Doutoramento em MatemáticaOs objectos de estudo desta tese são os códigos convolucionais sobre um
corpo, constituídos por sequências com suporte compacto à esquerda.
Aplicando a abordagem comportamental à teoria dos sistemas, é obtida uma
nova definição de código convolucional baseada em propriedades estruturais
do próprio código.
Os codificadores e os formadores de síndrome de um código convolucional
são, respectivamente, as representações de imagem e as representações de
núcleo do código. As suas estruturas e propriedades são estudadas, utilizando
representações matriciais fraccionárias (RMF's). Seguidamente, são
analisados os codificadores e formadores de síndrome minimais de um código
convolucional, sendo apresentada uma parametrização simples das suas
RMF's. Mostra-se também como obter todos os codificadores minimais de um
código convolucional por aplicação de realimentação estática do estado e précompensação.
De modo análogo, obtêm-se todos os formadores de síndrome
minimais utilizando injecção da saída e pós-compensação.
Finalmente, estudam-se os codificadores desacoplados de um código
convolucional, que estão directamente ligados à sua decomposição.
Apresenta-se um algoritmo para determinação de um codificador desacoplado
maximal, que permitirá obter a decomposição máxima do código. Quando se
restringe a análise dos codificadores desacoplados aos minimais, obtém-se
um codificador canónico desacoplado e parametriza-se, utilizando RMF's,
todos os codificadores minimais que apresentam grau máximo de
desacoplamento.The objects of study of this thesis are the convolutional codes over a field,
constituted by left compact sequences.
To define a convolutional code we consider the behavioral approach to
systems theory, and present a new definition of convolutional code, taking into
account its structural properties.
Matrix Fractions Descriptions (MFD’s) are used as a tool for investigating the
structure of the encoders and the syndrome formers of a convolutional code,
which are, respectively, the image and the kernel representations of the code.
Next, we concentrate on the study of the minimal encoders and syndrome
formers, and obtain a simple parametrization of their MFD’s. We also show that
static feedback and precompensation allow to obtain all minimal encoders of
the code. The same is done for the minimal syndrome formers, using output
injection and postcompensation.
Finally, we analyse the decoupled encoders of a convolutional code, which are
associated with code decomposition. We provide an algorithm to determine a
maximally decoupled encoder, and, consequently, the finest decomposition of
the code. Restricting to minimal decoupled encoders, we first obtain a
canonical decoupled one, and parametrize, via MFD’s, all minimal decoupled
encoders realizing the finest decomposition of the code