [um]α)≤ l´ımm→∞ supα>0Hf ([un]α, [um]α)= l´ımm→∞Df (un, um) < ǫ.De esta manera, supα>0Hf ([un]α, [u]α) ≤ ǫ, es decir, Df (un, u) < ǫ para n > nǫ. Lo quecompleta la prueba. X4. ConclusionesEn este trabajo hemos introducido una familia de métricas Df para el espacio C(Rn).Hemos mostrado que este espacio con la familia de métricas Df es un espacio métricocompleto.En futuros trabajos, investigaremos otras propiedades topológicas del espacio métrico(C(Rn), Df), particularmente, debemos estudiar la compacidad y la separabibilidad deeste espacio. También estudiaremos la relación que existe con otras métricas, por ejemplo,saber si la topología generada por esta familia de métricas es la misma topología cuandose usan otras métricas.AgradecimientosEste artículo ha sido financiado por el Ministerio de Ciencia e Innovación, España,proyecto MTM2008-00018 y Conicyt-Chile por proyecto Fondecyt 1080438.Vol. 27, No. 1, 2009]66 Y. Chalco-Cano & M.D. Jiménez-GameroReferencias[1] J.P. Aubin and A. Cellina. Differential Inclusions, Springer- Verleg, New york Tokyo,1984.[2] C. Bertoluzza, N. Corral, A. Salas. “On new class of distances between fuzzy numbers”,Mathware Soft Computing, 2 (1995) 71-84.[3] S. Barro and R. Marín. Fuzzy Logic in Medicine, Heidelberg: Physica-Verlag, 2002.[4] Y. Chalco-Cano and H. Román-Flores. “On the new solution of fuzzy differentialequations”, Chaos, Solitons & Fractals, 38 (2008) 112-119.[5] D.P. Datta. “The Golden mean, scale free extension of real number system, fuzzysets and 1/f spectrum in physics and biology”, Chaos, Solitons& Fractals, 17 (2003)781-788.[6] P. Diamond and P. Kloeden. Metric Space of Fuzzy Sets:Theory and Application,Singapure World Scientific, 1994.[7] M. Hanss. Applied Fuzzy Arithmetic: An Introduction with Engineering Applications,Springer Verlag, Berlin, 2005.[8] F. Hiai. “Strong laws of large numbers for multivalued random variables, Multifun-ctions and Integrands” (G. Salinetti, ed.), Lecture Notes in Math., vol. 1091, Springer-Berlag, (1984) 160-172.[9] F. Hiai. “Convergence of conditional expectations and strong laws of large numbersfor multivalued random variables”, Trans. Amer. Math. Soc., 291 (1985) 613-627.[10] C. Hess. “The distribution of Unbounded Random Sets and the Multivalued StrongLaw of Large Numbers in Nonreflexive Banach Spaces”, J. Convex Anal., 6 (1999)163-182.[11] S.P. Moshokoa. “The Hausdorff metric and its extensions”, Demostratio Mathema-tica, Vol XXXV,No 2 (2002) 233-241.[12] E.P. Klement, M.L. Puri and D.A. Ralescu. “Limit theorems for fuzzy random va-riables”, Proc. R. Soc. Lond., A-407 (1986) 171-182.[13] V. Kratschmer. “Some complete metrics on spaces of fuzzy subsets”, Fuzzy Sets andSystems, 130 (2002) 357-365.[14] M.L. Puri, D.A. Ralescu. “Fuzzy random variables”, J. Math. Anal. Appl. 114 (1986)409-422.[15] W. Trutschnig, G. González-Rodríguez, A. Colubi, M.A. Gil. “A new family of me-trics for compact, convex (fuzzy) sets based on a generalized concept of mid andspread”, Infromation Sciences (2009).[Revista IntegraciónUna generalización de la métrica de Hausdorff sobre C(Rn) 67(Recibido el 10 de octubre de 2009; aceptado el 15 de noviembre de 2009)Y. Chalco-CanoDepartamento de MatemáticaUniversidad de TarapacáCasilla 7D, Arica, Chilee-mail : ychalco@uta.clM.D. Jiménez-GameroDepartamento de Estadística e I.O.Universidad de Sevilla41012 Sevilla, Españae-mail : dolores@us.esVol. 27, No. 1, 2009]

