Получена формула для представления логарифма произведения трех 3х3 матриц группы монодромии проблемы Римана. С помощью метода логарифмирования построены дифференциальные 3х3 матрицы уравнения Фукса с четырьмя особыми точками. We obtain a closed formula for a logarithm of a product of three 3х3 matrices for monodromy group of the Riemann problem. Using the logarithmization method we construct differential 3х3 matrices for the Fuchs equation with four singular points

Жоровина, Тамара Николаевна

Хвощинская, Людмила Аркадьевна

Repository of the Belarusian State Agrarian Technical University

ISSN 2712-8873            Математические методы в технологиях и технике.             2021. №3 7 КАЧЕСТВЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ  И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ УДК 517.91      DOI 10.52348/2712-8873_MMTT_2021_3_7 ПОСТРОЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 3×3 МАТРИЦ ПРОБЛЕМЫ РИМАНА С ЧЕТЫРЬМЯ ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ Л.А. Хвощинская1, Т.Н. Жоровина2 1 Белорусский государственный аграрный технический университет, Беларусь, Минск, ludmila.ark@gmail.com 2 Белорусский государственный университет, Беларусь, Минск, zhorovina@bsu.by Аннотация.  Получена формула для представления логарифма произведения трех 3×3 матриц группы монодромии проблемы Римана. С помощью метода логарифмирования построены дифференциальные 3×3 матрицы уравнения Фукса с четырьмя особыми точками. Ключевые слова: проблема Римана, группа монодромии, дифференциальное уравнение класса Фукса, метод логарифмирования. CONSTRUCTION DIFFERENT 3×3 MATRICES OF THE RIEMANN PROBLEM WITH FOUR SINGULAR POINTS  L.A. Khvostchinskya1, T.N. Zhorovina2 1 Belarusian State Agrarian Technical University, Republic of Belarus, Minsk, ludmila.ark@gmail.com 2 Belarusian State University, Republic of Belarudifferential matrices s, Minsk, zhorovina@bsu.by Abstract: We obtain a closed formula for a logarithm of a product of three 3×3 matrices for monodromy group of the Riemann problem. Using the logarithmization method we construct differential 3×3 matrices for the Fuchs equation with four singular points. Keywords: Riemann problem, monodromy group, Fuchs class differential equation, logarithmization method.  Настоящая работа является логическим продолжением работ [1, 2] по решению проблемы Римана для системы трех функций.  Дальнейшему продвижению в этом направлении способствовало применение «метода логарифмирования произведения матриц» размерностей 2×2 и 3×3 [3]. Актуальность построения решения проблемы Римана с числом особых точек большим трех и увеличением числа искомых функций обусловлена ее приложениями в гидромеханике, электростатике, теории упругости, теории конформных отображений и др [4].  Цель данной работы — применить «метод логарифмирования» к произведению трех матриц размерности 3×3 и построить дифференциальные матрицы (матрицы-вычеты) проблемы Римана для системы трех функций с четырьмя особыми точками. Рассмотрим следующую задачу. Найти систему трех функций ( ) ( )1 2 3, ,Y z y y y= , аналитических в комплексной плоскости , за исключением четырех точек 1 2 3 4, , ,a a a a =   , при обходе вокруг которых функция ( )Y z  испытывает линейные преобразования с помощью постоянных невырожденных 3×3 матриц 1 2 3 4, , ,V V V V , образующих группу монодромии, 1 2 3 4V V V V E= . Выбераем класс функций, интегрируемых при , 1,2,3,kz a k→ =  и почти ограниченных (т.