[EN] In this work we introduce a virtual laboratory, APERIODIC DIFFRACT, developed in Matlab GUI (Graphical User Interface) as an informatics tool for teaching the diffractive properties of aperiodic gratings. This GUI allows the student to  generate aperiodic sequences by iterating and lets to study the spectra for different iterating orders.[ES] En este trabajo presentamos un nuevo laboratorio virtual, APERIODIC DIFFRACT, desarrollado en Matlab GUI c (Interfaz Gráfica de Usuario) como herramienta informática para la enseñanza de las propiedades difractivas de redes aperiódicas. Esta interfaz GUI permite al estudiante generar secuencias aperiódicas mediante iteraciones y analizar el espectro de los diferentes órdenes de iteración.Este trabajo ha sido financiado por el Ministerio de Economía y Competitividad (FIS2011-23175 y DPI2012-32994). Los autores agradecen al Instituto de Ciencias de la Educación de la Universitat Politècnica de València y al Vicerrectorat de Cultura i Igualtat de la Universitat de València por el apoyo dado al Equipo de Modelización Matemática y Aprendizaje Colaborativo (MoMa) y al Grupo de Innovación Docente en Óptica (GCID35/2009), respectivamente. L. Remón también agradece la beca de investigación concedida por la “Fundación CajaMurcia”.Ferrando Martín, V.; Calatayud Calatayud, A.; Remón Martín, L.; Monsoriu Serra, JA.; Pons-Martí, A.; Furlan, WD. (2014). Aperiodic Diffract: Estudio de redes difractivas. Modelling in Science Education and Learning. 7:131-138. https://doi.org/10.4995/msel.2014.3197SWORD131138

Calatayud Calatayud, Arnau

Ferrando Martín, Vicente

Furlan, Walter D.

Monsoriu Serra, Juan Antonio

Pons-Martí, Amparo

Remón Martín, Laura

[EN] In this work we introduce a virtual laboratory, APERIODIC DIFFRACT, developed in Matlab GUI (Graphical User Interface) as an informatics tool for teaching the diffractive properties of aperiodic gratings. This GUI allows the student to  generate aperiodic sequences by iterating and lets to study the spectra for different iterating orders.[ES] En este trabajo presentamos un nuevo laboratorio virtual, APERIODIC DIFFRACT, desarrollado en Matlab GUI c (Interfaz Gráfica de Usuario) como herramienta informática para la enseñanza de las propiedades difractivas de redes aperiódicas. Esta interfaz GUI permite al estudiante generar secuencias aperiódicas mediante iteraciones y analizar el espectro de los diferentes órdenes de iteración.Este trabajo ha sido financiado por el Ministerio de Economía y Competitividad (FIS2011-23175 y DPI2012-32994). Los autores agradecen al Instituto de Ciencias de la Educación de la Universitat Politècnica de València y al Vicerrectorat de Cultura i Igualtat de la Universitat de València por el apoyo dado al Equipo de Modelización Matemática y Aprendizaje Colaborativo (MoMa) y al Grupo de Innovación Docente en Óptica (GCID35/2009), respectivamente. L. Remón también agradece la beca de investigación concedida por la “Fundación CajaMurcia”.Ferrando Martín, V.; Calatayud Calatayud, A.; Remón Martín, L.; Monsoriu Serra, JA.; Pons-Martí, A.; Furlan, WD. (2014). Aperiodic Diffract: Estudio de redes difractivas. Modelling in Science Education and Learning. 7:131-138. doi:10.4995/msel.2014.3197SWORD131138

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Aperiodic Diffract: Study of diffraction gratings

In this work we introduce a virtual laboratory, APERIODIC DIFFRACT, developed in Matlab GUI (Graphical User Interface) as an informatics tool for teaching the diffractive properties of aperiodic gratings. This GUI allows the student to  generate aperiodic sequences by iterating and lets to study the spectra for different iterating orders.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;</jats:p

