Diberikan graf   merupakan graf terhubung dan tak berarah. Himpunan   merupakan himpunan dominasi lokasi jika untuk setiap simpul  dengan   memenuhi  . Bilangan dominasi lokasi dari graf   dinotasikan dengan   merupakan kardinalitas minimum dari himpunan dominasi lokasi pada graf  . Pada penelitian ini dibahas tentang bilangan dominasi lokasi pada graf lintasan  , graf cycle   dan pan graph  . Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah mencari himpunan dominasi lokasi dari masing-masing graf, kemudian mencari satu persatu bilangan dominasi lokasi pada setiap graf tersebut. Pada tahap akhir, diperoleh pola bilangan dominasi lokasi pada masing-masing graf. Berdasarkan hasil penelitian, diperoleh  ;  dan   untuk   yaitu 2, untuk   yaitu 3, untuk   yaitu  .Kata kunci: himpunan dominasi lokasi, graf cycle, graf lintasa

Fransiskus Fran, Elishabet Yohana, Yundari,

Indonesian

Yohana, Elishabet

Yundari, Yundari

Fran, Fransiskus

BIMASTER

    Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 09, No. 2 (2020), hal 261-266.   261   BILANGAN DOMINASI LOKASI PADA PAN GRAPH  Elishabet Yohana, Yundari, Fransiskus Fran  INTISARI  Diberikan graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) merupakan graf terhubung dan tak berarah. Himpunan 𝐷 ⊆ 𝑉 merupakan himpunan dominasi lokasi jika untuk setiap simpul 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 − 𝐷 dengan 𝑢 ≠ 𝑣 memenuhi 𝑁(𝑣) ∩ 𝐷 ≠𝑁(𝑢) ∩ 𝐷 ≠ ∅. Bilangan dominasi lokasi dari graf 𝐺 dinotasikan dengan 𝛾𝐿(𝐺) merupakan kardinalitas minimum dari himpunan dominasi lokasi pada graf 𝐺. Pada penelitian ini dibahas tentang bilangan dominasi lokasi pada graf lintasan (𝑃𝑛), graf cycle (𝐶𝑛) dan pan graph (𝑇𝑛,1). Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah mencari himpunan dominasi lokasi dari masing-masing graf, kemudian mencari satu persatu bilangan dominasi lokasi pada setiap graf tersebut. Pada tahap akhir, diperoleh pola bilangan dominasi lokasi pada masing-masing graf. Berdasarkan hasil penelitian, diperoleh 𝛾𝐿(𝑃𝑛) = ⌈ 2𝑛5 ⌉; 𝛾𝐿(𝐶𝑛) = ⌈ 2𝑛5 ⌉ dan 𝛾𝐿(𝑇𝑛,1) untuk 𝑛 = 3 yaitu 2, untuk 𝑛 = 4 yaitu 3, untuk 𝑛 ≥ 5 yaitu ⌊2𝑛5⌋ + 1. Kata kunci: himpunan dominasi lokasi, graf cycle, graf lintasan PENDAHULUAN Salah satu topik yang dibahas dalam teori graf adalah himpunan dominasi. Himpunan 𝐷 ⊆ 𝑉(𝐺) disebut himpunan dominasi jika simpul pada himpunan dominasi tersebut mendominasi semua simpul di 𝐺. Terdapat beberapa topik mengenai himpunan dominasi diantaranya yaitu himpunan dominasi edge-vertex, himpunan dominasi vertex-edge, himpunan dominasi total, himpunan dominasi