Análise por componentes principais. Entrada de dados para o aplicativo: Procedimento. Opções do aplicativo. Especificação de algoritmos: Descrição de método. Cálculo usando a matriz de variâncias e covariâncias(S). Cálculo usando a matriz de correlação (R). Cálculo usando a Matriz Parcial.bitstream/item/76655/1/CNPTIA-COM.TEC.-6-99.pd

CARVALHO, J. R. P. de

MOURA, M. F.

PALUMBO, F. V. P.

Portuguese

Análise por componentes principais. Entrada de dados para o aplicativo: Procedimento. Opções do aplicativo. Especificação de algoritmos: Descrição de método. Cálculo usando a matriz de variâncias e covariâncias(S). Cálculo usando a matriz de correlação (R). Cálculo usando a Matriz Parcial

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Comunicado Técnico da Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária Embrape Informdtica Agropecuáda Embrapa Informática Agropecuária Ministério de Agricultura e do Abastecimento N°. 6, outubro/99 	 ISSN 1 516-5620 istério da Avictilun e dobast.dme,to APLICATIVO PARA ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS Fabiana Vittoria Patrícia Palumbo' . José Ruy Porto de Carvalho, Maria Fernanda Moura' Termos para indoxaçào: Componentes principais: Algoritmos; SW-NTIA; Análise multivariada, Index terma: Principais componente; Algoritms: SW-NTIÂ; Muitivariato analysis, 1. Introdução Este trabalho tem por objetivo descrever o aplicativo sobre Componentes Principais, o qual está inserido em uma das etapas do subprojeto 14.0.97.362-02 - Desenvolvimento de Algoritmos Relacionados à Metodologia de Análise Multivariada (Moran et aI., 1997). Estes algoritmos estão sendo implementados como aplicativos do Ambiente de Software NTIA-SW NTIA (Embrapa, 1997), através da linguagem de programação matricial CM. Como o módulo CM não permite um tratamento de dados mais apurado, também foi utilizado o módulo GENESE do mesmo software, para criação de arquivos de dados e seleção de variáveis. Desta forma, os dados a serem analisados são transformados em arquivos nUa (Embrapa, 1997) e interpretados como uma matriz pelo módulo CM. Os resultados obtidos são apresentados em tela, podendo ser redirecionados para um arquivo ASCII, que por sua vez pode ser exportado para algum editor de dados a critério do usuário. 2. Análise por Componentes Principais A análise de componentes principais preocupa-se em explicar a estrutura de variância - covariãncia através de poucas combinações lineares das variáveis originais. Seus objetivos são a redução de dimensão da matriz de dados, facilitando assim a interpretação do fenômeno estudado (Ferreira, 1988). Embora p componentes são necessários para reproduzir a variabilidade total dos dados, freqüentemente muita dessa variabilidade pode ser explicada por um pequeno número de k (k < p) componentes principais. Esta técnica é valiosa como um passo intermediário em grandes investigações. Para obter mais detalhes e explicações consultar os trabalhos de Mardia et ai. (1 982) e Johnson & Wichern (1 982). 3. Entrada de Dados para o Aplicativo 3.1. Procedimento Deve-se criar um arquivo contendo a matriz de dados iniciais, utilizando-se o módulo GENESE do SW NTÍA seguindo o roteiro: 1. Formar um arquivo contendo a matriz de dados originais e criar uni arquivo gen da forma Genese [nome da matriz]- Num 1 nomes das colunas referentes as variáveisi Arquivo 1 nome do arquivo que contém a matriz dos dados originaisi Leiaf Imatrizi; 'Estagiária da Embrapa Informática Agropecuária, caixa Postal 6041, Baráo Geraido - 13083-970' Campina: 'Ph.D em Estatistica, Posquisador da Embrapa Informática