En este artículo presentamos una caracterización de los números polares (o no lagunas) del lugar infinito en el cuerpo de funciones hermitia- nas. Más aún, mostraremos que en dicho cuerpo de funciones los números polares de P∞ determinan una base explícita para el espacio vectorial aso- ciado al divisor mP∞ 

Wilson Olaya León

In this paper we present a description of pole numbers (or no-gaps) of the infinite place in the hermitian function field. Moreover, we show that in this function field, the pole numbers determine one explicit base for the vector space associated with the divisor mP∞.
 
 En este artículo presentamos una caracterización de los números polares (o no lagunas) del lugar infinito en el cuerpo de funciones hermitia-nas. Más aún, mostraremos que en dicho cuerpo de funciones los números polares de P∞ determinan una base explícita para el espacio vectorial aso­ciado al divisor mP∞.
 
 


Olaya, Wilson

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Números polares de P∞ en el cuerpo de funciones hermitianas

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Números polares de P  en el cuerpo de funciones hermitianas

En este artículo presentamos una caracterización de los números polares (o no lagunas) del lugar infinito en el cuerpo de funciones hermitia-nas. Más aún, mostraremos que en dicho cuerpo de funciones los números polares de P∞ determinan una base explícita para el espacio vectorial aso­ciado al divisor mP∞

∮Revista IntegraciónEscuela de MatemáticasUniversidad Industrial de SantanderVol. 26, No. 2, 2008, pág. 117–121Números polares de P∞ en el cuerpo defunciones hermitianasWilson Olaya León∗Resumen. En este artículo presentamos una caracterización de los númerospolares (o no lagunas) del lugar infinito en el cuerpo de funciones hermitia-nas. Más aún, mostraremos que en dicho cuerpo de funciones los númerospolares de P∞ determinan una base explícita para el espacio vectorial aso-ciado al divisor mP∞.Abstract. In this paper we present a description of pole numbers (or no-gaps) of the infinite place in the hermitian function field. Moreover, weshow that in this function field, the pole numbers determine one explicitbase for the vector space associated with the divisor mP∞.1. IntroducciónUn tema actual de investigación en la teoría de cuerpos de funciones algebraicas consisteen encontrar bases explícitas para el espacio vectorial asociado a un divisor arbitrario.Esto repercute, en la teoría de códigos correctores de errores, en la necesidad de estableceralgoritmos de decodificación para los códigos geométricos de Goppa, lo cual a sido unade las limitaciones para la implementación de esos códigos lineales, ver [1]. En el caso delcuerpo de funciones hermitianas, mostramos en este trabajo que los números polares deP∞ determinan una base explícita del espacio vectorial L(mP∞).0Palabras y frases claves: Números polares, lagunas de Weierstrass, cuerpo de funciones hermitianas.Key words: Pole numbers, Weierstrass’s gaps, Hermitian function field.0MSC2000: Primaria: 14H05. Secundaria: 11R58, 11T71.0∗ Universidad Industrial de Santander UIS, A.A. 678, Bucaramanga-Colombia,e-mail : wolaya@uis.edu.co117Números polares de P∞ en el cuerpo de funciones hermitianas 119de D (por lo general el lugar infinito). Estos códigos se conocen como códigos sobre unlugar, ver [3].Pensando en esto, es de interés determinar los elementos en F que tienen solamente unpolo en el lugar infinito de H/Fq2 . En general, para cualquier lugar de un cuerpo defunciones algebraicas se establece la siguiente definición.Definición 3.1. Sea P un lugar de F/Fq. Un entero n ≥ 0 se denomina número polar deP si, y solo si, existe un elemento z ∈ F con (z)∞ = nP . En cualquier otro caso se diceque n es un número laguna de P .Observe que n es un número polar de P si, y solo si, L ((n − 1)P ) ⊂ L(nP ). En conse-cuencia, L ((n − 1)P ) = L(nP ) si, y solo si, n es un número laguna de P .4. Resultado principalHagamos H(P∞) := {n ≥ 0 : n es un número polar de P∞ en H}.Afirmación 4.1. H(P∞) = {n = iq + j(q + 1), i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q − 1}.Demostración. Primero veamos que para n = iq+j(q+1) con i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q−1, existez ∈ H tal que (z)∞ = nP∞. En efecto, para z = xiyj con i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q − 1, tenemosque (z)∞ = (iq + j(q + 1))P∞ = nP∞, ya que (x)∞ = qP∞ y (y)∞ = (q + 1)P∞.Ahora mostraremos que H(P∞) es generado por q y q + 1. Sea ϕ(T ) = T q + T − xq+1 elpolinomio minimal de y sobre Fq2(x); puesto que el único lugar que es ramificado en Hes P∞, tenemos que {yj : 0 ≤ j ≤ q − 1} es una base entera para Fq2(x, y)/Fq2(x) (veren [4] el numeral III.5.10(d)).Ahora, si n ∈ H(P∞), entonces existe z ∈ H tal que (z)∞ = nP∞. Supongamos quez =q−1∑j=0zjyj con zj ∈ Fq2 [x]. Entonces z =q−1∑j=0∑i≥0aijxiyj con aij ∈ Fq2 . En consecuencia,−n = υP∞(z) = mı́n{υP∞(xiyj) : aij �= 0}= mı́n{iυP∞(x) + jυP∞(y) : aij �= 0}= mı́n{iq + j(q + 1) : aij �= 0}.Luego n es una combinación lineal de q y q+1. Por lo tanto, q y q+1 generan H(P∞). Vol. 26, No. 2, 2008]118 Wilson Olaya León2. NotaciónFq El cuerpo finito con q elementos.F/Fq El cuerpo de funciones algebraicas sobre Fq.H/Fq2 El cuerpo de funciones hermitianas.P∞ El lugar infinito de H/Fq2 .grad(A) El grado del divisor A.L(A) El espacio vectorial asociado al divisor A.dim(A) La dimensión del divisor A; dim(A) := dim(L(A)).Sop(A) El soporte del divisor A.3. PreliminaresEl cuerpo de funciones hermitianas es un ejemplo especial de cuerpos de funciones maxi-males; es decir, cuerpos que alcanzan la cota superior de Hasse-Weil para el número delugares de grado uno. Se sabe que esto es posible para cuerpos de funciones algebraicassobre cuerpos de constantes Fq2 , y el número de lugares de grado uno es N = q2+1+2gq,donde g es el género del cuerpo de funciones, ver [4].Denotaremos por H := Fq2(x, y), con yq + y = xq+1. Por lo tanto, H/Fq2 es el cuerpo defunciones hermitianas con género g =q(q − 1)2y N = q3 + 1 lugares de grado uno.Los cuerpos de funciones maximales son importantes en la construcción de códigos geo-métricos de Goppa, puesto que optimizan los parámetros del código lineal, ya que lalongitud del código está acotada por el número de lugares de grado uno.Si F/Fq es un cuerpo de funciones algebraicas con género g y P1, P2, . . . , Pn son distintoslugares de grado uno, tomando D =n∑i=1Pi y G cualquier otro divisor de F/Fq talque ninguno de los Pi esta en el soporte de G, se define el código geométrico de Goppaasociado a los divisores D y G comoCL(D, G) := {(x(P1), x(P2), . . . , x(Pn)) : x ∈ L(G)}.Este es un [n, k, d]-código q-ario, donde k = dim G−dim(G−D) y d ≥ n−grad(G). Másaún, si grad(G) < n, entonces k = dim G, y conociendo una base para L(G) fácilmentese puede construir una matriz generadora para CL(D, G).Observe que usando el teorema de Riemann-Roch los parámetros del código CL(D, G)solo dependen del grado del divisor G (fijados n y g). Por lo tanto, si deseamos conseguircódigos geométricos de Goppa con parámetros prefijados, lo que comúnmente se hace estomar G = mP , donde m > 0 y P es un lugar de grado uno que no esté en el soporte[Revista IntegraciónNúmeros polares de P∞ en el cuerpo de funciones hermitianas 119de D (por lo general el lugar infinito). Estos códigos se conocen como códigos sobre unlugar, ver [3].Pensando en esto, es de interés determinar los elementos en F que tienen solamente unpolo en el lugar infinito de H/Fq2 . En general, para cualquier lugar de un cuerpo defunciones algebraicas se establece la siguiente definición.Definición 3.1. Sea P un lugar de F/Fq. Un entero n ≥ 0 se denomina número polar deP si, y solo si, existe un elemento z ∈ F con (z)∞ = nP . En cualquier otro caso se diceque n es un número laguna de P .Observe que n es un número polar de P si, y solo si, L ((n − 1)P ) ⊂ L(nP ). En conse-cuencia, L ((n − 1)P ) = L(nP ) si, y solo si, n es un número laguna de P .4. Resultado principalHagamos H(P∞) := {n ≥ 0 : n es un número polar de P∞ en H}.Afirmación 4.1. H(P∞) = {n = iq + j(q + 1), i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q − 1}.Demostración. Primero veamos que para n = iq+j(q+1) con i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q−1, existez ∈ H tal que (z)∞ = nP∞. En efecto, para z = xiyj con i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q − 1, tenemosque (z)∞ = (iq + j(q + 1))P∞ = nP∞, ya que (x)∞ = qP∞ y (y)∞ = (q + 1)P∞.Ahora mostraremos que H(P∞) es generado por q y q + 1. Sea ϕ(T ) = T q + T − xq+1 elpolinomio minimal de y sobre Fq2(x); puesto que el único lugar que es ramificado en Hes P∞, tenemos que {yj : 0 ≤ j ≤ q − 1} es una base entera para Fq2(x, y)/Fq2(x) (veren [4] el numeral III.5.10(d)).Ahora, si n ∈ H(P∞), entonces existe z ∈ H tal que (z)∞ = nP∞. Supongamos quez =q−1∑j=0zjyj con zj ∈ Fq2 [x]. Entonces z =q−1∑j=0∑i≥0aijxiyj con aij ∈ Fq2 . En consecuencia,−n = υP∞(z) = mı́n{υP∞(xiyj) : aij �= 0}= mı́n{iυP∞(x) + jυP∞(y) : aij �= 0}= mı́n{iq + j(q + 1) : aij �= 0}.Luego n es una combinación lineal de q y q+1. Por lo tanto, q y q+1 generan H(P∞). Vol. 26, No. 2, 2008]118 Wilson Olaya León2. NotaciónFq El cuerpo finito con q elementos.F/Fq El cuerpo de funciones algebraicas sobre Fq.H/Fq2 El cuerpo de funciones hermitianas.P∞ El lugar infinito de H/Fq2 .grad(A) El grado del divisor A.L(A) El espacio vectorial asociado al divisor A.dim(A) La dimensión del divisor A; dim(A) := dim(L(A)).Sop(A) El soporte del divisor A.3. PreliminaresEl cuerpo de funciones hermitianas es un ejemplo especial de cuerpos de funciones maxi-males; es decir, cuerpos que alcanzan la cota superior de Hasse-Weil para el número delugares de grado uno. Se sabe que esto es posible para cuerpos de funciones algebraicassobre cuerpos de constantes Fq2 , y el número de lugares de grado uno es N = q2+1+2gq,donde g es el género del cuerpo de funciones, ver [4].Denotaremos por H := Fq2(x, y), con yq + y = xq+1. Por lo tanto, H/Fq2 es el cuerpo defunciones hermitianas con género g =q(q − 1)2y N = q3 + 1 lugares de grado uno.Los cuerpos de funciones maximales son importantes en la construcción de códigos geo-métricos de Goppa, puesto que optimizan los parámetros del código lineal, ya que lalongitud del código está acotada por el número de lugares de grado uno.Si F/Fq es un cuerpo de funciones algebraicas con género g y P1, P2, . . . , Pn son distintoslugares de grado uno, tomando D =n∑i=1Pi y G cualquier otro divisor de F/Fq talque ninguno de los Pi esta en el soporte de G, se define el código geométrico de Goppaasociado a los divisores D y G comoCL(D, G) := {(x(P1), x(P2), . . . , x(Pn)) : x ∈ L(G)}.Este es un [n, k, d]-código q-ario, donde k = dim G−dim(G−D) y d ≥ n−grad(G). Másaún, si grad(G) < n, entonces k = dim G, y conociendo una base para L(G) fácilmentese puede construir una matriz generadora para CL(D, G).Observe que usando el teorema de Riemann-Roch los parámetros del código CL(D, G)solo dependen del grado del divisor G (fijados n y g). Por lo tanto, si deseamos conseguircódigos geométricos de Goppa con parámetros prefijados, lo que comúnmente se hace estomar G = mP , donde m > 0 y P es un lugar de grado uno que no esté en el soporte[Revista IntegraciónNúmeros polares de P∞ en el cuerpo de funciones hermitianas 121Referencias[1] Arnaldo GARCIA and Henning STICHTENOTH, “Topics in Geometry”, CodingTheory and Cryptography, Springer, 2007.[2] Jacobus H. VAN LINT. Introduction to Coding Theory, second edition, Springer-Verlag, 1992.[3] Jacobus H. VAN LINT and Gerard VAN DER GEER. Introduction to Coding Theoryand Algebraic Geometry, Birkhauser, Verlag Basel, 1988.[4] Henning STICHTENOTH. Algebraic Function Field and Codes, Springer-Verlag, Ber-lin, 1993.Wilson OlayaEscuela de MatemáticasUniversidad Industrial de SantanderBucaramanga, Colombia, A.A. 678e-mail: wolaya@uis.edu.co.Vol. 26, No. 2, 2008]120 Wilson Olaya LeónObservación 4.2. En este caso,H(P∞) = {n = iq + j(q + 1), i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q − 1} = {n = aq + b : 0 ≤ b ≤ a}.Ahora bien, si tomamos H(P∞) := {n : n es una laguna de P∞ en H}, entonces tenemosque H(P∞) = {n = aq + b : 0 ≤ a < b ≤ q−1}. Además, fácilmente se verifica el teoremade las lagunas de Weierstrass, que garantiza la existencia de exactamente g =q(q − 1)2números laguna; más aún, 2g−1 es una de ellas, pues 2g−1 = q2−q−1 = q(q−2)+(q−1) ∈H(P∞).En la siguiente afirmación mostramos que la dimensión del espacio vectorial L(mP∞)es el cardinal del conjunto de los números polares menores o iguales a m. DenotaremosHm(P∞) := {n ∈ H(P∞) : n ≤ m}.Afirmación 4.3. dim(mP∞) = |Hm(P∞)| = |{n ∈ H(P∞) : n ≤ m}|.Demostración. Consideremos la cadena de espacios vectorialesFq2 = L(0) ⊆ L(P∞) ⊆ · · · ⊆ L(mP∞).De un lado sabemos que dim L(iP∞) ≤ dim L((i− 1)P∞) + 1. De otro, tenemos que i esun número polar de P∞ si, y solo si, dim(iP∞) > dim((i − 1)P∞). En consecuencia, si ies un número polar de P∞ entonces dim L(iP∞) = dimL((i− 1)P∞) + 1. Además, como0 ∈ H(P∞) y dim L(0) = 1, tenemos que la dimensión en la cadena aumentará tantasveces como elementos tenga Hm(P∞), es decir, dim(mP∞) = |Hm(P∞)|. Utilizando las dos afirmaciones anteriores podemos determinar una base explícita parael espacio vectorial L(mP∞).Proposition 4.1. Una base para L(mP∞) está dada por{z ∈ H : (z)∞ = nP∞ para n ∈ Hm(P∞)}.Demostración. Primero veamos que los elementos del conjunto pertenecen a L(mP∞).En efecto, (z)∞ = (iq + j(q + 1))P∞ ≥ −mP∞ = −G, ya que iq + j(q + 1) ≤ m.Ahora, para ver que son linealmente independientes, obsérvese que z = xiyj con i ≥0, 0 ≤ j ≤ q−1 y el conjunto {yj : 0 ≤ j ≤ q−1} es una base para Fq2(x, y)/Fq2(x). [Revista IntegraciónNúmeros polares de P∞ en el cuerpo de funciones hermitianas 121Referencias[1] Arnaldo GARCIA and Henning STICHTENOTH, “Topics in Geometry”, CodingTheory and Cryptography, Springer, 2007.[2] Jacobus H. VAN LINT. Introduction to Coding Theory, second edition, Springer-Verlag, 1992.[3] Jacobus H. VAN LINT and Gerard VAN DER GEER. Introduction to Coding Theoryand Algebraic Geometry, Birkhauser, Verlag Basel, 1988.[4] Henning STICHTENOTH. Algebraic Function Field and Codes, Springer-Verlag, Ber-lin, 1993.Wilson OlayaEscuela de MatemáticasUniversidad Industrial de SantanderBucaramanga, Colombia, A.A. 678e-mail: wolaya@uis.edu.co.Vol. 26, No. 2, 2008]120 Wilson Olaya LeónObservación 4.2. En este caso,H(P∞) = {n = iq + j(q + 1), i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q − 1} = {n = aq + b : 0 ≤ b ≤ a}.Ahora bien, si tomamos H(P∞) := {n : n es una laguna de P∞ en H}, entonces tenemosque H(P∞) = {n = aq + b : 0 ≤ a < b ≤ q−1}. Además, fácilmente se verifica el teoremade las lagunas de Weierstrass, que garantiza la existencia de exactamente g =q(q − 1)2números laguna; más aún, 2g−1 es una de ellas, pues 2g−1 = q2−q−1 = q(q−2)+(q−1) ∈H(P∞).En la siguiente afirmación mostramos que la dimensión del espacio vectorial L(mP∞)es el cardinal del conjunto de los números polares menores o iguales a m. DenotaremosHm(P∞) := {n ∈ H(P∞) : n ≤ m}.Afirmación 4.3. dim(mP∞) = |Hm(P∞)| = |{n ∈ H(P∞) : n ≤ m}|.Demostración. Consideremos la cadena de espacios vectorialesFq2 = L(0) ⊆ L(P∞) ⊆ · · · ⊆ L(mP∞).De un lado sabemos que dim L(iP∞) ≤ dim L((i− 1)P∞) + 1. De otro, tenemos que i esun número polar de P∞ si, y solo si, dim(iP∞) > dim((i − 1)P∞). En consecuencia, si ies un número polar de P∞ entonces dim L(iP∞) = dimL((i− 1)P∞) + 1. Además, como0 ∈ H(P∞) y dim L(0) = 1, tenemos que la dimensión en la cadena aumentará tantasveces como elementos tenga Hm(P∞), es decir, dim(mP∞) = |Hm(P∞)|. Utilizando las dos afirmaciones anteriores podemos determinar una base explícita parael espacio vectorial L(mP∞).Proposition 4.1. Una base para L(mP∞) está dada por{z ∈ H : (z)∞ = nP∞ para n ∈ Hm(P∞)}.Demostración. Primero veamos que los elementos del conjunto pertenecen a L(mP∞).En efecto, (z)∞ = (iq + j(q + 1))P∞ ≥ −mP∞ = −G, ya que iq + j(q + 1) ≤ m.Ahora, para ver que son linealmente independientes, obsérvese que z = xiyj con i ≥0, 0 ≤ j ≤ q−1 y el conjunto {yj : 0 ≤ j ≤ q−1} es una base para Fq2(x, y)/Fq2(x). [Revista Integración

In this paper we present a description of pole numbers (or no-gaps) of the infinite place in the hermitian function field. Moreover, we show that in this function field, the pole numbers determine one explicit base for the vector space associated with the divisor mP∞.
