[ES] Se deriva un mapeo entre la ecuación de Schr¿odinger y la de Navier-Stokes, que generaliza el que propuso Madelung en 1926 con la ecuación de Euler. Dado que la mecánica de fluidos es el paradigma de teoría emergente, estos mapeos apoyan la interpretación de la mecánica cuántica como una teoría efectiva, emergente a partir de otra más fundamental. En el nuevo mapeo, además, el potencial cuántico se identifica con el término viscoso, en línea con recientes estudios que afirman que la cuanticidad tiene un origen disipativo.[EN] We derive a mapping between the Schro¿ dinger equation and the
Navier-Stokes equation, which generalizes the one proposed by Madelung in 1926 with the Euler 
equation. Since ¿uid mechanics is the paradigm of an  emergent  theory,  these  maps  support the 
interpretation of quantum mechanics as an effective theory, emerging from a more fundamental one. 
In the new mapping, moreover, the quantum potential is identi¿ed with the viscous term, in  line  
with  recent  studies  that  claim  that  quantumness  has  a
dissipative origin.J. Vazquez agradece a Manuel Monleón Pradas las referencias
y discusiones sobre mecánica del medio continuo, y agradece la financiación al Programa de Becas de Movilidad Académica de la AUIP y al Programa de Ayudas de Investigación y Desarrollo de la UPV. D. Cabrera agradece la financiación del proyecto con Ref. FIS2014-51948-C2-1-P del Ministerio de Economía y Competitividad (España).Cabrera, D.; Fernández De Córdoba Castellá, PJ.; Isidro San Juan, JM.; Valdés Placeres, JM.; Vazquez Molina, J. (2016). La ecuación de Schrödinger en el contexto de la mecánica de fluidos. Revista Cubana de Fisica. 33(2):98-101. http://hdl.handle.net/10251/150048S9810133

Cabrera, D.

Fernández De Córdoba Castellá, Pedro José

Isidro San Juan, José María

Valdés Placeres, J. M.

Vazquez Molina, J.

Spanish

[ES] Se deriva un mapeo entre la ecuación de Schrödinger y la de Navier-Stokes, que generaliza el que propuso Madelung en 1926 con la ecuación de Euler. Dado que la mecánica de fluidos es el paradigma de teoría emergente, estos mapeos apoyan la interpretación de la mecánica cuántica como una teoría efectiva, emergente a partir de otra más fundamental. En el nuevo mapeo, además, el potencial cuántico se identifica con el término viscoso, en línea con recientes estudios que afirman que la cuanticidad tiene un origen disipativo.[EN] We derive a mapping between the Schrödinger  equation and the
Navier-Stokes equation, which generalizes the one proposed by Madelung in 1926 with the Euler 
equation. Since ¿uid mechanics is the paradigm of an  emergent  theory,  these  maps  support the 
interpretation of quantum mechanics as an effective theory, emerging from a more fundamental one. 