Vicente Ferrando Martín

Arnau Calatayud

Laura Remón

Juan A. Monsoriu

Amparo Pons-Martí

Walter D. Furlan

Crossref

ModellinginScienceEducationandLearninghttp://polipapers.upv.es/index.php/MSELMSELModelling in Science Education and LearningModelling in Science Education and LearningVolume 7, 2014 doi: 10.4995/msel.2014.3197.Instituto Universitario de Matema´tica Pura y AplicadaAperiodic Diffract: Study of diffractiongratingsAperiodic Diffract: Estudio de redesdifractivasVicente Ferrando, Arnau Calatayud, LauraRemo´n, Juan A. MonsoriuUniversitat Polite`cnica de Vale`ncia.viferma1@upv.es, arcalata@upvnet.upv.es,lauremar@upvnet.upv.es, jmonsori@fis.upv.esAmparo Pons-Mart´ı, Walter D. FurlanUniversitat de Vale`ncia.amparo.pons-marti@uv.es, walter.furlan@uv.esAbstractIn this work we introduce a virtual laboratory, APERIODIC DIFFRACT, developed in Matlab GUI c©(Graphical User Interface) as an informatics tool for teaching the diffractive properties of aperiodic grat-ings. This GUI allows the student to generate aperiodic sequences by iterating and lets to study the spectrafor different iterating orders.En este trabajo presentamos un nuevo laboratorio virtual, APERIODIC DIFFRACT, desarrollado enMatlab GUI c© (Interfaz Gra´fica de Usuario) como herramienta informa´tica para la ensen˜anza de laspropiedades difractivas de redes aperio´dicas. Esta interfaz GUI permite al estudiante generar secuenciasaperio´dicas mediante iteraciones y analizar el espectro de los diferentes o´rdenes de iteracio´n.Keywords: Diffraction, aperiodic sequences, spectra.Palabras clave: Difraccio´n, secuencias aperio´dicas, espectro.131ModellinginScienceEducationandLearninghttp://polipapers.upv.es/index.php/MSEL132Aperiodic Diffract: Estudio de redes difractivas.V. Ferrando, A. Calatayud, L. Remo´n, J. A. Monsoriu, A. Pons-Mart´ı, W. D. Furlan1 Introduccio´nLas redes de difraccio´n convencionales son interfero´metros que se construyen como estructurasperio´dicas en una direccio´n. La luz que ilumina cada uno de estos periodos se propaga pro-duciendo ma´ximos de intensidad donde estas ondas interfieren de forma constructiva. Estosma´ximos en la intensidad se conocen como o´rdenes de difraccio´n. La distribucio´n de intensi-dades que produce un objeto se obtiene mediante la integral de Fresnel, que se aproxima a unatransformada de Fourier en el caso de la difraccio´n de campo lejano o difraccio´n de Fraunhofer(Goodman, 2004).En este trabajo nos interesaremos en distribuciones aperio´dicas. Para entender los conceptosde orden perio´dico y orden aperio´dico recorremos a los antecedentes registrados en el a´rea de lacristalograf´ıa (Macia, 2006). Se define como cristal todo material en el que la distribucio´n dea´tomos presenta simetr´ıa translacional a lo largo de las tres direcciones del espacio. El ordenperio´dico de los cristales presenta patrones de difraccio´n discretos, es decir, al ser iluminadospor un haz de rayos X el haz difractado, que nos proporciona la transformada de Fourier dela estructura, presenta unos ma´ximos de intensidad llamados picos de Bragg la posicio´n de loscuales viene dada por los vectores de la red rec´ıproca. En el extremo opuesto, los materialesamorfos presentan una distribucio´n completamente desordenada. Los so´lidos amorfos presentannormalmente espectros indefinidos, similares a los de los l´ıquidos, lo que indica su distribucio´ndesorganizada.Entre el perfecto orden y el desorden podemos encontrar estructuras que, sin ser perfectamenteperio´dicas, tambie´n presentan un patro´n de difraccio´n esencialmente discreto. Este es el caso delas estructuras aperio´dicas, entre las que se encuentran aquellas que siguen secuencias fractales,que pueden obtenerse de forma iterativa. Modificando adecuadamente una red de difraccio´nde forma que siga una secuencia aperio´dica, se puede establecer una metodolog´ıa sencilla a lahora de disen˜ar nuevas redes con interesantes patrones de difraccio´n, dado que estos patronesmantienen las simetr´ıas de la secuencia que los genera. En general, este tipo de secuenciasdebera´ ser tenido en cuenta por las nuevas posibilidades que introduce en el disen˜o de ele-mentos o´pticos. Actualmente las Tecnolog´ıas de la Informacio´n y la Comunicacio´n se utilizanextensamente en la docencia de la ciencia. En particular, los procesos de ensen˜anza basadosen simulaciones digitales han mostrado grandes ventajas (Esquembre, 2002 y Steinberg, 2000).Concretamente, la realizacio´n de experimentos virtuales interactivos permite a los alumnos ele-gir los valores correctos de ciertos para´metros para obtener y visualizar un feno´meno f´ısico dado(Vidaurre, 2002 y Depcik, 2005).Desde el punto de vista pedago´gico, una forma sencilla de estudiar las propiedades de difraccio´nde redes o´pticas es mediante laboratorios virtuales. Estos laboratorios proporcionan ventajassignificativas en educacio´n, como la interactividad y la respuesta dina´mica. Estos laboratoriosdan a los estudiantes medios para desarrollar su propia comprensio´n del feno´meno a estudiar(Jimoyiannis, 2001).El nuevo laboratorio virtual que presentamos permite analizar y comparar, de forma sencilla,los patrones de difraccio´n de secuencias binarias generadas, partiendo de una semilla, mediantela aplicacio´n de unas reglas de sustitucio´n. Mediante este proceso iterativo podemos obtenergran cantidad de secuencias aperio´dicas (y tambie´n algunas secuencias perio´dicas) de las cualesdestacamos la secuencia de Fibonacci (Monsoriu, 2013) —Semilla=‘1’, Regla 1=‘10’, Regla0=‘1’— y el fractal tr´ıadico de Cantor (Mandelbrot, 1982) —Semilla=‘1’, Regla 1=‘101’, Regla0=‘000’—, que utilizaremos para explicar el funcionamiento del laboratorio.ISSN 1988-3145 @MSELModellinginScienceEducationandLearninghttp://polipapers.upv.es/index.php/MSELVolume 7, doi: 10.4995/msel.2014.3197. 