lokasi, himpunan dominasi invers dan lain sebagainya. Salah satu topik himpunan dominasi yang dibahas dalam penelitian ini adalah himpunan dominasi lokasi. Himpunan dominasi lokasi pada graf 𝐺 adalah himpunan dominasi graf 𝐺 dengan syarat untuk setiap 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 − 𝐷 berlaku 𝑁(𝑢) ∩ 𝐷 ≠ 𝑁(𝑣) ∩ 𝐷 ≠∅ dengan 𝑁(𝑢) merupakan persekitaran terbuka 𝑢. Bilangan dominasi lokasi pada graf 𝐺 dinotasikan dengan 𝛾𝐿(𝐺) merupakan kardinalitas minimum dari himpunan dominasi lokasi [1]. Penelitian yang membahas bilangan dominasi lokasi, telah diterapkan pada graf lintasan dan graf cycle [2]. Pada penelitian ini dikaji ulang mengenai bilangan dominasi lokasi pada graf lintasan dan graf cycle yang sebelumnya telah diteliti. Selain itu, dilakukan penelitian lebih lanjut untuk mengembangkan penelitian sebelumnya yaitu mengenai pan graph. PAN GRAPH Graf 𝐺 didefinisikan sebagai pasangan himpunan (𝑉, 𝐸), ditulis dengan notasi 𝐺 = (𝑉, 𝐸), yang dalam hal ini 𝑉 adalah himpunan tidak-kosong dari simpul (vertex) dan 𝐸 adalah himpunan sisi (edge) yang menghubungkan sepasang simpul. Sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buah pun, tetapi simpulnya harus ada, minimal satu [3]. Beberapa terminologi dasar yang berkaitan dengan teori graf yang digunakan dalam penelitian ini yaitu bertetangga, terhubung dan persekitaran simpul. Simpul 𝑢 dan simpul 𝑣 pada suatu graf tak berarah 𝐺 dikatakan bertetangga apabila kedua simpul tersebut dihubungkan langsung oleh sebuah sisi 𝑒 = (𝑢, 𝑣) [3]. Suatu graf tak-berarah 𝐺 disebut graf terhubung jika untuk setiap pasang simpul 𝑢 dan simpul 𝑣 didalam himpunan 𝑉 terdapat lintasan dari 𝑢 ke 𝑣. Jika tidak, maka 𝐺 disebut graf tak-terhubung [3]. Himpunan 𝑁(𝑢) = {𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) ∶ 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺)} disebut persekitaran terbuka dari 𝑢 pada graf 𝐺 dan himpunan 𝑁[𝑢] = 𝑁(𝑢) ∪ {𝑢} disebut persekitaran tertutup dari 𝑢 pada graf 𝐺 [4]. Graf 262 E. YOHANA,YUNDARI, F. FRAN      dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis, beberapa jenis graf yang digunakan dalam penelitian ini adalah graf lintasan 𝑃𝑛, graf cycle 𝐶𝑛 dan pan graph 𝑇𝑛,1. Berikut definisi terkait graf-graf tersebut. Definisi 1 [5] Graf lintasan adalah suatu graf sederhana yang terdiri dari satu lintasan tunggal. Graf lintasan dengan 𝑛 simpul dinotasikan dengan 𝑃𝑛 dengan 𝑛 ≥ 2. Definisi 2 [3] Graf cycle merupakan graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graf cycle dengan 𝑛 simpul dilambangkan dengan 𝐶𝑛 untuk 𝑛 ≥ 3 Definisi 3 [6] Pan graph adalah graf yang diperoleh dengan menggabungkan graf cycle 𝐶𝑛 dan graf tunggal 𝐾1 dengan sisi sebagai penghubung. Pada penelitian ini, pan graph dinotasikan dengan 𝑇𝑛,1 [7]. Bentuk graf lintasan, graf cycle dan pan graph dapat dilihat pada Gambar 1.      