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Olaya León, Wilson

Universidad Industrial de Santander: Revistas Institucionales UIS

∮Revista IntegraciónEscuela de MatemáticasUniversidad Industrial de SantanderVol. 26, No. 2, 2008, pág. 117–121Números polares de P∞ en el cuerpo defunciones hermitianasWilson Olaya León∗Resumen. En este artículo presentamos una caracterización de los númerospolares (o no lagunas) del lugar infinito en el cuerpo de funciones hermitia-nas. Más aún, mostraremos que en dicho cuerpo de funciones los númerospolares de P∞ determinan una base explícita para el espacio vectorial aso-ciado al divisor mP∞.Abstract. In this paper we present a description of pole numbers (or no-gaps) of the infinite place in the hermitian function field. Moreover, weshow that in this function field, the pole numbers determine one explicitbase for the vector space associated with the divisor mP∞.1. IntroducciónUn tema actual de investigación en la teoría de cuerpos de funciones algebraicas consisteen encontrar bases explícitas para el espacio vectorial asociado a un divisor arbitrario.Esto repercute, en la teoría de códigos correctores de errores, en la necesidad de estableceralgoritmos de decodificación para los códigos geométricos de Goppa, lo cual a sido unade las limitaciones para la implementación de esos códigos lineales, ver [1]. En el caso delcuerpo de funciones hermitianas, mostramos en este trabajo que los números polares deP∞ determinan una base explícita del espacio vectorial L(mP∞).0Palabras y frases claves: Números polares, lagunas de Weierstrass, cuerpo de funciones hermitianas.Key words: Pole numbers, Weierstrass’s gaps, Hermitian function field.0MSC2000: Primaria: 14H05. Secundaria: 11R58, 11T71.0∗ Universidad Industrial de Santander UIS, A.A. 678, Bucaramanga-Colombia,e-mail : wolaya@uis.edu.co117Números polares de P∞ en el cuerpo de funciones hermitianas 119de D (por lo general el lugar infinito). Estos códigos se conocen como códigos sobre unlugar, ver [3].Pensando en esto, es de interés determinar los elementos en F que tienen solamente unpolo en el lugar infinito de H/Fq2 . En general, para cualquier lugar de un cuerpo defunciones algebraicas se establece la siguiente definición.Definición 3.1. Sea P un lugar de F/Fq. Un entero n ≥ 0 se denomina número polar deP si, y solo si, existe un elemento z ∈ F con (z)∞ = nP . En cualquier otro caso se diceque n es un número laguna de P .Observe que n es un número polar de P si, y solo si, L ((n− 1)P ) ⊂ L(nP ). En conse-cuencia, L ((n− 1)P ) = L(nP ) si, y solo si, n es un número laguna de P .4. Resultado principalHagamos H(P∞) := {n ≥ 0 : n es un número polar de P∞ en H}.Afirmación 4.1. H(P∞) = {n = iq + j(q + 1), i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q − 1}.Demostración. Primero veamos que para n = iq+j(q+1) con i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q−1, existez ∈ H tal que (z)∞ = nP∞. En efecto, para z = xiyj con i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q − 1, tenemosque (z)∞ = (iq + j(q + 1))P∞ = nP∞, ya que (x)∞ = qP∞ y (y)∞ = (q + 1)P∞.Ahora mostraremos que H(P∞) es generado por q y q+ 1. Sea ϕ(T ) = T q + T − xq+1 elpolinomio minimal de y sobre Fq2(x); puesto que el único lugar que es ramificado en Hes P∞, tenemos que {yj : 0 ≤ j ≤ q − 1} es una base entera para Fq2(x, y)/Fq2(x) (veren [4] el numeral III.5.10(d)).Ahora, si n ∈ H(P∞), entonces existe z ∈ H tal que (z)∞ = nP∞. Supongamos quez =q−1∑j=0zjyj con zj ∈ Fq2 [x]. Entonces z =q−1∑j=0∑i≥0aijxiyj con aij ∈ Fq2 . En consecuencia,−n = υP∞(z) = mı´n{υP∞(xiyj) : aij �= 0}= mı´n{iυP∞(x) + jυP∞(y) : aij �= 0}= mı´n{iq + j(q + 1) : aij �= 0}.Luego n es una combinación lineal de q y