1332 Metodolog´ıaEn primer lugar se explica co´mo se generan las secuencias aperio´dicas que vamos a analizar.Partimos de una cadena de unos y ceros que utilizaremos como semilla. Definimos una reglade sustitucio´n para los unos y otra para los ceros. En cada iteracio´n sustituiremos cada uno delos elemento de la secuencia de partida por la regla de sustitucio´n correspondiente, obteniendoel siguiente orden de la secuencia.Por otra parte, se analiza el espectro de las secuencias generadas, que se obtiene mediante unatransformada de Fourier de la misma (Goodman, 2004 y Castro-Ramos, 2009)E(S, ν) =∫ 10q(S, x) exp(−iνx)dx , (1)donde q(S, x) es la funcio´n de la secuencia de orden S muestreada en el dominio x ∈ [0, 1] y νes la coordenada frecuencial. Teniendo en cuenta que la secuencia es binaria, podemos escribirsu funcio´n como una suma de funciones recta´ngulo. Esto nos permite obtener el espectro comoE(S, ν) =∑jt(S, j)∫ xj+ ∆x2xj−∆x2exp(−iνx)dx = 2∆x sinc(∆xν)∑jt(S, j) exp(iνxj) , (2)siento t(S, j) el elemento en la posicio´n j de la secuencia de orden S, xj es la posicio´n del centrode este elemento y ∆x es el taman˜o de los elementos.El laboratorio, Aperiodic Diffract, permite visualizar los primeros o´rdenes de la secuencia y losespectros de cada orden.3 ResultadosEn la Figura 1 se muestra la interfaz de la aplicacio´n desarrollada. A continuacio´n se detallanlos para´metros de entrada y salida de la misma.Figura 1: Interfaz del laboratorio virtual de redes aperio´dicas.@MSEL ISSN 1988-3145ModellinginScienceEducationandLearninghttp://polipapers.upv.es/index.php/MSEL134Aperiodic Diffract: Estudio de redes difractivas.V. Ferrando, A. Calatayud, L. Remo´n, J. A. Monsoriu, A. Pons-Mart´ı, W. D. FurlanINPUT:A1: Semilla a partir de la que se genera la secuencia.A2: Regla de sustitucio´n para los elementos con valor 1.A3: Regla de sustitucio´n para los elementos con valor 0.A4: Pulsador para generar los primeros o´rdenes de la secuencia utilizando los valores introduci-dos en A1, A2 y A3.A5: Seleccionadores para activar/desactivar la visualizacio´n del espectro (B2) del orden corre-spondiente.A6: Seleccionador para la escala del eje X en el visualizador del espectro (B2). El dominiomostrado sera´ [-A6, A6].A7: Seleccionador para la escala lineal del eje Y en el visualizador del espectro (B2). Se muestrael rango [0, A7].A8: Seleccionador para la escala logar´ıtmica del eje Y en el visualizador del espectro (B2). Semuestra el rango [A8, 1].OUTPUT:B1: Muestra los primeros o´rdenes de la secuencia generada en 1D en co´digos de barras.B2: Se representan, en diferentes colores, los espectros normalizados de los o´rdenes seleccionados(A5) de la secuencia generada. Se representa en el eje Y la irradiancia normalizada frente ala frecuencia normalizada al primer orden de la secuencia perio´dica equivalente en el eje X. Sepuede ajustar la escala de ambos ejes, as´ı como seleccionar una escala lineal o logar´ıtmica parael eje Y (A6, A7, A8). Cada orden se representa en un color diferente.A continuacio´n se proponen algunos ejemplos pra´cticos para mostrar el funcionamiento de laaplicacio´n. Vamos a estudiar los patrones de difraccio´n de una secuencia basada en la sucesio´nde Fibonacci y otra basada en el fractal tr´ıadico de Cantor.La sucesio´n de Fibonacci se construye asignando a un elemento de la sucesio´n el valor de lasuma de los dos elementos anteriores. As´ı, si llamamos Fj al elemento j de la sucesio´n, su valorsera´ Fj = Fj−1 +Fj−2. Mediante esta sucesio´n obtenemos el nu´mero a´ureo o proporcio´n divina,que se define como el l´ımite del factor entre un nu´mero de Fibonacci y su anteriorϕ = limn→∞FjFj−1=1 +√52. (3)Para construir la secuencia aperio´dica de Fibonacci asignaremos al primer elemento el valorS0 =‘0’ y al segundo asignamos el valor S1 =‘1’. El siguiente orden lo construimos como laconcatenacio´n de los dos elementos anteriores (S2 =‘10’, S3 =‘101’, S4 =‘10110’, S5 =‘10110101’, . . .). Si nos fijamos, esta secuencia puede ser construida tambie´n mediante una sustitucio´niterativa. Tomando la semilla S1 =‘1’ (A1) y aplicando las reglas de sustitucio´n ‘1’→‘10’y ‘0’→‘1’ (A2 y A3). De esta manera, introduciremos la secuencia de Fibonacci en nuestraaplicacio´n. En la Figura 2 Se representan los primeros o´rdenes de la secuencia de Fibonacci.ISSN 1988-3145 @MSELModellinginScienceEducationandLearninghttp://polipapers.upv.es/index.php/MSELVolume 7, doi: 10.4995/msel.2014.3197. 