Pada Gambar 1 (a) graf lintasan 𝑃2 terdiri dari 2 simpul dan 1 sisi dengan barisan berselang-seling antara simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk 𝑣1, 𝑒1, 𝑣2. Gambar 1 (b) graf cycle 𝐶3 merupakan graf dengan himpunan simpul 𝑉(𝐶3) = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} dan setiap simpul pada graf cycle 𝐶3 memiliki derajat 2. Gambar 1 (c) pan graph 𝑇5,1 merupakan graf yang terdiri dari enam simpul dengan himpunan simpul 𝑉(𝑇5,1) = {𝑢, 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5}. Simpul 𝑢 merupakan elemen dari graf tunggal 𝐾1 dan simpul 𝑣𝑖 dengan 𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5 merupakan simpul-simpul pada graf cycle 𝐶5. BILANGAN DOMINASI LOKASI Secara historis, masalah dominasi mulai dipelajari dari tahun 1960 oleh Hedetniemi dan Laskar. Himpunan 𝐷 ⊆ 𝑉(𝐺) disebut himpunan dominasi jika simpulnya mendominasi semua simpul di 𝐺 [8]. Terdapat beberapa topik mengenai himpunan dominasi salah satunya yaitu himpunan dominasi lokasi. Penerapan himpunan dominasi lokasi dimulai pada tahun 1980 oleh Slater dengan membuat sebuah kode lokasi perlindungan untuk beberapa fasilitas dengan menggunakan jaringan detektor. Pada tahun 2016 penerapan himpunan dominasi lokasi kembali dikembangkan oleh Foucaud, Mertzios, Parreau, Naserasr dan Vallicov yaitu menerapkan himpunan dominasi lokasi dalam kasus penempatan alat deteksi kebakaran pada suatu gedung [9].      Gambar 2 Himpunan Dominasi Graf 𝑯  Gambar 1 (a) Graf Lintasan 𝑷𝟐, (b) Graf Cycle 𝑪𝟑 dan (c) Pan Graph 𝑻𝟓,𝟏 (a) (c) (b) Bilangan Dominasi Lokasi pada Pan Graph, Line Pan Graph dan Middle Pan Graph 263       Definisi 4 [1] Himpunan dominasi lokasi pada graf 𝐺 adalah himpunan dominasi graf 𝐺 dengan  syarat untuk setiap 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 − 𝐷 dengan 𝑢 ≠ 𝑣 berlaku 𝑁(𝑢) ∩ 𝐷 ≠ 𝑁(𝑣) ∩ 𝐷 ≠ ∅. Kardinalitas minimum dari himpunan dominasi lokasi graf 𝐺 disebut bilangan dominasi lokasi dan dinotasikan dengan 𝛾𝐿(𝐺). Contoh 5 Diberikan graf 𝐻 seperti pada Gambar 2. Pada Gambar 2 dapat dipilih beberapa kemungkinan himpunan dominasi pada graf 𝐻 yaitu {𝑣2, 𝑣4, 𝑣7}, {𝑣4, 𝑣6, 𝑣8}, {𝑣2, 𝑣3, 𝑣5, 𝑣8} dan {𝑣1, 𝑣3, 𝑣5, 𝑣7}. Berdasarkan beberapa kemungkinan tersebut, dapat ditentukan bilangan dominasi lokasi dari graf 𝐻 adalah tiga. Bilangan Dominasi Lokasi pada Graf Lintasan 𝑷𝒏 