q+1. Por lo tanto, q y q+1 generanH(P∞). Vol. 26, No. 2, 2008]118 Wilson Olaya León2. NotaciónFq El cuerpo finito con q elementos.F/Fq El cuerpo de funciones algebraicas sobre Fq.H/Fq2 El cuerpo de funciones hermitianas.P∞ El lugar infinito de H/Fq2 .grad(A) El grado del divisor A.L(A) El espacio vectorial asociado al divisor A.dim(A) La dimensión del divisor A; dim(A) := dim(L(A)).Sop(A) El soporte del divisor A.3. PreliminaresEl cuerpo de funciones hermitianas es un ejemplo especial de cuerpos de funciones maxi-males; es decir, cuerpos que alcanzan la cota superior de Hasse-Weil para el número delugares de grado uno. Se sabe que esto es posible para cuerpos de funciones algebraicassobre cuerpos de constantes Fq2 , y el número de lugares de grado uno es N = q2+1+2gq,donde g es el género del cuerpo de funciones, ver [4].Denotaremos por H := Fq2(x, y), con yq + y = xq+1. Por lo tanto, H/Fq2 es el cuerpo defunciones hermitianas con género g =q(q − 1)2y N = q3 + 1 lugares de grado uno.Los cuerpos de funciones maximales son importantes en la construcción de códigos geo-métricos de Goppa, puesto que optimizan los parámetros del código lineal, ya que lalongitud del código está acotada por el número de lugares de grado uno.Si F/Fq es un cuerpo de funciones algebraicas con género g y P1, P2, . . . , Pn son distintoslugares de grado uno, tomando D =n∑i=1Pi y G cualquier otro divisor de F/Fq talque ninguno de los Pi esta en el soporte de G, se define el código geométrico de Goppaasociado a los divisores D y G comoCL(D,G) := {(x(P1), x(P2), . . . , x(Pn)) : x ∈ L(G)}.Este es un [n, k, d]-código q-ario, donde k = dimG−dim(G−D) y d ≥ n−grad(G). Másaún, si grad(G) < n, entonces k = dimG, y conociendo una base para L(G) fácilmentese puede construir una matriz generadora para CL(D,G).Observe que usando el teorema de Riemann-Roch los parámetros del código CL(D,G)solo dependen del grado del divisor G (fijados n y g). Por lo tanto, si deseamos conseguircódigos geométricos de Goppa con parámetros prefijados, lo que comúnmente se hace estomar G = mP , donde m > 0 y P es un lugar de grado uno que no esté en el soporte[Revista IntegraciónNúmeros polares de P∞ en el cuerpo de funciones hermitianas 119de D (por lo general el lugar infinito). Estos códigos se conocen como códigos sobre unlugar, ver [3].Pensando en esto, es de interés determinar los elementos en F que tienen solamente unpolo en el lugar infinito de H/Fq2 . En general, para cualquier lugar de un cuerpo defunciones algebraicas se establece la siguiente definición.Definición 3.1. Sea P un lugar de F/Fq. Un entero n ≥ 0 se denomina número polar deP si, y solo si, existe un elemento z ∈ F con (z)∞ = nP . En cualquier otro caso se diceque n es un número laguna de P .Observe que n es un número polar de P si, y solo si, L ((n− 1)P ) ⊂ L(nP ). En conse-cuencia, L ((n− 1)P ) = L(nP ) si, y solo si, n es un número laguna de P .4. Resultado principalHagamos H(P∞) := {n ≥ 0 : n es un número polar de P∞ en H}.Afirmación 4.1. H(P∞) = {n = iq + j(q + 1), i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q − 1}.Demostración. Primero veamos que para n = iq+j(q+1) con i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q−1, existez ∈ H tal que (z)∞ = nP∞. En efecto, para z = xiyj con i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q − 1, tenemosque (z)∞ = (iq + j(q + 1))P∞ = nP∞, ya que (x)∞ = qP∞ y (y)∞ = (q + 1)P∞.Ahora mostraremos que H(P∞) es generado por q y q+ 1. Sea ϕ(T ) = T q + T − xq+1 elpolinomio minimal de y sobre Fq2(x); puesto que el único lugar que es ramificado en Hes P∞, tenemos que {yj : 0 ≤ j ≤ q − 1} es una base entera para Fq2(x, y)/Fq2(x) (veren [4] el numeral III.5.10(d)).Ahora, si n ∈ H(P∞), entonces