En este trabajo hacemos una extensión de la métrica de Hausdorff

H sobre C(R

n), el espacio de todos los conjuntos difusos cerrados en R

n,

obteniendo una familia de métricas Df . Estudiamos algunas propiedades

topológicas del espacio métrico (C(R

n

), Df )

Y. Chalco-Cano

M.D. Jiménez-Gamero

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En este trabajo hacemos una extensión de la métrica de Hausdorff H sobre C(Rn ), el espacio de todos los conjuntos difusos cerrados en Rn , obteniendo una familia de métricas Df . Estudiamos algunas propiedades topológicas del espacio métrico (C(Rn ), Df )

En este trabajo hacemos una extensión de la métrica de Hausdorff  sobre C(Rn), el espacio de todos los conjuntos difusos cerrados en Rn, obteniendo una familia de métricas Df . Estudiamos algunas propiedades topológicas del espacio métrico C(Rn),Df

M. D. Jiménez-Gamero

∮Revista IntegraciónEscuela de MatemáticasUniversidad Industrial de SantanderVol. 27, No. 1, 2009, pág. 59–67Una generalización de la métrica de Hausdorffsobre C(Rn)Y. Chalco-Cano∗M.D. Jiménez-Gamero∗∗.Resumen. En este trabajo hacemos una extensión de la métrica de HausdorffH sobre C(Rn), el espacio de todos los conjuntos difusos cerrados en Rn,obteniendo una familia de métricas Df . Estudiamos algunas propiedadestopológicas del espacio métrico (C(Rn), Df ).1. IntroducciónExisten muchas formas de extender la métrica de Hausdorff H para Fn, el espacio de to-dos los conjuntos difusos compactos y normales sobre el espacio euclidiano n-dimensionalRn (ver [6, 14]), es decir, el espacio de todos los conjuntos difusos cuyos niveles sonsubconjuntos compactos no vacíos de Rn. Por ejemplo, tenemos las métricas d∞, dp, con0 < p < ∞, las cuales son generadas a partir de los niveles de los conjuntos difusos yla métrica de Hausdorff H (ver [6, 13]). También, tenemos la métrica del sendógrafo ymétrica del endógrafo, generadas a partir de los sendógrafos, endógrafos de los conjuntosdifusos y la métrica H . En todos estos casos, necesariamente los niveles de los conjuntosdifusos son compactos y no vacíos.Recientemente, en [15] ha sido introducido una nueva familia de métricas para el espaciode conjuntos difusos compactos y convexos sobre el espacio Rn. Esta familia de métricas0Palabras y frases claves: Métrica de Hausdorff, conjunto difuso compacto, conjunto difuso cerrado.0MSC2000: 26E50, 46S400∗ Departamento de Matemática, Universidad de Tarapacá, Casilla 7D, Arica, Chile. e-mail :ychalco@uta.cl0∗∗ Departamento de Estadística e I.O., Universidad de Sevilla, 41012 Sevilla, Spain. e-mail :dolores@us.es5960 Y. Chalco-Cano & M.D. Jiménez-Gameroes una generalización de la métrica de Bertoluzza dw introducida en [2] para el espaciode intervalos difusos.Ahora, es muy importante el estudio de conjuntos difusos cuyos niveles no son ne-cesariamente compactos. Particularmente, es necesario estudiar el espacio de todos losconjuntos difusos cerrados C(Rn), es decir, el espacio de todos los conjuntos