е. допускающих логарифмическую особенность) при  z → . В выбранном классе функций задача будет безусловно разрешимой. Обозначим характеристические числа матриц kV  через , , ,k k k    1,..., 4k = , и найдем числа 1ln ,2k ki =   1ln ,2k ki =    1ln2k ki = , Re ,Re ,Re ( 1,0]k k k    − , 1,..., 4k = . ISSN 2712-8873            Математические методы в технологиях и технике.             2021. №3 8 В качестве 4 4 4, ,    выберем из характеристических чисел матрицы 4V , для которых 4 4 4Re Re Re    . Обозначим  ,k k k ks   = + +  ,k k k k k k kr      = + +  k k k kd   = , 1, 2,3k = , ( )41 k k kk  == − + + . Целое число  называется суммарным индексом задачи, 0 11  . Порядки столбцов решений задачи на бесконечности характеризуют числа 4 1,k  = +  4 2 ,k  = +  4 3k  = + , где целые числа 1 2 3, ,k k k  удовлетворяют соотношению Фукса  1 1 1 2 2 2 3 3 3 3             + + + + + + + + + + + = ,  т.е. 1 2 3 3k k k+ + = + . Следовательно,  1 ( ) / 3 ,jk j= + −  1, 2,3j = , и       3 3 3( 2) / 3 , ( 1) / 3 , / 3       = + + = + + = + .  Для сокращения дальнейших записей обозначим , 1 , 2       = − = − = − , т.е. 1 1 1 2 2 2 3 3 3           + + + + + + + + = + + . Также, как и в случае трех особых точек, строим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет матрица ( ) ( )( ) ( )( ) ( )21 1 120 2 2 223 3 3( )y р z y р z yX z y р z y р z yy р z y р z y    =     ,  столбцы которой также являются решениями задачи: 100 230 0 ( )1 ( )0 1 ( )zdXX p p p zdzp z  =    , где ( )( )( )1 2 3( )p z z a z a z a= − − −  ,  а ( ), 1,2,3k z k =  ‒ некоторые функции. Проводя преобразования уравнения аналогично тому, как это выполнено в случае трех особых точек, устанавливаем, что общее решение проблемы Римана представляет 3×3 матрицу ( )Х z , столбцы которой являются решениями проблемы, а порядок определителя равен сумме порядков столбцов (так называемая «каноническая матрица»). Матрица ( )Х z  удовлетворяет дифференциальному уравнению Фукса 31 21 2 3UU UdХХdz z a z a z a = + + − − − ,        (1) причем дифференциальные матрицы 1ln2k kU Vi, 1, 2,3k = , а для элементов матриц ( )( )kk ijU u=  выполняются равенства ( )31 0ku =  и  ( ) ( )21 32k ku u= , 1, 2,3k = . Для того, чтобы выразить элементы матриц kU через элементы матриц монодромии, воспользуемся следующей теоремой. Теорема1. Пусть 1 2,V V  ‒ постоянные невырожденные 3×3 матрицы  с характеристическими числами , ,k k k   , 1, 2k = , 1 2V V V=  имеет характеристические числа , ,   , 1ln ,2k ki =1ln ,2k ki =  1ln2k ki = , 1, 2k = , 1ln ,2 i =1ln ,2 i =   1ln2 i = , причем   1 1 1 2 2 2        + + + + + = + + . Тогда матрица  ISSN 2712-8873            Математические методы в технологиях и технике.             