Bilangan dominasi lokasi pada graf lintasan 𝑃𝑛 untuk 𝑛 ≥ 2 disajikan pada Proposisi 6. Proposisi 6 [2] Diberikan graf 𝐺 suatu graf lintasan 𝑃𝑛 yang merupakan lintasan tunggal dengan 𝑛 simpul, 𝑛 ∈ ℕ. Bilangan dominasi lokasi pada graf 𝐺 adalah 𝛾𝐿(𝑃𝑛) = ⌈ 2𝑛5 ⌉ untuk 𝑛 ≥ 2. Contoh 7 Diberikan graf lintasan 𝑃4 seperti pada Gambar 3. Pada Gambar 3, himpunan simpul dominasi untuk graf lintasan 𝑃4 yaitu 𝐷 = {𝑣2, 𝑣4} dan simpul selain simpul dominasinya yaitu 𝑣1 dan 𝑣3. Berdasarkan Gambar 3, 𝑁(𝑣1) ∩ 𝐷 ≠ ∅ dan 𝑁(𝑣3) ∩ 𝐷 ≠∅ yang artinya 𝐷 menjangkau semua simpul yang bukan termasuk simpul dominasi. Selain itu terlihat bahwa 𝑁(𝑣1) ∩ 𝐷 ≠ 𝑁(𝑣3) ∩ 𝐷 yanga artinya 𝐷 memenuhi syarat himpunan dominasi lokasi sehingga diperoleh 𝛾𝐿(𝑃4) = 2.    Gambar 3 Graf Lintasan 𝑷𝟒 Bilangan Dominasi Lokasi pada Graf Cycle 𝑪𝒏 Bilangan dominasi lokasi pada graf cycle 𝐶𝑛 untuk 𝑛 ≥ 3 disajikan pada Proposisi 8. Proposisi 8 [2] Diberikan graf 𝐺 suatu graf cycle 𝐶𝑛 dengan 𝑛 simpul yang setiap simpulnya berderajat 2, 𝑛 ∈ ℕ. Bilangan dominasi lokasi pada graf 𝐺 adalah 𝛾𝐿(𝐶𝑛) = ⌈ 2𝑛5 ⌉ untuk 𝑛 ≥ 3. Contoh 9 Diberikan graf cycle 𝐶4 seperti pada Gambar 4. Pada Gambar 4, himpunan simpul dominasi untuk graf cycle 𝐶4 yaitu 𝐷 = {𝑣1, 𝑣4} dan simpul selain simpul dominasinya yaitu 𝑣2 dan 𝑣3. Berdasarkan Gambar 4, 𝑁(𝑣2) ∩ 𝐷 ≠ ∅ dan 𝑁(𝑣3) ∩ 𝐷 ≠ ∅ yang artinya 𝐷 menjangkau semua simpul yang bukan termasuk simpul dominasi. Selain itu terlihat bahwa 𝑁(𝑣2) ∩ 𝐷 ≠ 𝑁(𝑣3) ∩ 𝐷 yanga artinya 𝐷 memenuhi syarat himpunan dominasi lokasi sehingga diperoleh 𝛾𝐿(𝐶4) = 2.     Gambar 4 Graf Cycle 𝑪𝟒 264 E. YOHANA,YUNDARI, F. FRAN      Bilangan Dominasi Lokasi pada Pan Graph 𝑻𝒏,𝟏 Berikut diberikan Proposisi 10 mengenai bilangan dominasi lokasi pada pan graph 𝑇𝑛,1 untuk 𝑛 ≥ 3. Proposisi 10 Pan graph (𝑇𝑛,1) merupakan graf hasil penggabungan graf cycle 𝐶𝑛 dan graf tunggal 𝐾1 dengan sebuah penghubung. Bilangan dominasi lokasi pada  pan graph (𝑇𝑛,1) adalah 𝛾𝐿(𝑇𝑛,1) = {2 , 𝑛 = 3             3 , 𝑛 = 4              ⌊2n5⌋ + 1 , 𝑛 ≥ 5 Bukti: Diberikan pan graph (𝑇𝑛,1) dengan 𝑛 ≥ 3. Himpunan simpul dari  Pan graph (𝑇𝑛,1) yaitu 𝑉(𝑇𝑛,1) = {𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛, 𝑣𝑛+1}. Ambil 𝑣𝑖 ∈ 𝑉(𝑇𝑛,1)  dengan 𝑖 = 3, 4, 5, ⋯ , 𝑛, 𝑛 + 1 maka 𝑣𝑖 dapat mendominasi 2 simpul disekitarnya dan untuk 𝑖 = 1 mendominasi 1 simpul disekitarnya dan 𝑖 = 2 mendominasi 3 simpul disekitarnya. Kasus 1: untuk 𝑛 = 3 Pada pan graph (𝑇3,1) diperoleh himpunan dominasi yaitu 𝐷1 = {𝑣2, 𝑣4}. Himpunan 𝑉 − 𝐷1 ={𝑣1, 𝑣3} pada pan graph (𝑇3,1) berlaku 𝑁(𝑣1) ∩ 𝐷1 ≠ 𝑁(𝑣3) ∩ 𝐷1 ≠ ∅ sehingga 𝐷1 = {𝑣2, 𝑣4} merupakan himpunan dominasi lokasi