135Figura 2: Representacio´n de los primeros o´rdenes de la secuencia de Fibonacci.En la Figura 3 se muestran los espectros de las secuencias de Fibonacci en escala lineal. Enla parte izquierda se muestran los espectros de la secuencia de los o´rdenes S = 2, S = 3 yS = 4. Se observa que el primer pico de difraccio´n se va partiendo en dos picos a amboslados del original a medida que aumentamos el orden. Si seguimos aumentando el orden de lasecuencia (ver parte derecha de la Figura 3), estos picos se distinguen mejor. Adema´s se puedecalcular una buena aproximacio´n de la razo´n aurea o proporcio´n divina como el factor entre lasposiciones de los picos —Ecuacio´n (3)—.Figura 3: Espectro de los diferentes o´rdenes de la secuencia de Fibonacci. Izquierda: Se muestra el espectro delos o´rdenes S = 2 (violeta), S = 3 (azul) y S = 4 (verde). Derecha: Se muestra el espectro de los o´rdenes S = 7(marro´n) y S = 8 (rojo).Otro ejemplo caracter´ıstico de secuencias aperio´dicas son los fractales, en particular analizamosel espectro del fractal tr´ıadico de Cantor. Este fractal se construye partiendo de una l´ıneade longitud unidad que dividiremos en tres partes iguales, eliminando la parte central. Encada iteracio´n repetiremos este procedimiento con cada elemento restante. Para obtener estasecuencia de forma matema´tica, partimos de la semilla S0 =‘1’ (A1) y aplicamos las reglasde sustitucio´n ‘1’→‘101’ y ‘0’→‘000’ (A2 y A3). En la Figura 4 se representan los primeroso´rdenes del Fractal tr´ıadico de Cantor.En la Figura 5 se muestran los espectros resultantes en escala logar´ıtmica para el fractal tr´ıadicode Cantor. En la parte izquierda se muestran el espectros de la secuencia para los o´rdenes S = 2y S = 3. En esta figura se puede estudiar co´mo afecta la autosimilitud del fractal a su espectro.Se observa que cada pico del espectro envuelve tres picos del espectro del orden siguiente. En@MSEL ISSN 1988-3145ModellinginScienceEducationandLearninghttp://polipapers.upv.es/index.php/MSEL136Aperiodic Diffract: Estudio de redes difractivas.V. Ferrando, A. Calatayud, L. Remo´n, J. A. Monsoriu, A. Pons-Mart´ı, W. D. FurlanFigura 4: Representacio´n de los primeros o´rdenes del fractal tr´ıadico de Cantor.la parte derecha de la Figura 5 seguimos aumentando el orden, lo que nos permita ver como sereplica la estructura a escalas menores.Figura 5: Espectros en escala logar´ıtmica del fractal tr´ıadico de Cantor. Izquierda: Espectro de los o´rdenesS = 2 (violeta) y S = 3 (azul). Derecha: Espectro de les o´rdenes S = 3 (azul) y S = 4 (verde). Se puedeobservar la autosimilitud de la estructura a diferentes escalas. Las escalas de los ejes se han modificado paraver los detalles de la fractalidad del espectro.4 Conclusiones del trabajoAperiodic Diffract constituye una nueva herramienta para el estudio de las propiedades dedifraccio´n de redes unidimensionales aperio´dicas. Los ejemplos presentados muestran clara-mente co´mo la interfaz de usuario desarrollada permite una ra´pida caracterizacio´n del espectrode las secuencias estudiadas. Desde el punto de vista docente las secuencias aperio´dicas son unclaro elemento motivador para los estudiantes, al tiempo que introducen nuevas posibilidadesen la o´ptica difractiva. Este nuevo laboratorio se ha desarrollado en el marco de la asignaturaDispositivos foto´nicos del Grado en Ingenier´ıa Electro´nica Industrial y Automa´tica y de laasignatura Tecnolog´ıa de Sensores Optoelectro´nicos perteneciente al Ma´ster Universitario enSensores para Aplicaciones Industriales, ambas impartidas en la Escuela Te´cnica Superior deIngenier´ıa del Disen˜o de la Universitat Polite`cnica de Vale`ncia.ISSN 1988-3145 @MSELModellinginScienceEducationandLearninghttp://polipapers.upv.es/index.php/MSELVolume 7, doi: 10.4995/msel.2014.3197. 1375 AgradecimientosEste trabajo ha sido financiado por el Ministerio de Economı´a y Competitividad (FIS2011-23175 y DPI2012-32994). Los autores agradecen al Instituto de Ciencias de la Educacio´n de laUniversitat Polite`cnica de Vale`ncia y al Vicerrectorat de Cultura i Igualtat de la Universitatde Vale`ncia por el apoyo dado al Equipo de Modelizacio´n Matema´tica y Aprendizaje Colabo-rativo (MoMa) y al Grupo de Innovacio´n Docente en O´ptica (GCID35/2009), respectivamente.L. Remo´n tambie´n agradece la beca de investigacio´n concedida por la “Fundacio´n CajaMurcia”.@MSEL ISSN 1988-3145ModellinginScienceEducationandLearninghttp://polipapers.upv.es/index.php/MSEL138Aperiodic Diffract: Estudio de redes difractivas.V. Ferrando, A. Calatayud, L. Remo´n, J. A. Monsoriu, A. Pons-Mart´ı, W. D. FurlanReferenciasCastro Ramos J., Va´zquez-Montiel S. et al. (2009).O´ptica difractiva: una revisio´n al disen˜o y construccio´n de sistemas o´pticos empleandolentes difractivas.Revista Mexicana de F´ısica, 52(006), 479–500.Depcik C., Assanis D. N. (2005).Graphical user interfaces in an engineering educational environment.Computer Applications in Engineering Education, 13(1), 48–59.Esquembre F. (2002).Computers in physics education.Computer Physics Communications, 147(1–2), 13–18.Goodman J. (2004).Introduction to Fourier Optics.Roberts and Company Publishers.Jimoyiannis A., Komis V. (2001).Computer simulations in physics teaching and learning: a case study on students’understanding of trajectory motion.Computers & Education, 36(2), 183–204.Macia´ E. (2006).The role of aperiodic order in science and technology.Reports on Progress in Physics, 69(2), 397–441.Mandelbrot B. B. (1982).The Fractal Geometry of Nature.W. H. Freeman and Company.Monsoriu J. A., Calatayud A., Remo´n L., Furlan W. D., Saavedra G., Andre´s P. (2013).Bifocal Fibonacci diffractive lenses.IEEE Photonics Journal, 5(3), 3400106.Steinberg R. N. (2000).Computers in teaching science: To simulate or not to simulate?American Association of Physics Teachers, 68(S1), S37.Vidaurre A., Riera J., Gime´nez M. H., Monsoriu J. A. (2002).Contribution of digital simulation in visualizing physics processes.Computer Applications in Engineering Education, 10, 45–49.ISSN 1988-3145 @MSEL