existe z ∈ H tal que (z)∞ = nP∞. Supongamos quez =q−1∑j=0zjyj con zj ∈ Fq2 [x]. Entonces z =q−1∑j=0∑i≥0aijxiyj con aij ∈ Fq2 . En consecuencia,−n = υP∞(z) = mı´n{υP∞(xiyj) : aij �= 0}= mı´n{iυP∞(x) + jυP∞(y) : aij �= 0}= mı´n{iq + j(q + 1) : aij �= 0}.Luego n es una combinación lineal de q y q+1. Por lo tanto, q y q+1 generanH(P∞). Vol. 26, No. 2, 2008]118 Wilson Olaya León2. NotaciónFq El cuerpo finito con q elementos.F/Fq El cuerpo de funciones algebraicas sobre Fq.H/Fq2 El cuerpo de funciones hermitianas.P∞ El lugar infinito de H/Fq2 .grad(A) El grado del divisor A.L(A) El espacio vectorial asociado al divisor A.dim(A) La dimensión del divisor A; dim(A) := dim(L(A)).Sop(A) El soporte del divisor A.3. PreliminaresEl cuerpo de funciones hermitianas es un ejemplo especial de cuerpos de funciones maxi-males; es decir, cuerpos que alcanzan la cota superior de Hasse-Weil para el número delugares de grado uno. Se sabe que esto es posible para cuerpos de funciones algebraicassobre cuerpos de constantes Fq2 , y el número de lugares de grado uno es N = q2+1+2gq,donde g es el género del cuerpo de funciones, ver [4].Denotaremos por H := Fq2(x, y), con yq + y = xq+1. Por lo tanto, H/Fq2 es el cuerpo defunciones hermitianas con género g =q(q − 1)2y N = q3 + 1 lugares de grado uno.Los cuerpos de funciones maximales son importantes en la construcción de códigos geo-métricos de Goppa, puesto que optimizan los parámetros del código lineal, ya que lalongitud del código está acotada por el número de lugares de grado uno.Si F/Fq es un cuerpo de funciones algebraicas con género g y P1, P2, . . . , Pn son distintoslugares de grado uno, tomando D =n∑i=1Pi y G cualquier otro divisor de F/Fq talque ninguno de los Pi esta en el soporte de G, se define el código geométrico de Goppaasociado a los divisores D y G comoCL(D,G) := {(x(P1), x(P2), . . . , x(Pn)) : x ∈ L(G)}.Este es un [n, k, d]-código q-ario, donde k = dimG−dim(G−D) y d ≥ n−grad(G). Másaún, si grad(G) < n, entonces k = dimG, y conociendo una base para L(G) fácilmentese puede construir una matriz generadora para CL(D,G).Observe que usando el teorema de Riemann-Roch los parámetros del código CL(D,G)solo dependen del grado del divisor G (fijados n y g). Por lo tanto, si deseamos conseguircódigos geométricos de Goppa con parámetros prefijados, lo que comúnmente se hace estomar G = mP , donde m > 0 y P es un lugar de grado uno que no esté en el soporte[Revista IntegraciónNúmeros polares de P∞ en el cuerpo de funciones hermitianas 121Referencias[1] Arnaldo GARCIA and Henning STICHTENOTH, “Topics in Geometry”, CodingTheory and Cryptography, Springer, 2007.[2] Jacobus H. VAN LINT. Introduction to Coding Theory, second edition, Springer-Verlag, 1992.[3] Jacobus H. VAN LINT and Gerard VAN DER GEER. Introduction to Coding Theoryand Algebraic Geometry, Birkhauser, Verlag Basel, 1988.[4] Henning STICHTENOTH. Algebraic Function Field and Codes, Springer-Verlag, Ber-lin, 1993.Wilson OlayaEscuela de MatemáticasUniversidad Industrial de SantanderBucaramanga, Colombia, A.A. 678e-mail: wolaya@uis.edu.co.Vol. 26, No. 2, 2008]120 Wilson Olaya LeónObservación 4.2. En este caso,H(P∞) = {n = iq + j(q + 1), i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q − 1} = {n = aq + b : 0 ≤ b ≤ a}.Ahora bien, si tomamos H(P∞) := {n : n es una laguna de P∞ en H}, entonces tenemosque H(P∞) = {n = aq+ b : 0 ≤ a < b ≤ q−1}. Además, fácilmente se verifica el teoremade las lagunas de Weierstrass, que garantiza la existencia de exactamente g =q(q − 1)2números laguna; más aún, 2g−1 es una de ellas, pues 2g−1 = q2−q−1 = q(q−2)+(q−1) ∈H(P∞).En la siguiente afirmación mostramos que la dimensión del espacio vectorial L(mP∞)es el cardinal del conjunto de