pada pan graph 𝑇3,1. Diperoleh banyaknya anggota pada himpunan 𝐷1 adalah 2. Berdasarkan Definisi 4, maka bilangan dominasi lokasi pada pan graph 𝑇3,1 haruslah memenuhi 𝛾𝐿(𝑇3,1) ≤ 2. Andaikan 𝛾𝐿(𝑇3,1) = 1, maka terdapat 1 simpul pada himpunan dominasi lokasi pan graph (𝑇3,1)  dengan kardinalitas minimum. Jika terdapat 1 simpul pada himpunan dominasi lokasi yang dipilih sembarang, maka 2 simpul elemen 𝑉 − 𝐷 yaitu 𝑣1, 𝑣𝑛+1 ∈ 𝑉 −𝐷 akan memiliki tetangga yang sama pada himpunan 𝐷. Hal tersebut kontradiksi dengan Definisi 4, maka haruslah 𝛾𝐿(𝑇3,1) = 2. Kasus 2: untuk 𝑛 = 4 Pada pan graph (𝑇4,1) diperoleh himpunan dominasi yaitu 𝐷2 = {𝑣2, 𝑣4, 𝑣5}. Himpunan 𝑉 − 𝐷2 ={𝑣1, 𝑣3} pada pan graph (𝑇4,1) berlaku 𝑁(𝑣1) ∩ 𝐷2 ≠ 𝑁(𝑣3) ∩ 𝐷2 ≠ ∅ sehingga 𝐷2 = {𝑣2, 𝑣4, 𝑣5} merupakan himpunan dominasi lokasi pada pan graph (𝑇4,1). Diperoleh banyaknya anggota pada himpunan 𝐷2 adalah 3. Berdasarkan Definisi 4, maka bilangan dominasi lokasi pada pan graph (𝑇4,1) haruslah memenuhi 𝛾𝐿(𝑇4,1) ≤ 3. Andaikan 𝛾𝐿(𝑇4,1) = 2, maka terdapat 2 simpul pada himpunan dominasi lokasi graf (𝑇4,1) dengan kardinalitas minimum. Jika terdapat 2 simpul pada himpunan dominasi lokasi yang dipilih sembarang, maka 2 simpul elemen 𝑉 − 𝐷 yaitu 𝑣1, 𝑣𝑛+1 ∈ 𝑉 − 𝐷 akan memiliki tetangga yang sama pada himpunan 𝐷. Hal tersebut kontradiksi dengan Definisi 4, maka haruslah 𝛾𝐿(𝑇4,1) = 3. Kasus 3: untuk 𝑛 ≥ 5 Berdasarkan definisi himpunan dominasi diperoleh himpunan dominasi (𝑇𝑛,1) untuk 𝑛 ≥ 5 yaitu: (i) Untuk 𝑛 = 5𝑘, 𝑘 ∈ ℕ diperoleh himpunan dominasi yaitu 𝐷3 = {𝑣1} ∪ {𝑣3, 𝑣6, ⋯ , 𝑣5⌊𝑛5⌋−2, 𝑣5⌊𝑛5⌋+1}, (ii) Untuk 𝑛 = 5𝑘 + 1 dan 𝑛 = 5𝑘 + 2 diperoleh himpunan dominasi yaitu 𝐷4 = {𝑣2} ∪{𝑣4, 𝑣7, ⋯ , 𝑣5⌊𝑛5⌋−1, 𝑣5⌊𝑛5⌋+2}, (iii) Untuk 𝑛 lainnya diperoleh himpunan dominasi yaitu 𝐷5 = {𝑣2} ∪ {𝑣4} ∪ {𝑣7, 𝑣9, ⋯ , 𝑣5⌊𝑛5⌋+2, 𝑣5⌊𝑛5⌋+4}. Setiap himpunan 𝐷𝑖 dengan 𝑖 = 3, 4, 5 memiliki indeks beda 2 atau beda 3 secara berurut antara indeks simpul yang satu dengan indeks simpul lainnya.  Bilangan Dominasi Lokasi pada Pan Graph, Line Pan Graph dan Middle Pan Graph 265       Akibatnya, untuk 𝑣𝑎, 𝑣𝑏 ∈ 𝑉 − 𝐷𝑖 dengan 𝑣𝑎 ≠ 𝑣𝑏 diperoleh 𝑁(𝑣𝑎) ∩ 𝐷𝑖 ≠ ∅ dan 𝑁(𝑣𝑏) ∩ 𝐷𝑖 ≠ ∅. Berdasarkan himpunan 𝐷𝑖 dengan 𝑖 = 3, 4, 5 diketahui bahwa untuk setiap simpul diluar 𝐷𝑖 yaitu simpul 𝑉 − 𝐷𝑖 memiliki indeks beda 1 atau beda 2 secara berurut antara simpul yang satu dengan simpul lainnya. Akibatnya, diperoleh 𝑁(𝑣𝑎) ∩ 𝐷𝑖 ≠ 𝑁(𝑣𝑏) ∩ 𝐷𝑖 untuk 𝑣𝑎, 𝑣𝑏 ∈ 𝑉 − 𝐷𝑖 dengan 𝑣𝑎 ≠ 𝑣𝑏. Berdasarkan Definisi 4, maka himpunan-himpunan dominasi tersebut memenuhi syarat himpunan dominasi lokasi. Berdasarkan himpunan-himpunan tersebut, indeks dari simpul 𝑣𝑖 dapat