Doutoramento em MatemáticaIn this thesis we consider two-dimensional (2D) convolutional codes. As
happens in the one-dimensional (1D) case one of the major issues is obtaining
minimal state-space realizations for these codes.
It turns out that the problem of minimal realization of codes is not equivalent
to the minimal realization of encoders. This is due to the fact that
the same code may admit different encoders with different McMillan degrees.
Here we focus on the study of minimality of the realizations of 2D
convolutional codes by means of separable Roesser models. Such models
can be regarded as a series connection between two 1D systems.
As a first step we provide an algorithm to obtain a minimal realization of a
1D convolutional code starting from a minimal realization of an encoder
of the code. Then, we restrict our study to two particular classes of 2D
convolutional codes. The first class to be considered is the one of codes
which admit encoders of type n 1. For these codes, minimal encoders
(i.e., encoders for which a minimal realization is also minimal as a code
realization) are characterized enabling the construction of minimal code
realizations starting from such encoders. The second class of codes to
be considered is the one constituted by what we have called composition
codes. For a subclass of these codes, we propose a method to obtain
minimal realizations by means of separable Roesser models.Nesta tese consideramos códigos convolucionais a duas dimensões
(2D). Como acontece no caso unidimensional (1D) uma das questões
fundamentais neste contexto diz respeito à obtenção de realizações mínimas
de espaço de estados para estes códigos.
O problema da realizacão mínima de códigos não é equivalente ao problema
da realizacão mínima de codificadores. Tal acontece uma vez que
um dado código admite diferentes codificadores com diferentes graus de
McMillan. Nesta tese, focamos a nossa atencão no estudo da minimalidade
de realizações de códigos convolucionais 2D através de modelos
de Roesser separáveis. Tais modelos podem ser encarados como a
conexão em série de dois sistemas 1D.
Numa primeira fase propomos um procedimento que possibilita obter
realizações mínimas de um código convolutional 1D a partir de realizações
mínimas de um codificador desse código. De seguida, restringimos
o nosso estudo a duas classes particulares de códigos convolucionais
2D. A primeira classe a ser considerada é a classe de códigos que admite
codificadores do tipo n 1. Para estes códigos, são caracterizados
os codificadores mínimos (i.e. codificadores para os quais uma realização
mínima também é mínima enquanto realização do código), possibilitando
a construção de realizações mínimas de códigos a partir dos seus
codificadores mínimos. A segunda classe a ser considerada é a classe
constituída por códigos a que demos o nome de "composition codes".
Para uma subclasse destes códigos, propomos um método de obtenção
de realizações mínimas através de modelos de Roesser separáveis