los números polares menores o iguales a m. DenotaremosHm(P∞) := {n ∈ H(P∞) : n ≤ m}.Afirmación 4.3. dim(mP∞) = |Hm(P∞)| = |{n ∈ H(P∞) : n ≤ m}|.Demostración. Consideremos la cadena de espacios vectorialesFq2 = L(0) ⊆ L(P∞) ⊆ · · · ⊆ L(mP∞).De un lado sabemos que dimL(iP∞) ≤ dimL((i− 1)P∞) + 1. De otro, tenemos que i esun número polar de P∞ si, y solo si, dim(iP∞) > dim((i − 1)P∞). En consecuencia, si ies un número polar de P∞ entonces dimL(iP∞) = dimL((i− 1)P∞) + 1. Además, como0 ∈ H(P∞) y dimL(0) = 1, tenemos que la dimensión en la cadena aumentará tantasveces como elementos tenga Hm(P∞), es decir, dim(mP∞) = |Hm(P∞)|. Utilizando las dos afirmaciones anteriores podemos determinar una base explícita parael espacio vectorial L(mP∞).Proposition 4.1. Una base para L(mP∞) está dada por{z ∈ H : (z)∞ = nP∞ para n ∈ Hm(P∞)}.Demostración. Primero veamos que los elementos del conjunto pertenecen a L(mP∞).En efecto, (z)∞ = (iq + j(q + 1))P∞ ≥ −mP∞ = −G, ya que iq + j(q + 1) ≤ m.Ahora, para ver que son linealmente independientes, obsérvese que z = xiyj con i ≥0, 0 ≤ j ≤ q−1 y el conjunto {yj : 0 ≤ j ≤ q−1} es una base para Fq2(x, y)/Fq2(x). [Revista IntegraciónNúmeros polares de P∞ en el cuerpo de funciones hermitianas 121Referencias[1] Arnaldo GARCIA and Henning STICHTENOTH, “Topics in Geometry”, CodingTheory and Cryptography, Springer, 2007.[2] Jacobus H. VAN LINT. Introduction to Coding Theory, second edition, Springer-Verlag, 1992.[3] Jacobus H. VAN LINT and Gerard VAN DER GEER. Introduction to Coding Theoryand Algebraic Geometry, Birkhauser, Verlag Basel, 1988.[4] Henning STICHTENOTH. Algebraic Function Field and Codes, Springer-Verlag, Ber-lin, 1993.Wilson OlayaEscuela de MatemáticasUniversidad Industrial de SantanderBucaramanga, Colombia, A.A. 678e-mail: wolaya@uis.edu.co.Vol. 26, No. 2, 2008]120 Wilson Olaya LeónObservación 4.2. En este caso,H(P∞) = {n = iq + j(q + 1), i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q − 1} = {n = aq + b : 0 ≤ b ≤ a}.Ahora bien, si tomamos H(P∞) := {n : n es una laguna de P∞ en H}, entonces tenemosque H(P∞) = {n = aq+ b : 0 ≤ a < b ≤ q−1}. Además, fácilmente se verifica el teoremade las lagunas de Weierstrass, que garantiza la existencia de exactamente g =q(q − 1)2números laguna; más aún, 2g−1 es una de ellas, pues 2g−1 = q2−q−1 = q(q−2)+(q−1) ∈H(P∞).En la siguiente afirmación mostramos que la dimensión del espacio vectorial L(mP∞)es el cardinal del conjunto de los números polares menores o iguales a m. DenotaremosHm(P∞) := {n ∈ H(P∞) : n ≤ m}.Afirmación 4.3. dim(mP∞) = |Hm(P∞)| = |{n ∈ H(P∞) : n ≤ m}|.Demostración. Consideremos la cadena de espacios vectorialesFq2 = L(0) ⊆ L(P∞) ⊆ · · · ⊆ L(mP∞).De un lado sabemos que dimL(iP∞) ≤ dimL((i− 1)P∞) + 1. De otro, tenemos que i esun número polar de P∞ si, y solo si, dim(iP∞) > dim((i − 1)P∞). En consecuencia, si ies un número polar de P∞ entonces dimL(iP∞) = dimL((i− 1)P∞) + 1. Además, como0 ∈ H(P∞) y dimL(0) = 1, tenemos que la dimensión en la cadena aumentará tantasveces como elementos tenga Hm(P∞), es decir, dim(mP∞) = |Hm(P∞)|. Utilizando las dos afirmaciones anteriores podemos determinar una base explícita parael espacio vectorial L(mP∞).Proposition 4.1. Una base para L(mP∞) está dada por{z ∈ H : (z)∞ = nP∞ para n ∈ Hm(P∞)}.Demostración. Primero veamos que los elementos del conjunto pertenecen a L(mP∞).En efecto, (z)∞ = (iq + j(q + 1))P∞ ≥ −mP∞ = −G, ya que iq + j(q + 1) ≤ m.Ahora, para ver que son linealmente independientes, obsérvese que z = xiyj con i ≥0, 0 ≤ j ≤ q−1 y el conjunto {yj : 0 ≤ j ≤ q−1} es una base para Fq2(x, y)/Fq2(x). [Revista Integración

Números polares de P en el cuerpo de funciones hermitianas

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