The article considers the representation of framed building as a three-dimensional bar system and simulation of obtained bar system by the finite element method. Underway the bar state equations and the equations system solution in the Cauchy form were obtained. Also article deals with obtaining of stiffness matrix linking nodal forces and nodal displacements. The obtained results are applicable for both the statically determinate systems and the statically indeterminate ones.<br>Рассмотрено представление конструкции каркасного здания пространственной стержневой системой и моделирование полученной стержневой системы методом конечных элементов. Составлены уравнения состояния стержня и получено решение системы уравнений в форме Коши. Получена матрица жесткости, связывающая узловые силы и узловые перемещения. Полученные результаты применимы как для статически определимых, так и для статически неопределимых систем

Kovalchuk Oleg Aleksandrovich

The article considers the representation of framed building as a three-dimensional bar system and simulation of obtained bar system by the finite element method. Underway the bar state equations and the equations system solution in the Cauchy form were obtained. Also article deals with obtaining of stiffness matrix linking nodal forces and nodal displacements. The obtained results are applicable for both the statically determinate systems and the statically indeterminate ones.Рассмотрено представление конструкции каркасного здания пространственной стержневой системой и моделирование полученной стержневой системы методом конечных элементов. Составлены уравнения состояния стержня и получено решение системы уравнений в форме Коши. Получена матрица жесткости, связывающая узловые силы и узловые перемещения. Полученные результаты применимы как для статически определимых, так и для статически неопределимых систем