disusun menjadi barisan aritmatika sebagai berikut: 𝐷3′ = {1} ∪ {6, 11, 16, 21, ⋯ , 5 ⌊𝑛5⌋ + 1} ∪ {3, 8, 13, 18, ⋯ ,5 ⌊𝑛5⌋ − 2}  𝐷4′ = {2} ∪ {7, 12, 17, 22, ⋯ , 5 ⌊𝑛5⌋ + 2} ∪ {4, 9, 14, 19, ⋯ ,5 ⌊𝑛5⌋ − 1}  𝐷5′ = {2} ∪ {4} ∪ {7, 12, 17, 22, ⋯ , 5 ⌊𝑛5⌋ + 2} ∪ {9, 14, 19, 24, ⋯ ,5 ⌊𝑛5⌋ + 4}  Banyaknya anggota dari setiap himpunan dapat diperoleh dengan menggunakan rumus barisan aritmatika dengan beda 5 antara suku pertama dan suku kedua sampai seterusnya secara berurut pada setiap himpunan. Diperoleh banyaknya anggota pada himpunan 𝐷3 dan 𝐷4 yaitu 1 + ⌊𝑛5⌋ + ⌊𝑛5⌋ untuk 𝑛 = 5𝑘 dan 𝑛 = 5𝑘 + 1 dan banyaknya anggota pada himpunan 𝐷5 yaitu 1 + 1 + ⌊𝑛5⌋ + ⌊𝑛5⌋ untuk 𝑛 lainnya. Akibatnya diperoleh banyaknya anggota himpunan dominasi lokasi dari pan graph (𝑇𝑛,1) dengan 𝑛 ≥ 5 adalah ⌊2n5⌋ + 1. Berdasarkan Definisi 4, maka bilangan dominasi lokasi haruslah memenuhi 𝛾𝐿(𝑇𝑛,1) ≤ ⌊2n5⌋ + 1 dengan 𝑛 ≥ 5. Selanjutnya, akan ditunjukkan bilangan dominasi lokasi pada pan graph (𝑇𝑛,1) dengan 𝑛 ≥ 5 adalah 𝛾𝐿(𝑇𝑛,1) = ⌊2n5⌋ + 1. Menurut Definisi 4, himpunan dominasi lokasi harus memenuhi syarat untuk setiap 𝑣𝑎, 𝑣𝑏 ∈ 𝑉 − 𝐷𝑖 dengan 𝑣𝑎 ≠ 𝑣𝑏 berlaku 𝑁(𝑣𝑎) ∩ 𝐷𝑖 ≠ 𝑁(𝑣𝑏) ∩ 𝐷𝑖 ≠ ∅. Andaikan 𝛾𝐿(𝑇𝑛,1) = (⌊2n5⌋ + 1) − 1, maka terdapat ⌊2n5⌋ simpul pada himpunan dominasi lokasi graf (𝑇𝑛,1) untuk 𝑛 ≥ 5 dengan kardinalitas minimum. Jika terdapat ⌊2n5⌋ simpul pada himpunan dominasi lokasi yang dipilih sembarang, dapat dipilih pada simpul yang mendominasi paling minimum yaitu 1 simpul disekitarnya sampai yang paling maksimum 3 simpul sekitarnya. Akibatnya untuk 𝑇𝑛,1 dengan 𝑛 ≥ 5 terdapat setidaknya dua simpul yang berbeda yaitu 𝑣1, 𝑣𝑛+1 ∈ 𝑉 − 𝐷 yang memiliki tetangga yang sama di 𝐷 dan untuk 𝑇7,1 terdapat satu simpul tidak terdominasi. Hal tersebut kontradiksi dengan Definisi 4, maka haruslah 𝛾𝐿(𝑇𝑛,1) =⌊2n5⌋ + 1 untuk 𝑛 ≥ 5. Dari ketiga kasus tersebut maka terbukti bahwa bilangan dominasi lokasi pada pan graph adalah 𝛾𝐿(𝑇𝑛,1) = {2 , 𝑛 = 3 3 , 𝑛 = 4⌊2n5⌋ + 1 , 𝑛 ≥ 5. ∎  Contoh 11 Diberikan pan graph 𝑇4,1 seperti pada Gambar 5. Pada Gambar 5 (a), himpunan simpul dominasi untuk pan graph 𝑇3,1 yaitu 𝐷1 = {𝑣2, 𝑣4} dan simpul selain simpul dominasinya yaitu 𝑣1 dan 𝑣3. Berdasarkan Gambar 5 (a), 𝑁(𝑣1) ∩ 𝐷1 ≠ 𝑁(𝑣3) ∩ 𝐷1 ≠∅ yang artinya 𝐷1 memenuhi syarat himpunan dominasi lokasi sehingga diperoleh 𝛾𝐿(𝑇3,1) = 2. Dengan cara yang sama, diperoleh himpunan dominasi lokasi dari pan graph 𝑇4,1 yaitu 𝐷2 ={𝑣2, 𝑣4, 𝑣5} pada Gambar 5 (b) sehingga diperoleh 𝛾𝐿(𝑇4,1) = 3.  