Agropecuária. (iruy@cnpIia.ombrapa.bn  'Mostro em Engenharia Elétrica, Pasquisadora da Embrapa Informática Agropecuário, lfornanda@cnptia.emb Tiragem: 100 exemplares Comunicado Técnico 2.0 nome da matriz deve ser atualizado na segunda linha do arquivo de programa conforme a seguir: Cm Matriz =/eia '7 nome da matriz]"; 3.2. Opções do Aplicativo • Seleção de varléveis: para esli ferramenta, pode-se selecionar uma lista de variáveis de interesse, isto é, as variáveis pata as quais se deseja usar o má - odo de cálculo para a análise de componentes principais parciais. Nos outros casos, são utilizadas todas as variáveis; • seleção de métodos utilizados:o usuário deve optar pelos métodos a serem utilizados; • opções de relatório de resultnios: o usuário terá saída apenas em tela; • seleção de arquivo de saída: ze o usuário desejar gravar um arquivo de saída, deverá utilizar os recursos do Ms-Dos; • saídas para o aplicativo: con > visto no item anterior, a ferramenta poderá gerar relatório de resultados impresso na tela. 4. Especificação de AIgor'.mos 4.1. Descrição de Método Este documento cobre todos c algoritmos envolvidos na análise de componentes principais. Os componentes principais de um conjunto de dados podem ser. 31culados através das seguintes técnicas: • análise componentes prii. :ipais utilizando a matriz de variâncias e covariãncias; • análise componentes pri cipais utilizando a matriz de correlação; • análise componentes prcipais utilizando a matriz parcial (neste caso o usuário escolhe as variáveis que deseja utilizar). • análise componentes p incipais parciais utilizando a matriz de variâncias e covariâncias; • análise componentes pr ncipaïs parciais utilizando a matriz correlação. Estas técnicas diferem bas';amente pela matriz de dados utilizada e pela forma de cálculo das componentes principais. Nos dois primeiros casos, utiliza-s a matriz completa e, no terceiro caso, apenas algumas variáveis escolhidas pelo usuário para formar uma matriz parcial. P árn disso, em todos os casos podemos efetuar os cálculos utilizando a matriz de variâncias e covariâncias ou a matriz de cc elação. A diferença se dá pela matriz utilizada no cálculo dos autovetores e autovalores. 4.2. Cálculo usando a 1 latriz de Variâncias e Covariâncias (5) O algoritmo a seguir utiliz a matriz de dados completa e encontra os componentes principais através da matriz de variâncias e covariáncias a qual denomina nos S. 4.2.1. Parâmetros de E trada = matriz de dados originais, onde N = número de indivíduos (linhas); P = número de variáveis (colunas). 4.2.2. Parâmetros de Saída $: matriz de variâncias e covariãncias M: vetor de médias DP: vetor de desvios R: matriz de correlação b,c: autovalor e autovetor da matriz S Matriz de resultados contendo: final, autovalor, diferença, proporção e proporção acumulada Fmb,apa /nfo,mética Agropocuá,ia Comunicado Técnico COMP: componentes principais COv: matriz de variâncias e covariâncias entre as componentes e as variáveis originais CORR: matriz de correlação entre a variáveis originais e os componentes ME: matriz de proporções acumuladas explicadas pelas componentes retiradas de cada variável original 4.2.3. Algoritmo • Guardar n e p; • Detinirumvetor unitãrio, nxl.eorn:D'(I.l .......1),,,; • Calculara Matriz de variáncias e covariáncias S=(l /(n-l)) X'(l 1/n.DD')X,nndeléurna inalrizidentidadenxn; • Calculara vetor das MédiasM= t/nX'D: • Calcular os Desvios Padrões Dp= ( diagSi)' ,i = 1,2,3,.......p. • Calcular os autovetores e autovalores utilizando algoritmos que use o (ato de S ser simétrica: S simétrica e positiva definida; Ssimétrica e positivasemi definida. • Ordenar os autovalores em ordem decrescente e os correspondentes autovetores ortonormalizados, nomeá-los por CP. CP.............CP • Montar a tabela das proporções de variações das componentes: Componentes Autovalor Proporção Acumulada CP 1  CP2  CP1, 	 2., 	 IZ'1 ?,. 