Directory of Open Access Journals

ISSN 2223-8565. Nauka, stroitel`stvo, obrazovanie. 2012. № 2. http://www.nso-journal.ru    УДК 624.078 О.А. Ковальчук МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Рассмотрено  представление  конструк-ции  каркасного  здания  пространственной стержневой системой и моделирование полу-ченной  стержневой  системы  методом  конеч-ных элементов. Составлены уравнения состо-яния  стержня  и  получено  решение  системы уравнений в форме Коши. Получена матрица жесткости, связывающая узловые силы и уз-ловые перемещения. Полученные результаты применимы как для статически определимых, так и для статически неопределимых систем. Ключевые  слова:  пространственная стержневая  система,  метод  конечных  элемен-тов (МКЭ), метод перемещений, узловое пере-мещение, вектор узловых перемещений, вектор узловых сил, матрица жесткости. O.A. Kovalchuk THE SIMULATION OF THREE-DIMENSIONAL BAR SYSTEMS BY THE FINITE ELEMENT METHOD The article considers the representation of framed building as a three-dimensional bar system and simulation of obtained bar system by the finite element method. Underway the bar state equations and the equations system solution  in  the  Cauchy  form  were  obtained. Also article deals with obtaining of stiffness matrix  linking  nodal  forces  and  nodal  dis-placements. The obtained results are applica-ble for both the statically determinate systems and the statically indeterminate ones. Key words: three-dimensional bar sys-tem, finite element method, deflection meth-od,  node  displacement,  node  displacement vector, node force vector, stiffness matrix. Конструкции  каркасных  зданий  могут  быть  представлены  системой прямых стержней. Наиболее распространен для их моделирования метод ко-нечных  элементов  (МКЭ),  который  позволяет  найти  состояние  каждого стержня путем разбиения каждого стержня на конечные элементы (КЭ)  – стержни меньшей длины, причем при увеличении количества КЭ решение стремится к точному в рамках принятой математической модели. Рассмот-рим один из возможных приемов формулировки соотношений для КЭ, счи-тая, что материал линейно-упругий, деформации малы, малы углы поворота сечения, справедливы гипотезы плоских сечений и ненадавливания слоев, параллельных оси, друг на друга [1–3]. Примем систему декартовых коор-динат x, y, z, где х – продольная (осевая) координата, y, z – главные цен-тральные оси инерции. Будем считать, что оси х, y, z совмещены с ортами естественного  трехгранника  (трех-гранника Френе [3, 4]) t, n, b (каса-тельной, нормалью, бинормалью). В рамках этих гипотез уравне-ния  состояния  стержня  могут  быть записаны  в  виде  (1),  где  u,  v,  w  – компоненты вектора перемещения в выбранной  системе  координат;   t,  b,   n – углы поворота сечения от-носительно  ортов  естественного трехгранника;  Mt  –  крутящий,  Mb, Mn – изгибающие моменты; N – осе-вая (тангенциальная); Qn, Qb – попе-речные  силы,  первая  (левая)  группа уравнений есть геометрические и фи- t ;;;;;;;;;;;.ttbbnbnnttttb b nnbn n bbnu N MJx EA xvMQxxwMQxxMNu A qx GJ xMQv A qx EJ xMQw A qx EJ x                     (1) Строительная механика и расчет сооружений © Ковальчук О.А., 2012  2 зические уравнения, правая группа – уравнения движения. Инерция поворо-та сечения относительно ортов n и b не учитывается. Вводя вектор состояния   ( , ) ( , ) t b n t b n n b y x t u v w M M M N Q Q x t     ,   (2) перепишем (1) в матричной форме: - ( , ), y Ay My q x t                         (3) где ненулевые компоненты матриц А и М очевидным образом определяются из уравнений состояния (2),   ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) t n t q x t q q q x t  .            (4) Рассмотрим пока задачу статики, опуская инерционные члены (полагая М нулевой матрицей). Тогда из (3) получим: - ( ) y Ay q x  .                         (5) Это  система  обыкновенных  дифференциальных  уравнений  с  постоянной матрицей. Ее решение примем в форме Коши [2]: 0 12 ( ) ( ) ( ), (0) q y x V x y F x V I    ,                   (6) где I12 – единичная матрица 12 порядка; у0 – состояние стержня в начале ко-ординат (начальные параметры); V(x) – матрица фундаментальных решений (5); Fq(x) – частное решение (5), соответствующее заданным распределен-ным нагрузкам (4). Найти V(x) и Fq(x) можно, применяя к (5) преобразование Лапласа:   * * *00 Обр.Лапл.112 Обр.Лапл.0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( ); ( ) ( ) ( ) .q sxq sy s V s y q s y x V x y F xsI A V x F x V x q d                     (7) Здесь использована теорема о свертке [5]. Таким образом, состояние в лю-бой точке стержня выражается через начальные параметры y0. Используем форму решения (6). Предварительно отметим следующее: вектор состояния (2) можно представить в виде разбиения на два подвекто-ра, один из которых содержит в себе только кинематические, второй – толь-ко силовые факторы:    ,,.CFC t b nF t b n n by y yy u v wy M M M N Q Q                     (8) Тогда (6) можно представить разбиением 0000( ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ).C CC C CF F qCF FC C FF F qFy x V x y V x y F xy x V x y V x y F x                     (9) Исключим силовые факторы в начале стержня через перемещения его конца, записывая первое уравнение (9) для конца стержня при s = L:  00100( ) ( ) ( ) ( );( ) ( ) ( ) .C kC CC C CF F qCF CF kC CC F qCy L y V L y V L y F Ly V L y V L y F L                   (10) Теперь подставим результат в (9) и получим выражения для состояния в лю-бой точке стержня через узловые перемещения: О.А. Ковальчук Научно-практический Интернет-журнал ﾫНаука. Строительство. Образованиеﾻ. 2012. № 2. http://www.nso-journal.ru  3   11011101( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( );( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).C CC CF CF CC C CF CF kC qCCF CF qCF FC FF CF CC C FF CF kC qFFF CF qCy x V x V x V L V L y V x V L y F xV x V L F Ly x V x V x V L V L y V x V L y F xF x V L F L                 (11) Введем вектор узловых перемещений так:   0 . C kC u y y                       (12) Тогда выражение для вектора состояния примет вид 1 ( ) ( ) ( ) q y x D s u F x ,                    (13) где 111111 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ;( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) .