2021. №3 9 0 00 00 0S  =                                                                                                               (2) представима в виде суммы двух матриц      2 212 13 12 131 2 22 23 22 2333 3301 10 1 0 1cs c s cs c sS S S c s cs c s csc s c s   − −   = + = − + − −      − −   ,                                              (3) где                         22 2 1 1 233 2 1 1 212 2 1 1 113 12 33 2 23 2 12 22 33( ) ( ) / ( ),( ) ( ) / ( ),( )( )( ) / ( ),( ) , ( )( ),s s s r rs s s r rs ds s s d s r s s s                   = − − − + − −= − − − − + −= − − − − −= − − = − − − −                                                            (4) c  — произвольная постоянная, причем матрицы 1ln2k kS Vi, 1, 2k = . Для того, чтобы построить дифференциальные матрицы проблемы Римана с четырьмя особыми точками и группой монодромии 1 2 3 4, , , ,V V V V  1 2 3 4 ,VV V V E=  представляем матрицу 14V−  в виде произведений двух матриц 14 1 2 3( )V V V V− = , 14 1 2 3( )V V V V− = , и к каждому из них применим формулу (3).  Обозначим 12 12,  , 12  и 23 23,  , 23  — характеристические числа матриц 12 1 2V V V=   и 23 2 3V V V=  , а также найдем числа 12 121ln2 i = , 12 121ln2 i = ,12 121ln2 i = , 23 231ln2 i = , 23 231ln2 i = , 23 231ln2 i = , ветви которых выбираются из условий 12 12 12 1 1 1 2 2 2        + + = + + + + + ,                 23 23 23 2 2 2 3 3 3        + + = + + + + + , 12 12 12 12 12 12 12 ,r      = + +  23 23 23 23 23 23 23r      = + + , 12 12 12 12d   = , 23 23 23 23.d   =  Представим матрицу (2) в виде сумм трех и двух матриц 1 2 3 1 23 12 3S S S S S S S S= + + = + = + ,                                                                                       (5) где 1ln2k kS Vi, 1, 2k = ,3,   12 121ln2~S Vi, 23 231ln2~S Vi,  используя формулу (8). В результате получим следующие два представления: (1) 2 (1) (1) 2 (1)1 12 1 13 1 12 1 13(1) (1) (1) (1)1 23 22 1 23 1 22 1 231(1) (1)1 33 1 3301 10 1 0 1c s c s c s c sS S S c s c s c s c sc s c s   − −   = + = − + − −      − −   , (3) 2 (3) (3) 2 (3)2 12 2 13 2 12 2 13(3) (3) (3) (3)12 3 22 2 23 2 22 2 232(3) (3)2 33 2 3301 10 1 0 1c s c s c s c sS S S c s c s c s c sc s c s   − −   = + = − − + −      − −   , ISSN 2712-8873            Математические методы в технологиях и технике.             2021. №3 10 где 1 2,с с  – произвольные постоянные. Значения элементов (1)ijs  находятся по формулам (4) при замене 2 2 2, ,s r d  соответственно на 2 3 23 23, ,s s r d+  , а значения (3)ijs  – при замене 1 1 1, ,s r   на 1 2 12 12, ,s s r +   и 2 2 2, ,s r d   на 3 3 3, ,s r d с дальнейшими преобразованиями:       (1)22 2 3 1 1 23 1 1 23(1)33 2 3 1 1 23 1 1 23( ) ( ) / ( ) ( )( ) / ( ),( ) ( ) / ( ) ( )( ) / ( ),s s s s r r s r rs s s s r r s r r                      = + − − − + − − = + − + + − −= − + − + − − + − = + − − − + −  (1)12 23 1 1 1(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)13 12 33 23 23 23 12 22 33( )( )( ) / ( ),( ) , ( )( ),s ds s s d s r s s s         = − − − − −= − − = − − − −                                                    (6)    (3)22 3 1 2 3 12 3 3 12( ) ( ) ( ) / ( ) ( )( ) / ( ),s s s s r r s r r              = − − − + + − + − − = + − + + − −     (3)33 3 1 2 3 12 3 3 12( ) ( ) ( ) / ( ) ( )( ) / ( ),s s s s r r s r r              = − + − − + − − + − = + − − − + −   (3)12 12 12 12 3(3) (3) (3) (3) (3) (3) (3)13 12 33 3 23 22 33 3 12( )( )( ) / ( ),( ) , ( )( ) .s ds s s d s s s r s         = − − − − −= − − = − − − + Из (5) следует, что   (1) (3) 2 (1) 2 (3)1 12 2 12 1 13 2 13(1) (3) (1) (3)2 12 1 23 3 22 22 1 23 2 231 2(1) (3)2 33 33101 10 1 1c s c s c s c sS S S S S c c s s c s c sc c s s − + − + = − = − = − − − − +  − − − . Поскольку 2 21ln2S Vi, то сумма диагональных миноров второго порядка