difusos cuyosniveles son subconjuntos cerrados en Rn, ver por ejemplo [8, 9, 10].En este trabajo definimos una familia de métricas Df para el espacio C(Rn). Tambiénmostramos que el espacio métrico (C(Rn), Df ) es completo.2. Conceptos básicosSea Kn el espacio de todos los subconjuntos compactos no vacíos de Rn. Denotaremospor H la métrica de Hausdorff sobre Kn definida porH(A,B) = máx{δ(A,B), δ(B,A)},para todo A,B ∈ Kn, donde δ(A,B) denota la semidistancia de Hausdorff (ver [1]). Esconocido que el espacio métrico (Kn, H) es completo y separable (ver [1]).Extendemos H a una métrica limitada h sobre Kn (incluyendo el conjunto vacío), comoh(A,B) =H(A,B)1 +H(A,B), si H(A,B) < ∞,1, si H(A,B) = ∞,admitiendo que δ(∅, A) = 0 para todo A ⊂ Rn y δ(A,∅) = ∞ para todo subconjunto novacío A ⊂ Rn. Siendo así, tenemos que h es una métrica sobre Kn.La siguiente distancia de Hausdorff generalizada fue introducida en [11]. Para esto,consideramos x0 ∈ Rn un punto fijo. Sea f una función continua con valores reales talque f(t) > 0 para todo t ∈ [0,∞) y∫[0,∞)f(t)dt < ∞. Se define la distancia entre dossubconjuntos cerrados A y B de Rn porHf (A,B) =∫[0,∞)f(t)h(A ∩K(x0, t), B ∩K(x0, t))dt, (1)donde K(x0, t) = {x ∈ Rn : ‖x− x0‖ ≤ t} y ‖ · ‖ es el producto interno usual en Rn.Luego, Hf es una métrica sobre P(Rn), el espacio de todos los subconjuntos cerradosde Rn y el espacio métrico (P(Rn), Hf ) es compacto (ver [11]).[Revista IntegraciónUna generalización de la métrica de Hausdorff sobre C(Rn) 613. El espacio métrico (C(Rn), Df)Un conjunto difuso sobre Rn es una aplicación u : X → [0, 1]. Esto quiere decir quecada elemento x ∈ Rn tiene asociado un grado de pertenencia al conjunto difuso u encuestión y el cual es dado por 0 ≤ u(x) ≤ 1.Sea u un conjunto difuso sobre Rn; definimos por [u]α = {x ∈ Rn : u(x) ≥ α} el α-nivel(α-corte) de u, con 0 < α ≤ 1. Para α = 0 tenemos [u]0 = supp(u) = {x ∈ Rn : u(x) > 0},el soporte de u.Un conjunto difuso u sobre Rn es llamado (i) compacto si [u]α es compacto para todoα ∈ [0, 1], (ii) cerrado si [u]α es cerrado para todo α ∈ [0, 1], (iii) normal si existe x enRn tal que u(x) = 1. Nótese que si un conjunto difuso u es normal, quiere decir que losniveles [u]α son no vacíos, para α ∈ [0, 1].Denotemos por Fn el espacio de todos los conjuntos difusos, compactos y normalessobre Rn. Este espacio es el más importante en la teoría de los conjuntos difusos y hasido motivo de estudio para diversos autores y utilizado en los más diversos tópicos (verpor ejemplo [3, 4, 5, 7]).Existen varias formas de generalizar la métrica de Hausdorff H sobre Fn; podemoscitar las más usuales:d∞(u, v) = supα∈[0,1]H([u]α, [v]α),dp(u, v) =(∫ 10H([u]α, [v]α)pdα)1/p.Se sabe que el espacio métrico (Fn, d∞) es completo, más no es separable, y (Fn, dp) esseparable mas no completo (para detalles ver [6],[12],[14]).A continuación presentamos una familia de métricas para el espacio C(Rn), el espaciode todos los conjuntos difusos cerrados, es decir, la familia de conjuntos difusos u : Rn →[0, 1] cuyos niveles [u]α son conjuntos cerrados en Rn, para todo α ∈ [0, 1].Consideremos la distancia acotada entre dos conjuntos difusos compactos u, v comosiendoD(u, v) =d∞(u, v)1 + d∞(u, v). (2)Podemos verificar que D es una métrica en Fn.Definición 3.1. Sea x0 ∈ Rn un punto fijo. Sea f una función continua con valores realestal que f(t) > 0 para todo t ∈ [0,∞) y∫[0,∞) f(t)dt < ∞. Definimos la distancia entreVol. 