In the new mapping, moreover, the quantum potential is identi¿ed with the viscous term, in  line  
with  recent  studies  that  claim  that  quantumness  has  a
dissipative origin.J. Vazquez agradece a Manuel Monleón Pradas las referencias
y discusiones sobre mecánica del medio continuo, y agradece la financiación al Programa de Becas de Movilidad Académica de la AUIP y al Programa de Ayudas de Investigación y Desarrollo de la UPV. D. Cabrera agradece la financiación del proyecto con Ref. FIS2014-51948-C2-1-P del Ministerio de Economía y Competitividad (España).Cabrera, D.; Fernández De Córdoba Castellá, PJ.; Isidro San Juan, JM.; Valdés Placeres, JM.; Vazquez Molina, J. (2016). La ecuación de Schrödinger en el contexto de la mecánica de fluidos. Revista Cubana de Fisica. 33(2):98-101. http://hdl.handle.net/10251/1500489810133

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Rev. Cub. Fis. 33, 98 (2016) ARTI´CULOS ORIGINALESLA ECUACIO´N DE SCHRO¨DINGER EN EL CONTEXTO DE LAMECA´NICA DE FLUIDOSTHE SCHRO¨DINGER EQUATION IN THE CONTEXT OF FLUID MECHANICSD. Cabreraa, P. Ferna´ndez de Co´rdobaa, J.M. Isidroa, J.M. Valde´s Placeresb y J. VazquezMolinaa†a) Instituto Universitario de Matema´tica Pura y Aplicada, Universitat Polite`cnica de Vale`ncia, Espan˜a; joavzmo@doctor.upv.es†b) Departamento de Matema´ticas, Universidad de Pinar del Rı´o “Hermanos Saı´z Montes de Oca”, Cuba† autor para la correspondenciaRecibido 16/9/2016; Aceptado 17/10/2016Se deriva un mapeo entre la ecuacio´n de Schro¨dinger y la deNavier-Stokes, que generaliza el que propuso Madelung en 1926con la ecuacio´n de Euler. Dado que la meca´nica de fluidoses el paradigma de teorı´a emergente, estos mapeos apoyan lainterpretacio´n de la meca´nica cua´ntica como una teorı´a efectiva,emergente a partir de otra ma´s fundamental. En el nuevo mapeo,adema´s, el potencial cua´ntico se identifica con el te´rmino viscoso,en lı´nea con recientes estudios que afirman que la cuanticidadtiene un origen disipativo.We derive a mapping between the Schro¨dinger equation and theNavier-Stokes equation, which generalizes the one proposed byMadelung in 1926 with the Euler equation. Since fluid mechanicsis the paradigm of an emergent theory, these maps supportthe interpretation of quantum mechanics as an effective theory,emerging from a more fundamental one. In the new mapping,moreover, the quantum potential is identified with the viscous term,in line with recent studies that claim that quantumness has adissipative origin.PACS: Foundations of quantum mechanics, 03.65.Ta. Navier-Stokes equations, 47.10.ad. partial differential equations, 02.30.JrI. INTRODUCCIO´NLa interpretacio´n ontolo´gica y epistemolo´gica de lameca´nicacua´ntica ha sido una cuestio´n a debate desde sus inicios. Elmismo Einstein nunca acepto´ que las leyes fundamentales dela naturaleza tuvieran un cara´cter indeterminista intrı´nseco[1].La interpretacio´n de Copenhague, que fue la dominantedurante de´cadas, ha dado paso a multitud deinterpretaciones hasta hoy. J. S. Bell divide las principalesinterpretaciones en roma´nticas (en otras palabras, idealistas),y no roma´nticas [2]. Roma´nticas serı´an la interpretacio´n delos muchos mundos, segu´n la cual existe un universo paracada posible resultado de una medida; la complementariedadde Bohr, que establece una separacio´n de escalas y pideque aceptemos la coexistencia de un mundo cua´ntico conuno cla´sico, regidos por