Este trabalho apresenta um estudo sobre invariantes espetrais da
matriz de Randić de um grafo. O índice de Randić é um invariante
espetral apresentado em 1975 por Milan Randić e com importantes
aplicações ao nível da Química. Em 2010 define-se a matriz de
Randić, uma matriz não negativa construída a partir desse índice. O
estudo do espetro de matrizes associadas a grafos é um dos grandes
objetivos da investigação em teoria dos grafos e são já diversas as
aplicações em diferentes áreas científicas. Neste trabalho é estudado
o espetro da matriz de Randić associada a um grafo e definido o
spread de Randić. Para além disso, são apresentados majorantes e
minorantes para esse invariante espetral. Em Química, a energia de
grafos caterpillar, que estão associados a sistemas aromáticos, está
relacionada com as relações de ressonância desses sistemas. Tendo
esse facto como motivação, é estudado o espetro e o espetro de
Randić de grafos caterpillar e são apresentados majorantes para a
energia e para a energia de Randić dessa classe de grafos.This work presents a study related to spectral invariants for the Randić
matrix of a graph. The Randić index is a spectral invariant presented
in 1975 by Milan Randić and with important applications in chemistry.
In 2010 the Randić matrix was defined as a nonnegative matrix built
from this index. The study of the spectrum of matrices associated
with graphs is one of the major goals of research in graph theory and
there are already several applications in different scientific areas. In this
work the spectrum of the Randić matrix associated to a graph is studied
and the Randić spread is defined. In addition, upper and lower bounds
are presented for this spectral invariant. In chemistry, the energy of
caterpillar graphs, that are associated with aromatic systems, is related
with the resonance of these systems. Having this as motivation, the
spectrum and the Randić spectrum of caterpillar graphs are studied and
upper bounds are presented for the energy and for the Randić energy
of this class of graphs.Programa Doutoral em Matemátic