Modelling in Science Education and Learning

In this work we introduce a virtual laboratory, APERIODIC DIFFRACT, developed in Matlab GUI (Graphical User Interface) as an informatics tool for teaching the diffractive properties of aperiodic gratings. This GUI allows the student to  generate aperiodic sequences by iterating and lets to study the spectra for different iterating orders.<br /

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ModellinginScienceEducationandLearninghttp://polipapers.upv.es/index.php/MSELMSELModelling in Science Education and LearningModelling in Science Education and LearningVolume 7, 2014 doi: 10.4995/msel.2014.3197.Instituto Universitario de Matemática Pura y AplicadaAperiodic Diffract: Study of diffractiongratingsAperiodic Diffract: Estudio de redesdifractivasVicente Ferrando, Arnau Calatayud, LauraRemón, Juan A. MonsoriuUniversitat Politècnica de València.viferma1@upv.es, arcalata@upvnet.upv.es,lauremar@upvnet.upv.es, jmonsori@fis.upv.esAmparo Pons-Mart́ı, Walter D. FurlanUniversitat de València.amparo.pons-marti@uv.es, walter.furlan@uv.esAbstractIn this work we introduce a virtual laboratory, APERIODIC DIFFRACT, developed in Matlab GUI c©(Graphical User Interface) as an informatics tool for teaching the diffractive properties of aperiodic grat-ings. This GUI allows the student to generate aperiodic sequences by iterating and lets to study the spectrafor different iterating orders.En este trabajo presentamos un nuevo laboratorio virtual, APERIODIC DIFFRACT, desarrollado enMatlab GUI c© (Interfaz Gráfica de Usuario) como herramienta informática para la enseñanza de laspropiedades difractivas de redes aperiódicas. Esta interfaz GUI permite al estudiante generar secuenciasaperiódicas mediante iteraciones y analizar el espectro de los diferentes órdenes de iteración.Keywords: Diffraction, aperiodic sequences, spectra.Palabras clave: Difracción, secuencias aperiódicas, espectro.131ModellinginScienceEducationandLearninghttp://polipapers.upv.es/index.php/MSEL132Aperiodic Diffract: Estudio de redes difractivas.V. Ferrando, A. Calatayud, L. Remón, J. A. Monsoriu, A. Pons-Mart́ı, W. D. Furlan1 IntroducciónLas redes de difracción convencionales son interferómetros que se construyen como estructurasperiódicas en una dirección. La luz que ilumina cada uno de estos periodos se propaga pro-duciendo máximos de intensidad donde estas ondas interfieren de forma constructiva. Estosmáximos en la intensidad se conocen como órdenes de difracción. La distribución de intensi-dades que produce un objeto se obtiene mediante la integral de Fresnel, que se aproxima a unatransformada de Fourier en el caso de la difracción de campo lejano o difracción de Fraunhofer(Goodman, 2004).En este trabajo nos interesaremos en distribuciones aperiódicas. Para entender los conceptosde orden periódico y orden aperiódico recorremos a los antecedentes registrados en el área de lacristalograf́ıa (Macia, 2006). Se define como cristal todo material en el que la distribución deátomos presenta simetŕıa translacional a lo largo de las tres direcciones del espacio. El ordenperiódico de los cristales presenta patrones de difracción discretos, es decir, al ser iluminadospor un haz de rayos X el haz difractado, que nos proporciona la transformada de Fourier dela estructura, presenta unos máximos de intensidad llamados picos de Bragg la posición de loscuales viene dada por los vectores de la red rećıproca. En el extremo opuesto, los materialesamorfos presentan una distribución completamente desordenada. Los sólidos amorfos presentannormalmente espectros indefinidos, similares a los de los ĺıquidos, lo que indica su distribucióndesorganizada.Entre el perfecto orden y el desorden podemos encontrar estructuras que, sin ser perfectamenteperiódicas, también presentan un patrón de difracción esencialmente discreto. Este es el caso delas estructuras aperiódicas, entre las que se encuentran aquellas que siguen secuencias fractales,que pueden obtenerse de forma iterativa. Modificando adecuadamente una red de difracciónde forma que siga una secuencia aperiódica, se puede establecer una metodoloǵıa sencilla a lahora de diseñar nuevas redes con interesantes patrones de difracción, dado que estos patronesmantienen las simetŕıas de la secuencia que los genera. En general, este tipo de secuenciasdeberá ser tenido en cuenta por las nuevas posibilidades que introduce en el diseño de ele-mentos ópticos. Actualmente las Tecnoloǵıas de la Información y la Comunicación se utilizanextensamente en la docencia de la ciencia. En particular, los procesos de enseñanza basadosen simulaciones digitales han mostrado grandes ventajas (Esquembre, 2002 y Steinberg, 2000).Concretamente, la realización de experimentos virtuales interactivos permite a los alumnos ele-gir los valores correctos de ciertos parámetros para obtener y visualizar un fenómeno f́ısico dado(Vidaurre, 2002 y Depcik, 2005).Desde el punto de vista pedagógico, una forma sencilla de estudiar las propiedades de difracciónde redes ópticas es mediante laboratorios virtuales. Estos laboratorios proporcionan ventajassignificativas en educación, como la interactividad y la respuesta dinámica. Estos laboratoriosdan a