27, No. 1, 2009]62 Y. Chalco-Cano & M.D. Jiménez-Gamerodos conjuntos difusos cerrados u y v porDf(u, v) =∫[0,∞)f(t)D(u ∩ χK(x0,t), v ∩ χK(x0,t))dt, (3)donde χK(x0,t) denota la función característica del conjunto K(x0, t).Proposición 3.2. (C(Rn, Df ) es un espacio métrico.Demostración. (i) Como Df (u, v) ≤∫[0,∞) f(t)dt < ∞. Entonces,0 ≤ Df (u, v) < ∞.(ii) Df(u, v) = 0 y f(t) > 0 ∀t ∈ [0,∞), implica queD(u ∩ χK(x0,t), v ∩ χK(x0,t)) = 0,para casi todo t ∈ [0,∞). Como D es una métrica, se sigue queu ∩ χK(x0,t) = v ∩ χK(x0,t),para casi todo t ∈ [0,∞). Consecuentemente, u = v.Recíprocamente, supongamos que u = v. EntoncesD(u ∩ χK(x0,t), v ∩ χK(x0,t)) = 0para todo t. Por tanto Df (u, v) = 0.(iii) Puesto queD(u ∩ χK(x0,t), v ∩ χK(x0,t)) = D(v ∩ χK(x0,t), u ∩ χK(x0,t)),para todo t, tenemos que Df (u, v) = Df (v, u).(iv) Como D es una métrica,D(u ∩ χK(x0,t), v ∩ χK(x0,t)) ≤ D(u ∩ χK(x0,t), w ∩ χK(x0,t))+D(w ∩ χK(x0,t), v ∩ χK(x0,t)),para todo t, se sigue de las propiedades de la integral queDf (u, v) ≤ Df (u,w) +Df (w, v).X[Revista IntegraciónUna generalización de la métrica de Hausdorff sobre C(Rn) 63A continuación debemos mostrar la relación entre la métrica Df y la métrica Hf .Lema 3.3. Sea g una función acotada definida sobre un subconjunto T de R con valoresen R y g(t) ≥ 0 para todo t ∈ T . Entoncessupt∈Tg(t)1 + g(t)=supt∈T g(t)1 + supt∈T g(t).Demostración. Puesto que para todo t ∈ T tenemos queg(t) ≤ supt∈Tg(t);entonces,1 +1supt∈T g(t)≤ 1 +1g(t),y por lo tanto1 + supt∈T g(t)supt∈T g(t)≤1 + g(t)g(t),g(t)1 + g(t)≤supt∈T g(t)1 + supt∈T g(t),supt∈Tg(t)1 + g(t)≤supt∈T g(t)1 + supt∈T g(t).Recíprocamente, para todo t ∈ T tenemos queg(t) =g(t)1 + g(t)(1 + g(t)).Entonces,supt∈Tg(t) = supt∈T(g(t)1 + g(t)(1 + g(t)))≤ supt∈T(g(t)1 + g(t))supt∈T(1 + g(t)).Lo que completa la prueba del Lema. XCorolario 3.4. Sea x0 ∈ Rn un punto fijo. Sea f una función continua con valores realestal que f(t) > 0 para todo t ∈ [0,∞) y∫[0,∞)f(t)dt < ∞.EntoncesDf(u, v) = supα∈[0,1]Hf ([u]α, [v]α), (4)para todo u, v ∈ C(Rn).Vol. 27, No. 1, 2009]64 Y. Chalco-Cano & M.D. Jiménez-GameroDemostración. Es una consecuencia del Lema 3.3 y de (1). XTeorema 3.5. El espacio métrico (C(Rn), Df ) es completo.Demostración. Sea {un : n ≥ 1} una sucesión de Cauchy en C(Rn). Entonces un∩χK(x0,t)es una sucesión de Cauchy en Fn para cada t ∈ [0,∞). Luego, por la completitud delespacio métrico (Fn, d∞), existe ut ∈ Fn tal queun ∩ χK(x0,t)d∞→ ut.Se sigue de allí que[un]α ∩K(x0, t)H→ [ut]α ∈ Kn ∀t ∈ [0,∞).Consecuentemente,[un]α ∩K(x0, t)h→ [ut]α ∈ Kn ∀t ∈ [0,∞). (5)Por otro lado, [un]α es una sucesión de Cauchy en P(Rn). Luego, como el espaciométrico (P(Rn), Hf ) es compacto, este es completo, por lo que existe un conjunto cerradoMα ∈ P(Rn) tal que[un]α Hf→ Mα.Consecuentemente,[un]α ∩K(x0, t)h→ Mα ∩K(x0, t) (6)para casi todo t ∈ [0,∞). Se sigue de (5) y (6) que[ut]α = Mα ∩K(x0, t), (7)para casi todo t ∈ [0,∞).Ahora, consideremos la familia {Mα}α∈[0,1]. Esta familia verifica:(i) Sea 0 ≤ β ≤ α ≤ 1. Dado que ut es un conjunto difuso, sigue de (7) que Mα ∩K(x0, t) ⊂ Mβ ∩K(x0, t) para casi todo t ∈ [0,∞). Por tantoMα ⊂ Mβ.(ii) Sea αn una sucesión no decreciente tal que αn → α. Considerando que ut es unconjunto difuso y tomando en cuenta (7), tenemos queMα ∩K(x0, t) =∞⋂n=1(Mαn⋂K(x0, t))=(∞⋂n=1Mαn)∩K(x0, t),[Revista IntegraciónUna generalización de la métrica de Hausdorff sobre C(Rn) 65para casi todo t ∈ [0,∞). Por tanto, Mα =⋂∞n=1 Mαn .Luego, la familia {Mα}α∈[0,1] satisface las condiciones del Teorema de Representaciónde Negoita & Ralescu [6], por lo que existe un conjunto difuso u : Rn → [0, 1] tal que[u]α = Mα,para todo α ∈ [0, 1] y[un]α Hf→ Mα.Ahora veamos que unDf→ u. Sea ǫ > 0. Entonces, dado que {un} es una sucesión deCauchy, existe nǫ tal que si m,n > nǫ,Df(un, um) < ǫ.Sea n > nǫ fijo. Entonces,Hf ([un]α, [u]α) = ĺımm→∞Hf ([un]α, [um]α)≤ ĺımm→∞ supα>0Hf ([un]α, [um]α)= ĺımm→∞Df (un, um) < ǫ.De esta manera, supα>0 Hf ([un]α, [u]α) ≤ ǫ, es decir, Df (un, u) < ǫ para n > nǫ. Lo quecompleta la prueba. X4. ConclusionesEn este trabajo hemos introducido una familia de métricas Df para el espacio C(Rn).Hemos mostrado que este espacio con la familia de métricas Df es un espacio métricocompleto.En futuros trabajos, investigaremos otras propiedades topológicas del espacio métrico(C(Rn), Df), particularmente, debemos estudiar la compacidad y la separabibilidad deeste espacio. También estudiaremos la relación que existe con otras métricas, por ejemplo,saber si la topología generada por esta familia de métricas es la misma topología cuandose usan otras métricas.AgradecimientosEste artículo ha sido financiado por el Ministerio de Ciencia e Innovación, España,proyecto MTM2008-00018 y Conicyt-Chile por proyecto Fondecyt 1080438.Vol. 27, No. 1, 2009]66 Y. Chalco-Cano & M.D. Jiménez-GameroReferencias[1] J.P. Aubin and A. Cellina. Differential Inclusions, Springer- Verleg, New york Tokyo,1984.[2] C. Bertoluzza, N. Corral, A. 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En este trabajo hacemos una extensión de la métrica de Hausdorff &nbsp;sobre C(Rn), el espacio de todos los conjuntos difusos cerrados en Rn, obteniendo una familia de métricas Df . Estudiamos algunas propiedades topológicas del espacio métrico C(Rn),Df.&nbsp;
&nbsp

Chalco-Cano, Y.

Jiménez-Gamero, M. D.

Universidad Industrial de Santander: Revistas Institucionales UIS

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Una generalización de la métrica de Hausdorff sobre C(Rn)

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