матрицы 2S равна 2r , и мы получаем уравнение, связывающее постоянные 1c  и 2c : ( )( ) ( )( )(1) (1) (3) (3) (1) (3) (1) (3)1 23 12 2 12 23 22 22 33 33 21 21 1 ( ) ( )c c c s s c s s s s s s r − + − + + − − − − = , или ( )( )(1) (1) (3) (3) (2) (2)1 23 12 2 12 23 22 33 21 21 1 ( ) ( )c c c s s c s s s s r− + − + + = ,                                                   (7) где    (2) (1) (3)22 22 22 2 2 13( )( ) / ( ),s s s s r r      = − − = + − + + − −                                                 (2) (1) (3)33 33 33 2 1 23( )( ) / ( ),s s s s r r      = − − = + − − − + −         (8)12 13 23 1 2 3r r r r r r   + + − − − = + + .           Введем обозначения (1) (1) (1) (1) (1) (1)1 12 23 1 22 33 22 33( ),s s r s s s s = + = − − +     (2) (2)2 2 22 33 ,r s s = −    (3) (3) (3) (3)3 12 23 3 22 33s s r s s = + = −    и перепишем уравнение (7) в виде   ( )( )1 1 2 3 21 21 1c c c c  − − = , или 1 21 1 3 3 22 1c cc c    − − + = .  Обозначив 1 2c c = , приходим к квадратному уравнению относительно  : ( )21 2 1 3 3 0      + − − + = .                                                                           (9) Сформулируем полученный результат. Теорема 2. Каноническая матрица ( )Х z  проблемы Римана с 33 матрицами монодромии и четырьмя особыми точками  1 2 3 4, , ,a a a a =   удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) с дифференциальными матрицами ISSN 2712-8873            Математические методы в технологиях и технике.             2021. №3 11 (1) 2 (1)12 13(1) (1)1 22 23(1)3310 1cs c sU c s csc s  = −  − , ( ) ( )( ) ( )( )(1) (3) 2 (1) 2 (3)12 12 13 13(2) (1) (3)2 22 23 23(2)330 1 110 1c s s c s sU c s c s sc s   − + − +  = − + − +  − + ,           (3) 2 2 (3)12 13(3) (3)3 22 23(3)3300c s c sU c s c sc s    =    , элементы которых находятся по формулам (6), (7), (9), c – произвольная постоянная.   Библиографический список  1. Хвощинская Л. А. Построение дифференциального уравнения с группой монодромии третьего порядка и тремя особыми точками // Математические методы в технике и технологиях: сб. тр. XXXII Междунар.науч. конф.: в 12 т. Т. 12: в 3 ч. Ч. 3. под общ. ред. А. А. Большакова. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та. 2019. С. 3–6. 2.  Хвощинская Л. А., Жоровина Т.Н. Метод логарифмирования произведения матриц группы монодромии третьего порядка Проблемы Римана // Математические методы в технике и технологиях: сб. тр. XXXIII Междунар.науч. конф.: в 12 т. Т. 9. под общ. ред. А. А. Большакова. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2020. С.3–6.  3. Khvostchinskaya L., Rogosin S. On a solution method for the Riemann problem with two pairs of unknown functions // Analytic Methods of Analysis and Differential Equations: AMADE-2018. M.V. Dubatovskaya, S.V. Rogosin Eds. Cambridge Scientific Publishers. 2020. pp. 79–112. 4. Еругин Н. П. Проблема Римана. Мн.: Наука и техника. 1982. 336 с.     

Construction different 3х3 matrices of the riemann problem with four singular points

https://rep.bsatu.by/bitstream/doc/13727/1/postroenie-differencialnyh-3h3-matric-problemy-rimana-s-chetyrmya-osobymi-tochkami.pdf

Construction different 3х3 matrices of the riemann problem with four singular points

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository of the Belarusian State Agrarian Technical University