diferentes reglas; y el dualismomateria-mente, defendido entre otros por Wigner y Wheeler,que afirma que la mente no se rige por las mismas reglas queel mundo material y ahı´ radica el colapso de la funcio´n deonda. Interpretaciones no roma´nticas serı´an la introduccio´nde elementos no lineales o estoca´sticos en la ecuacio´n deSchro¨dinger; la teorı´a de la onda-piloto de Bohm y de Broglie,segu´n la cual la meca´nica cua´ntica emerge como teorı´aefectiva de una realidad determinista; y la propia actitudpragma´ticadeCopenhague, que ve lameca´nica cua´ntica comoun me´todo de ca´lculo de probabilidades y la despoja de todaontologı´a. “Esta filosofı´a pragma´tica es, pienso, conscienteo inconscientemente la filosofı´a de trabajo de todos los quetrabajan con la teorı´a cua´ntica de forma pra´ctica...mientrastrabajan. [Los fı´sicos] nos diferenciamos so´lo en el grado depreocupacio´n o complacencia con el que vemos...fuera dehoras de trabajo...la ambigu¨edad intrı´nseca de la teorı´a” [2]1.Ya en 1926, tan so´lo unos meses despue´s de la publicacio´nde la ecuacio´n de Schro¨dinger, Erwin Madelung propusouna interpretacio´n hidrodina´mica de lamisma, que podemostomar como el primer antecedente de una interpretacio´nemergentista. [3]. En su artı´culo, Madelung establece unmapeo entre la ecuacio´n de Schro¨dinger, que describe ladina´mica de una partı´cula cua´ntica, y la ecuacio´n de Euler,que describe la dina´mica de un fluido perfecto. Es habitualque la comunidad fı´sica vea estosmapeos como curiosidadesmatema´ticas, sin ninguna consecuencia fı´sica. Sin embargo,existe un renovado intere´s en la propuesta de Madelung(e.g. [4], [5]) en un contexto en el que la posibilidad dela meca´nica cua´ntica como teorı´a emergente cobra fuerza(e.g. [6], [7], [8]).Pero ¿por que´ limitarse a un fluido perfecto? Losfluidos reales son viscosos y la ecuacio´n que describesu comportamiento es la de Navier-Stokes. La diferenciaentre las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes, aunqueformalmente consiste u´nicamente en el te´rmino viscoso, vamucho ma´s alla´ en cuanto a propiedades matema´ticas ysignificado fı´sico. Por ejemplo, la cuestio´n de la existencia yunicidadde solucionesdeunproblemadevalores iniciales dela ecuacio´ndeNavier-Stokes esunode losproblemas abiertosma´s importantes de la matema´tica actual, cuya solucio´nesta´ recompensada con un millo´n de do´lares [9]. En cambio,se conocen contraejemplos a la unicidad y existencia en elcaso de la ecuacio´n de Euler [10], lo que no es ma´s que unaevidencia del cara´cter ideal de esta ecuacio´n. La viscosidadnula no existe, aunque en muchas aplicaciones sirva como1Todas las citas que se incluyen en este artı´culo cuyo original no esta´ en espan˜ol son traducciones propias.REVISTA CUBANA DE FI´SICA, Vol 33, No. 2 (2016) 98 ARTI´CULOS ORIGINALES (Ed. E. Altshuler)aproximacio´n. Ası´, es interesante estudiar la existencia einterpretacio´n de un potencial mapeo entre la ecuacio´n deSchro¨dinger y la de Navier-Stokes, en lugar de la de Euler.II. MECA´NICA DE FLUIDOS vs CUA´NTICAEl objetivo de esta seccio´n es establecer sendos mapeosentre la ecuacio´n de Schro¨dinger y las ecuaciones de Eulery Navier-Stokes, respectivamente. Primero, recordamoslos fundamentos fı´sicos necesarios para una correctainterpretacio´n de las ecuaciones involucradas.II.1. Fluidos, Euler y Navier-StokesLameca´nica de fluidos es una rama de lameca´nica delmediocontinuo. “Esto