los estudiantes medios para desarrollar su propia comprensión del fenómeno a estudiar(Jimoyiannis, 2001).El nuevo laboratorio virtual que presentamos permite analizar y comparar, de forma sencilla,los patrones de difracción de secuencias binarias generadas, partiendo de una semilla, mediantela aplicación de unas reglas de sustitución. Mediante este proceso iterativo podemos obtenergran cantidad de secuencias aperiódicas (y también algunas secuencias periódicas) de las cualesdestacamos la secuencia de Fibonacci (Monsoriu, 2013) —Semilla=‘1’, Regla 1=‘10’, Regla0=‘1’— y el fractal tŕıadico de Cantor (Mandelbrot, 1982) —Semilla=‘1’, Regla 1=‘101’, Regla0=‘000’—, que utilizaremos para explicar el funcionamiento del laboratorio.ISSN 1988-3145 @MSELModellinginScienceEducationandLearninghttp://polipapers.upv.es/index.php/MSELVolume 7, doi: 10.4995/msel.2014.3197. 1332 MetodoloǵıaEn primer lugar se explica cómo se generan las secuencias aperiódicas que vamos a analizar.Partimos de una cadena de unos y ceros que utilizaremos como semilla. Definimos una reglade sustitución para los unos y otra para los ceros. En cada iteración sustituiremos cada uno delos elemento de la secuencia de partida por la regla de sustitución correspondiente, obteniendoel siguiente orden de la secuencia.Por otra parte, se analiza el espectro de las secuencias generadas, que se obtiene mediante unatransformada de Fourier de la misma (Goodman, 2004 y Castro-Ramos, 2009)E(S, ν) =∫ 10q(S, x) exp(−iνx)dx , (1)donde q(S, x) es la función de la secuencia de orden S muestreada en el dominio x ∈ [0, 1] y νes la coordenada frecuencial. Teniendo en cuenta que la secuencia es binaria, podemos escribirsu función como una suma de funciones rectángulo. Esto nos permite obtener el espectro comoE(S, ν) =∑jt(S, j)∫ xj+ ∆x2xj−∆x2exp(−iνx)dx = 2∆x sinc(∆xν)∑jt(S, j) exp(iνxj) , (2)siento t(S, j) el elemento en la posición j de la secuencia de orden S, xj es la posición del centrode este elemento y ∆x es el tamaño de los elementos.El laboratorio, Aperiodic Diffract, permite visualizar los primeros órdenes de la secuencia y losespectros de cada orden.3 ResultadosEn la Figura 1 se muestra la interfaz de la aplicación desarrollada. A continuación se detallanlos parámetros de entrada y salida de la misma.Figura 1: Interfaz del laboratorio virtual de redes aperiódicas.@MSEL ISSN 1988-3145ModellinginScienceEducationandLearninghttp://polipapers.upv.es/index.php/MSEL134Aperiodic Diffract: Estudio de redes difractivas.V. Ferrando, A. Calatayud, L. Remón, J. A. Monsoriu, A. Pons-Mart́ı, W. D. FurlanINPUT:A1: Semilla a partir de la que se genera la secuencia.A2: Regla de sustitución para los elementos con valor 1.A3: Regla de sustitución para los elementos con valor 0.A4: Pulsador para generar los primeros órdenes de la secuencia utilizando los valores introduci-dos en A1, A2 y A3.A5: Seleccionadores para activar/desactivar la visualización del espectro (B2) del orden corre-spondiente.A6: Seleccionador para la escala del eje X en el visualizador del espectro (B2). El dominiomostrado será [-A6, A6].A7: Seleccionador para la escala lineal del eje Y en el visualizador del espectro (B2). Se muestrael rango [0, A7].A8: Seleccionador para la escala logaŕıtmica del eje Y en el visualizador del espectro (B2). Semuestra el rango [A8, 1].OUTPUT:B1: Muestra los primeros órdenes de la secuencia generada en 1D en códigos de barras.B2: Se representan, en diferentes colores, los espectros normalizados de los órdenes seleccionados(A5) de la secuencia generada. Se representa en el eje Y la irradiancia normalizada frente ala frecuencia normalizada al primer orden de la secuencia periódica equivalente en el eje X. Sepuede ajustar la escala de ambos ejes, aśı como seleccionar una escala lineal o logaŕıtmica parael eje Y (A6, A7, A8). Cada orden se representa en un color diferente.A continuación se proponen algunos ejemplos prácticos para mostrar el funcionamiento de laaplicación. Vamos a estudiar los patrones de difracción de una secuencia basada en la sucesiónde Fibonacci y otra basada en el fractal tŕıadico de Cantor.La sucesión de Fibonacci se construye asignando a un elemento de la sucesión el valor de lasuma de los dos elementos anteriores. Aśı, si llamamos Fj al elemento j de la sucesión, su valorserá Fj = Fj−1 +Fj−2. Mediante esta sucesión obtenemos el número áureo o proporción divina,que se define como el ĺımite del factor entre un número de Fibonacci y su anteriorϕ = limn→∞FjFj−1=1 +√52. (3)Para construir la secuencia aperiódica de Fibonacci asignaremos al primer elemento el valorS0 =‘0’ y al segundo asignamos el valor S1 =‘1’. El siguiente orden lo construimos como laconcatenación de los dos elementos anteriores (S2 =‘10’, S3 =‘101’, S4 =‘10110’, S5 =‘10110101’, . . .). Si nos fijamos, esta secuencia puede ser construida también mediante una sustitucióniterativa. Tomando la semilla S1 =‘1’ (A1) y aplicando las reglas de sustitución ‘1’→‘10’y ‘0’→‘1’ (A2 y A3). De esta manera, introduciremos la secuencia de Fibonacci en nuestraaplicación. En la Figura 2 Se representan los primeros órdenes de la secuencia de Fibonacci.ISSN 1988-3145 @MSELModellinginScienceEducationandLearninghttp://polipapers.upv.es/index.php/MSELVolume 7, doi: 10.4995/msel.2014.3197. 