( ) ( ) ( ) ( )CC CF CF CC CF CFFC FF CF CC FF CFqC CF CF qCqqF FF CF qCV x V x V L V L V x V LDxV s V s V L V L V s V LF x V x V L F LFxF x V x V L F L                      (14) Теперь запишем выражение узловых сил через узловые перемещения, записывая первое уравнение (11) и последнее оттуда же, но при x = L:  1 1 1001101( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ).F CF kC CF CF F CF qCkF FC FF CF CF C FF CF kCqF FF CF qCy V L y V L V L y V L F Ly L V L V L V L V L y V L V L yF L V L V L F L        Можно придать последним выражениям следующий вид: 2 q F Ku F ,                       (15) где  102 1( ) ( );( ) ( ) ( ) ( )CF qCF kF qqF FF CF qCV L F LF y y FF L V L V L F L       ;           (16) 11011( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CF CC F CFFC FF CF CC FF CFV L V L y V LKV L V L V L V L V L V L    .           (17) Выражение (15) дает нам сумму внешних (второе слагаемое) и внут-ренних сил (включая и силы инерции), сходящихся в одном узле. Тогда из него получаем разрешающее уравнение для одного стержня: 2 0 q Ku F  .                       (18) Матрица К связывает узловые силы и узловые перемещения и поэтому может быть названа матрицей жесткости, а вектор Fq2 – вектором узловых сил, эквивалентным распределенной нагрузке. Выражение (18) по форме та-кое же, как и аналогичное уравнение МКЭ, и, следовательно, к нему можно применить известный алгоритм МКЭ в форме метода перемещений. Так как уравнение (18) по форме аналогично разрешающему уравне-нию МКЭ, то для моделирования стержневой системы можно использовать традиционный алгоритм метода перемещений МКЭ [6, 7]. Далее  приводятся  решения  некоторых  простых  задач  для  одного стержня и стержневых систем, которые поддаются проверке методом сече-ний. Материал стержней – сталь, размеры определялись глобальными коор-динатами узлов, поперечное сечение – прямоугольник с соотношением сто-рон высота : ширина = 2 : 1. Вместо эпюр внутренних силовых и кинематиче-ских  факторов  для  каждого  стержня  приведены  их  графики  в  локальных координатах, а также формы деформированной стержневой системы. При-Строительная механика и расчет сооружений © Ковальчук О.А., 2012  4 нято, что вектор нормали лежит в вертикальной плоскости, включающей в себя ось стержня. Рис. 1. Консольный стержень, нагруженный силой в начале, действующей по норма-ли к оси  Рис. 2. Плоская Г-образная рама, защемленная одним концом и нагруженная крутя-щим моментом на другом  О.А. Ковальчук Научно-практический Интернет-журнал ﾫНаука. Строительство. Образованиеﾻ. 2012. № 2. http://www.nso-journal.ru  5   Рис. 3. Стержень, защемленный двумя концами, нагруженный моментом посередине Результаты, приведенные на рис. 1, 2, 3 [8], не противоречат кинемати-ческим и статическим воззрениям на состояния стержней и их систем. Рас-четы  возможны  как  для  статически  определимых,  так  и  для  статически неопределимых систем, что определяется применением алгоритма МКЭ для создания ансамбля конечных элементов. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1.  Александров  А.В.,  Лащеников  Б.Я.,  Шапошников  Н.Н.  Строительная  механика. Тонкостенные пространственные системы. М. : Стройиздат, 1983. 488 c. 2. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. М. : Высшая школа, 2003. 560 с. 3. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М. : Высшая школа, 1979. 318 с. 4. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике. М. : Наука, 1978. 720 с. 5. Шостак Р.Я. Операционное исчисление. М. : Высшая школа, 1972. 279 с. 6. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов X.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М. : Высшая школа, 1985. 392 с. Строительная механика и расчет сооружений © Ковальчук О.А., 2012  6 7. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых кон-струкций. Л. : Судостроение, 1974. 476 с. 8. Макаров Е.Г. Сопротивление материалов на базе Mathcad. СПб : БХВ-Петербург, 2004. 512 с. REFERENCES 1.  Aleksandrov  A.V.,  Lashchenikov  B.Ja.,  Shaposhnikov  N.N.  Stroitel'naya  mekhanika. Tonkostennye  prostranstvennye  sistemy  [Structural  Mechanics.  Thin-walled  three-dimensional system]. Moscow, 1983, p. 488. 2. Aleksandrov A.V., Potapov V.D., Derzhavin B.P. Soprotivlenie materialov [Strength of the materials]. Moscow, 2003, p. 560. 3. Tolokonnikov L.A. Mehanika deformiruemogo tverdogo tela [Deformable solid mechan-ics]. Moscow, 1979. p. 318. 4. Korn G.A., Korn T.M. Spravochnik po matematike [References book of Mathematics]. Moscow, 1978. p. 720. 5. Shostak R.Ja. Operatsionnoe ischislenie [Operational calculus]. Moscow, 1972, p. 279. 6. Obraztsov I.F., Savel'ev L.M., Hazanov X.S. Metod konechnykh elementov v zadachakh stroitel'noy mekhaniki letatel'nykh apparatov [The finite element method for the problems of air-craft structural theory]. Moscow, 1985, p. 392. 7. Postnov V.A., Harhurim I.Ja. Metod konechnykh elementov v raschetahh sudovyhh kon-struktsiy [The finite element method for the ship structures calculation], Leningrad, 1974, p. 476. 8.  Makarov  E.G.  Soprotivlenie  materialov  na  baze  Mathcad  [Constructional  materials based on Mathcad]. St. Petersburg, BHV, 2004, p. 512. Поступила в редакцию в апреле 2012 г. Об  авторе:  Ковальчук  Олег  Александрович, кандидат  технических  наук,  доцент,  директор Института  фундаментального  образования, ФГБОУ ВПО ﾫМГСУﾻ, 129337, г. Москва, Яро-славское шоссе, д. 26, oko44@mail.ru About the author: Kovalchuk Oleg Aleksandrovich, candidate of  technical  sciences,  docent, director  of the Fundamental Education Institute, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaro-slavskoye shosse, 129337, Moscow, Russian Federa-tion, oko44@mail.ru Для цитирования: Ковальчук О.А. Моделирование пространственных стержневых систем методом конеч-ных  элементов  //  Научно-практический  Интернет-журнал  ﾫНаука.  Строительство.  Образова-ниеﾻ. 2012. Вып. 2. Режим доступа: http://www.nso-journal.ru. For citation: Kovalchuk O.A. Modelirovanie prostranstvennykh sterzhnevykh system metodom konechnykh ele-mentov  [The  simulation  of  three-dimensional  bar  systems  by  the  finite  element  method]  Nauchno-prakticheskiy Internet-zhurnal ﾫNauka. Stroitel'stvo. Obrazovanieﾻ [Science, construction, education], 2012, no. 2. Available at: http://www.nso-journal.ru. 

Stroitel stvo nauka i obrazovanie [Construction Science and Education]

The simulation of three-dimensional bar systems by the finite element method Моделирование пространственных стержневых систем методом конечных элементов

The simulation of three-dimensional bar systems by the finite element method Моделирование пространственных стержневых систем методом конечных элементов

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Directory of Open Access Journals