significa que cualquier pequen˜o elemento devolumen en el fluido se asume siempre lo bastante grandecomo para contener un gran nu´mero de mole´culas” [8]. Seasume que todas las funciones que se emplean esta´n biendefinidas y son lo suficientemente suaves a trozos como parapermitir las operaciones esta´ndar del ca´lculo infinitesimal.Estas funciones macrosco´picas, por lo general medibles, seasume que son el promediado de variablesmeca´nicas va´lidasa una escala ma´s fundamental (las posiciones y velocidadesde las mole´culas que menciona Landau), lo que hace que lameca´nica del medio continuo sea el paradigma de teorı´aemergente.¿Cua´l es el espacio de estados de un fluido? “La descripcio´nmatema´tica del estado de un fluido en movimiento seefectu´a mediante funciones que dan la distribucio´n de lavelocidad del fluido y dos cantidades termodina´micas, porejemplo la presio´n y la densidad [...] Por tanto mediantecinco cantidades [...] el estado del fluido en movimientoesta´ completamente determinado [...] En consecuencia, unsistema de ecuaciones de dina´mica de fluidos deberı´acontener cinco ecuaciones para ser completo” [11].Es decir, el estado de un fluido viene descrito por un campovectorial: v, p, ρ : R3 ×R→ R3 ×R+ ×R+, que a cada puntodel espacio-tiempo (x, t) le asigna una velocidad, presio´n ydensidad.Las cinco ecuaciones que describen la dina´mica del camposon:La ecuacio´n de continuidad.Una ecuacio´n termodina´mica, como ladel flujode calor.Una ecuacio´n (vectorial) que describa la dina´mica delcampo de velocidadesPara fluidos viscosos, en los que existe transferenciatangencial de momento, e´sta u´ltima ecuacio´n es la ecuacio´nde Navier-Stokes. En la notacio´n de [11], e´sta es:∂v∂t+ (v · ∇)v + 1ρ∇p − ηρ∇2v − 1ρ(ζ +η3)∇(∇ · v) = 0, (1)donde η, ζ > 0 son los denominados coeficientes deviscosidad (¿por que´ hay dos coeficientes de viscosidad si eltensorde tensiones, apriori, tienenueve componentes?Ve´asee.g. [12] para una derivacio´n matema´ticamente rigurosa y[13] para una derivacio´n ma´s amigable). Si recordamos laidentidad del ca´lculo vectorial: ∇2v = ∇(∇ · v) − ∇ × (∇ × v),la ecuacio´n de Navier-Stokes para un flujo irrotacional sesimplifica a:∂v∂t+ (v · ∇)v + 1ρ∇p − η′ρ∇2v = 0, (2)donde se ha definido:η′ :=43η + ζ. (3)Para el caso de fluidos perfectos, no existen fuerzasmicrosco´picas entre partı´culas y toda la transferencia demomento se debe a la presio´n. Esto se traduce en que laviscosidad es nula, y la dina´mica del fluido viene descritapor la ecuacio´n de Euler:∂v∂t+ (v · ∇)v + 1ρ∇p = 0. (4)II.2. La ecuacio´n de Schro¨dingerEn meca´nica cua´ntica, la dina´mica de la funcio´n de ondaψ(x, t) de una partı´cula de masa m sujeta a un potencial V(x)viene descrita por la ecuacio´n de Schro¨dinger:i∂ψ∂t+22m∇2ψ − Vψ = 0. (5)II.3. AnsatzLa funcio´n de onda se puede separar en amplitud y fasecomo:ψ = ψ0 exp(S +iI)= ψ0A exp( iI), (6)donde I tieneunidadesde accio´nmeca´nica, al igual que ;S esadimensional; y hemos definido A := exp(S) por simplicidaden lo sucesivo.Sustituyendoψ en la ecuacio´n de Schro¨dinger, se obtiene unaecuacio´n cuya parte imaginaria es:∂S∂t+1m∇S · ∇I + 12m∇2I = 0, (7)y cuya parte real es:∂I∂t+12m(∇I)2 + V +U = 0, (8)donde aparece un nuevo te´rmino potencial U, puramentecua´ntico, que hemos definido como:U :=−22m∇A2A=−22m[(∇S)2 + ∇2S]. (9)REVISTA CUBANA DE FI´SICA, Vol 33, No. 2 (2016) 99 ARTI´CULOS ORIGINALES (Ed. E. Altshuler)Si definimos ∇I = mv, el gradiente de la parte real (ec. 8),dividido por m, queda:∂v∂t+ (v · ∇)v + 1m∇U + 1m∇V = 0, (10)donde se ha empleado la identidad vectorial ∇(v2) = 2(v ·∇)v + 2v × (∇ × v) y el hecho de que el rotacional de ungradiente es nulo.II.4. Sendos mapeosLas siguientes identificaciones permiten, por tanto, mapearla ecuacio´n de Schro¨dinger con la de Navier-Stokes, comoalgunos de los autores ya observamos en [14]:Tabla 1. Mapeo de te´rminos entre la ecuacio´n de Navier-Stokes y la deSchro¨dingerNavier-Stokes Schro¨dingermv ∇I∇p/ρ y eventuales Fuerzas externas ∇V/m− η′ρ ∇2v ∇U/mPor otro lado, el mapeo que Madelung observo´ en [3], ennuestra notacio´n, establece que:Tabla 2. Mapeo de te´rminos entre la ecuacio´n de Euler y la de Schro¨dinger.Euler Schro¨dingermv ∇IFuerzas externas ∇V/m∇p/ρ ∇U/mIII. DISCUSIO´NAmbos mapeos difieren fundamentalmente en lainterpretacio´n del potencial cua´ntico U. En el mapeo deMadelung e´ste se identifica con la presio´n, que, en meca´nicadel medio continuo y para fluidos perfectos, es una variableque emerge de la velocidad de las mole´culas (ve´ase e.g. [15]).Es decir, U tiene una interpretacio´n puramente cine´tica yconservativa.En nuestro mapeo, en cambio, U se identifica con elte´rmino viscoso, que siempre es disipativo. La disipacio´n,como mecanismo de pe´rdida de informacio´n, se puedeentender por tanto como el origen de los efectos cua´nticosen un sistema. Este hecho cobra especial relevancia sise tiene en cuenta que “hay un nu´mero creciente demodelos deterministas de objetos cua´nticos que se basan enconjeturar mecanismos disipativos o pe´rdida de informacio´nfundamental” [16]. No´tese que no se habla aquı´ de unatransicio´n de cua´ntico a cla´sico, sino de cla´sico a cua´nticogracias a mecanismos de pe´rdida de informacio´n. ’t Hooftya afirmo´ que “para todo sistema cua´ntico existe al menosunmodelo determinista que reproduce toda su dina´mica trasprecuantizacio´n”, y sus modelos son va´lidos, al menos, parasistemas finito-dimensionales [17]. Adema´s, recientementese ha observado experimentalmente esta transicio´n en unsistema foto´nico abierto con fuertes interacciones [18].En cualquier caso, en palabras de Madelung, “vemos portanto que [la ecuacio´n de Schro¨dinger] es completamenteexplicable en te´rminos hidrodina´micos, y que solo apareceuna peculiaridad en un te´rmino, el que representa elmecanismo interno del continuo”, esto es, en U [3].IV. CONCLUSIONESEl estudio de mapeos entre las ecuaciones fundamentales dediferentes teorı´as es de intere´s para la matema´tica aplicadapuesto que los resultados de una teorı´a se pueden trasladar,a trave´s del mapeo, a la otra teorı´a. En este caso, ma´salla´ del intere´s matema´tico, hay un intere´s fı´sico puesto quela existencia de este mapeo apoya la idea de la meca´nicacua´ntica como teorı´a emergente. Es decir, como descripcio´nfenomenolo´gica de una teorı´a subyacente ma´s fundamental.La meca´nica de fluidos es el paradigma de teorı´a emergente,que maneja variables en una escala macrosco´pica comola densidad, la temperatura, etc. promediadas a partirde variables de una escala microsco´pica subyacente sobrela que no es necesario tener informacio´n detallada. Parala meca´nica del medio continuo, esa teorı´a subyacentedeberı´a ser la meca´nica cla´sica, es decir, el espacio de fasesfinito-dimensional de las posiciones y las velocidades de laspartı´culas que se considere fundamentales (a las