135Figura 2: Representación de los primeros órdenes de la secuencia de Fibonacci.En la Figura 3 se muestran los espectros de las secuencias de Fibonacci en escala lineal. Enla parte izquierda se muestran los espectros de la secuencia de los órdenes S = 2, S = 3 yS = 4. Se observa que el primer pico de difracción se va partiendo en dos picos a amboslados del original a medida que aumentamos el orden. Si seguimos aumentando el orden de lasecuencia (ver parte derecha de la Figura 3), estos picos se distinguen mejor. Además se puedecalcular una buena aproximación de la razón aurea o proporción divina como el factor entre lasposiciones de los picos —Ecuación (3)—.Figura 3: Espectro de los diferentes órdenes de la secuencia de Fibonacci. Izquierda: Se muestra el espectro delos órdenes S = 2 (violeta), S = 3 (azul) y S = 4 (verde). Derecha: Se muestra el espectro de los órdenes S = 7(marrón) y S = 8 (rojo).Otro ejemplo caracteŕıstico de secuencias aperiódicas son los fractales, en particular analizamosel espectro del fractal tŕıadico de Cantor. Este fractal se construye partiendo de una ĺıneade longitud unidad que dividiremos en tres partes iguales, eliminando la parte central. Encada iteración repetiremos este procedimiento con cada elemento restante. Para obtener estasecuencia de forma matemática, partimos de la semilla S0 =‘1’ (A1) y aplicamos las reglasde sustitución ‘1’→‘101’ y ‘0’→‘000’ (A2 y A3). En la Figura 4 se representan los primerosórdenes del Fractal tŕıadico de Cantor.En la Figura 5 se muestran los espectros resultantes en escala logaŕıtmica para el fractal tŕıadicode Cantor. En la parte izquierda se muestran el espectros de la secuencia para los órdenes S = 2y S = 3. En esta figura se puede estudiar cómo afecta la autosimilitud del fractal a su espectro.Se observa que cada pico del espectro envuelve tres picos del espectro del orden siguiente. En@MSEL ISSN 1988-3145ModellinginScienceEducationandLearninghttp://polipapers.upv.es/index.php/MSEL136Aperiodic Diffract: Estudio de redes difractivas.V. Ferrando, A. Calatayud, L. Remón, J. A. Monsoriu, A. Pons-Mart́ı, W. D. FurlanFigura 4: Representación de los primeros órdenes del fractal tŕıadico de Cantor.la parte derecha de la Figura 5 seguimos aumentando el orden, lo que nos permita ver como sereplica la estructura a escalas menores.Figura 5: Espectros en escala logaŕıtmica del fractal tŕıadico de Cantor. Izquierda: Espectro de los órdenesS = 2 (violeta) y S = 3 (azul). Derecha: Espectro de les órdenes S = 3 (azul) y S = 4 (verde). Se puedeobservar la autosimilitud de la estructura a diferentes escalas. Las escalas de los ejes se han modificado paraver los detalles de la fractalidad del espectro.4 Conclusiones del trabajoAperiodic Diffract constituye una nueva herramienta para el estudio de las propiedades dedifracción de redes unidimensionales aperiódicas. Los ejemplos presentados muestran clara-mente cómo la interfaz de usuario desarrollada permite una rápida caracterización del espectrode las secuencias estudiadas. Desde el punto de vista docente las secuencias aperiódicas son unclaro elemento motivador para los estudiantes, al tiempo que introducen nuevas posibilidadesen la óptica difractiva. Este nuevo laboratorio se ha desarrollado en el marco de la asignaturaDispositivos fotónicos del Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática y de laasignatura Tecnoloǵıa de Sensores Optoelectrónicos perteneciente al Máster Universitario enSensores para Aplicaciones Industriales, ambas impartidas en la Escuela Técnica Superior deIngenieŕıa del Diseño de la Universitat Politècnica de València.ISSN 1988-3145 @MSELModellinginScienceEducationandLearninghttp://polipapers.upv.es/index.php/MSELVolume 7, doi: 10.4995/msel.2014.3197. 1375 AgradecimientosEste trabajo ha sido financiado por el Ministerio de Economı́a y Competitividad (FIS2011-23175 y DPI2012-32994). Los autores agradecen al Instituto de Ciencias de la Educación de laUniversitat Politècnica de València y al Vicerrectorat de Cultura i Igualtat de la Universitatde València por el apoyo dado al Equipo de Modelización Matemática y Aprendizaje Colabo-rativo (MoMa) y al Grupo de Innovación Docente en Óptica (GCID35/2009), respectivamente.L. Remón también agradece la beca de investigación concedida por la “Fundación CajaMurcia”.@MSEL ISSN 1988-3145ModellinginScienceEducationandLearninghttp://polipapers.upv.es/index.php/MSEL138Aperiodic Diffract: Estudio de redes difractivas.V. Ferrando, A. Calatayud, L. Remón, J. A. Monsoriu, A. Pons-Mart́ı, W. D. FurlanReferenciasCastro Ramos J., Vázquez-Montiel S. et al. (2009).Óptica difractiva: una revisión al diseño y construcción de sistemas ópticos empleandolentes difractivas.Revista Mexicana de F́ısica, 52(006), 479–500.Depcik C., Assanis D. N. 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(2000).Computers in teaching science: To simulate or not to simulate?American Association of Physics Teachers, 68(S1), S37.Vidaurre A., Riera J., Giménez M. H., Monsoriu J. A. (2002).Contribution of digital simulation in visualizing physics processes.Computer Applications in Engineering Education, 10, 45–49.ISSN 1988-3145 @MSEL