266 E. YOHANA,YUNDARI, F. FRAN         Gambar 5 (a) Pan Graph 𝑻𝟑,𝟏 dan (b) Pan Graph 𝑻𝟒,𝟏 KESIMPULAN Bilangan dominasi lokasi merupakan kardinalitas minimum dari himpunan dominasi lokasi. Bilangan dominasi lokasi pada graf lintasan, graf cycle dan pan graph diperoleh dengan cara mencari himpunan dominasi lokasi masing-masing graf, selanjutnya mencari satu persatu bilangan dominasi lokasi pada setiap graf tersebut. Pada tahap akhir, diperoleh pola bilangan dominasi lokasi pada masing-masing graf. Pada penelitian ini diperoleh bilangan dominasi lokasi pada beberapa graf yaitu graf lintasan adalah 𝛾𝐿(𝑃𝑛) = ⌈ 2𝑛5 ⌉ dengan 𝑛 ≥ 2, bilangan dominasi lokasi pada graf cycle adalah 𝛾𝐿(𝐶𝑛) = ⌈ 2𝑛5 ⌉ dengan 𝑛 ≥ 3 dan bilangan dominasi lokasi pada pan graph adalah 𝛾𝐿(𝑇𝑛,1) = {2 , 𝑛 = 3             3 , 𝑛 = 4              ⌊2n5⌋ + 1 , 𝑛 ≥ 5.  DAFTAR PUSTAKA [1] Chellali M, Mimouni M dan Slater PJ. On Locating-Domination in Graphs. Discussiones Mathematicae Graph Theory. 2010; 30:223-235. [2] Hernando C, Mora M dan Pelayo M. Locating Domination in Bipartite Graphs and Their Complements. Departament de Matematiques. 2018; 2:1-15. [3] Munir  R. Matematika Diskrit Ed-3. Bandung: Informatika; 2010. [4] Murtaza M, Fazil M, Javaid I dan Benish H. Locating-Dominating Set of Functigraphs. Mathematics Subject Classification. 2017;1:1-14. [5] Damayanti TR. Automorfisme Graf Bintang dan Graf Lintasan, Jurnal Cauchy. 2011; 2:2086-0382. [6] Siddiqui N dan James M. Domination and Chromatic Number of Pan Graph and Lollipop Graph. International Journal of Technical Innovation in Modern Engineering & Science (IJTIMES). 2018; 4:932-939. [7] Ayhan AK dan Omar AK. Determination and Testing the Domination Numbers of Tadpole Graph, Book Graph and Stacked Book Graph Using MATLAB. College of Basic Education Researchers Journal. 2010; 10(1):491-504. [8] Huang J dan Xu JM. Domination and Total Domination Contraction Number of Graphs. Ars Combinatoria. 2010; 94:431-443. [9]   Foucaud F, Mertzios GB, Naserasr R, Parreau A dan Valicov P. Identification, Location-Domination and Metric Dimension Interval and Permutation Graphs. II. Algorithms and Complexity. Algorithmica. 2016; 78(3): 914-944.  ELISHABET YOHANA : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak elishabetyohana@gmail.com YUNDARI   : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak yundari@math.untan.ac.id FRANSISKUS FRAN  : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak fransiskusfran@math.untan.ac.id (a) (a) (b) 

BILANGAN DOMINASI LOKASI PADA PAN GRAPH

http://jurnal.untan.ac.id/index.php/jbmstr/article/download/39912/75676585483

BILANGAN DOMINASI LOKASI PADA PAN GRAPH

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

BIMASTER