que hemosvenido llamandomole´culas). El paso del espacio de fasesmicroal macro, esto es, de un conjunto finito de partı´culas a unmedio continuo, es unode los problemas fundamentales de lameca´nica estadı´stica (ve´ase [15] para una discusio´n detalladade diferentes te´cnicas de promediado).Si la meca´nica cua´ntica se puede entender como unameca´nica de fluidos, parece evidente que sus variables(funcio´n de onda, potencial, etc.) tambie´n son el resultado delpromediado de algo ma´s fundamental. Construir ese espaciode fases micro sobre el que hacer un promediado que tengacomo resultado las ecuaciones de la meca´nica cua´ntica esuno de los retos fundamentales de las lı´neas de investigacio´nenmarcadas bajo el nombre de meca´nica cua´ntica emergente.El hecho de que la peculiaridad cua´ntica que mencionaMadelung aparezca precisamente en el mecanismo interno delcontinuo conecta las cuestiones interpretativas fundamentalesde la meca´nica cua´ntica y la meca´nica del medio continuo.Nuestro grupo de investigacio´n espera, adema´s, aprovecharlos citados mapeos para resolver problemas de cosmologı´anewtoniana (que no es ma´s que meca´nica de fluidos a escalascosmolo´gicas) mediante te´cnicas de meca´nica cua´ntica.V. AGRADECIMIENTOSJ. Vazquez agradece aManuelMonleo´n Pradas las referenciasy discusiones sobre meca´nica del medio continuo, yagradece la financiacio´n al Programa de Becas de MovilidadAcade´mica de la AUIP y al Programa de Ayudas deInvestigacio´n y Desarrollo de la UPV. D. Cabrera agradeceREVISTA CUBANA DE FI´SICA, Vol 33, No. 2 (2016) 100 ARTI´CULOS ORIGINALES (Ed. E. Altshuler)la financiacio´n del proyecto con Ref. FIS2014-51948-C2-1-Pdel Ministerio de Economı´a y Competitividad (Espan˜a).VI. CONTRIBUCIONESTodos los autores contribuyeron por igual en la redaccio´n delartı´culo.REFERENCIAS[1] A. Einstein, B. Podolsky andN. Rosen, Physical Review47, 777 (1935).[2] J. S. Bell, Proceedings of Nobel Symposium 65, 359(1989).[3] E. Madelung, Zeitschrift fur Physik 40, 322 (1927).[4] M. Reddiger, The madelung picture as a foundationof geometric quantum theory, arxiv:1509.00467v3[quant-ph] (2016).[5] D. Fusca, The madelung transform as a momentummap, arxiv:1512.04611v2 [math.sg] (2016).[6] I. Licata, ed., Beyond peaceful coexistence. Theemergence of space, time and quantum (ImperialCollege Press, 2016).[7] S. L. Adler, Quantum theory as an emergentphenomenon (Cambridge University Press, 2004).[8] G. t’Hooft, The Cellular Automaton Interpretationof Quantum Mechanics, arXiv:1405.1548v3 [quant-ph](2015).[9] C. L. Fefferman, Existence and smoothnessof the navier stokes equations, Technicalreport, Clay Mathematics Institute, available athttp://www.claymath.org/(accessed 2016).[10] J. Glimm, D. H. Sharp, H. Lim, K. Ryan and W. Hu,Philosophical Transactions of the Royal Society A 373(2015).[11] L. Landau and E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics 2ndedition (Pergamon Press, 1987).[12] L. A. Segel, Mathematics applied to continuummechanics (Society for Industrial and AppliedMathematics, 1977).[13] A. J. Chorin and J. E. Marsden, A mathematicalintroduction to uid mechanics (3ed) (Springer, 1992).[14] P. Ferna´ndez de Co´rdoba, J. M. Isidro and J. VazquezMolina, Entropy 18 (2016).[15] E. B. Tadmor and R. E. 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The Schrödinger equation in the context of fluid mechanics

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