[EN] In this work we introduce a virtual laboratory, APERIODIC DIFFRACT, developed in Matlab GUI (Graphical User Interface) as an informatics tool for teaching the diffractive properties of aperiodic gratings. This GUI allows the student to  generate aperiodic sequences by iterating and lets to study the spectra for different iterating orders.[ES] En este trabajo presentamos un nuevo laboratorio virtual, APERIODIC DIFFRACT, desarrollado en Matlab GUI c (Interfaz Gráfica de Usuario) como herramienta informática para la enseñanza de las propiedades difractivas de redes aperiódicas. Esta interfaz GUI permite al estudiante generar secuencias aperiódicas mediante iteraciones y analizar el espectro de los diferentes órdenes de iteración.Este trabajo ha sido financiado por el Ministerio de Economía y Competitividad (FIS2011-23175 y DPI2012-32994). Los autores agradecen al Instituto de Ciencias de la Educación de la Universitat Politècnica de València y al Vicerrectorat de Cultura i Igualtat de la Universitat de València por el apoyo dado al Equipo de Modelización Matemática y Aprendizaje Colaborativo (MoMa) y al Grupo de Innovación Docente en Óptica (GCID35/2009), respectivamente. L. Remón también agradece la beca de investigación concedida por la “Fundación CajaMurcia”.Ferrando Martín, V.; Calatayud Calatayud, A.; Remón Martín, L.; Monsoriu Serra, JA.; Pons-Martí, A.; Furlan, WD. (2014). Aperiodic Diffract: Estudio de redes difractivas. Modelling in Science Education and Learning. 7:131-138. https://doi.org/10.4995/msel.2014.3197131138

https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/74528/3197-9190-1-PB.pdf?sequence=1&isAllowed=y

Aperiodic Diffract: Study of diffraction gratings

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