1 • Imprimir as componentes principais Cli, CP2.............CPp por coluna, nomeando em cada linha as p variáveis de entrada, ou seja: Variáveis 	 CP 1 	 .............. CP Vur. 1 	 TI Var.p 	.t., Onde: E' Ylp 72 ......... 7 	 v 1, . . lp Embrapa !nfom,á fica Agmpecuá ria 	 3 Comunicado Técnico • Calcular a matriz de variáncias e covariáncias entre as componentes e as vadáveis originais: COV = P. onde Fé a matriz dos autovetores eX é a matriz diagonal dos aulovalores. Logo, COV = (cov,), cov a = cov(var,, Cp). • Matriz de correlação entre as variáveis originais e as componentes principais: CORA = (DP)' COV(diagX)' • Calcular a matriz das proporções acumuladas explicadas pelas componentes retiradas, de cada uma variável original: 	c0rr1 	 cúrr1 + corr1 .....................ofl 	 + ........+ 	ME= corr2 	 corrj + cor4.........................+ ........+ corr,,, 	a,rr, 	 corr 1 + corr, ...................corr ,1 + ........+ corr, p • Calcular os escores dos indivíduos nas componentes: ESCORES = (X-DM')f' onde i" é a matriz de autovetores ESCORES,,,, indivíduos por linha e valores da CP no indivíduo i por coluna, i = 1 .....p. 4.3. Cálculo usando a Matriz de Correlação (R) O algoritmo é semelhante ao anterior, entretanto utiliza-se a matriz de correlação em lugar da matriz de variâncias e covariãncias no cálculo de autovalores e autovetores. São os mesmos parâmetros de entrada e de saida. O algoritmo calcula a matriz de correlação: A = (DP)-1 S'(DP)-1 , onde 5 = 1 /(N-1 ) *)( li-(i IN)DDjX Segue o algoritmo anterior com A ( matriz de correlação ) no lugar de 5 (matriz de variâncias e covariâncias). 4.4. Cálculo usando a Matriz Parcial Nos algoritmos a seguir, as variáveis utilizadas são escolhidas previamente, ou seja a matriz de dados será uma nova matriz denominada de matriz parcial. Do mesmo modo que os algoritmos anteriores ternos dois métodos, um utilizando a matriz de variáncias e covariâncias e outro a matriz de correlação. 4.4.1. Utilizando a Matriz de Variâncias e Covariáncias (5) 4.4.1.1. Parâmetros de Entrada X ,, = matriz de dados originais, onde: N = número de individuos (linhas); P = número de variáveis (colunas) Xl,,, = matriz formada pelas variãveis principais = matriz formada pelas variáveis restantes 4.4.1.2. Parâmetros de Saída S: matriz de variãncias e covariâncias S particionada em blocos, onde Si 1 = matriz de variâncias e covariâncias das q variáveis restantes $12 = matriz de variãncias e covariáncias entre as variáveis restantes e principais S22 = matriz de variâncias e covariãncias entre variáveis consideradas parciais 4 	 Emb,'apa Informática Agropecuá ria Comunicado Técnico SP: matriz de variãncias e covariãncias removendo o efeito das parciais DP: vetor de desvios DPC: vetor de desvios parciais M: vetor de médias MP: vetor de médias parciais R: matriz de correlação b,c: autovalor e autovetor da matriz SP Matriz de resultados contendo: final, autovalor, diferença e proporção COMP: componentes principais COV: matnz de covariância entre as componentes e as variáveis originais CORR: matriz de correlação entre a variáveis originais e os componentes ME: matriz de proporções acumuladas explicadas pelas componentes retiradas de cada variável original Escores onde escoresi escores corrigidos e escores2: escores não corrigidos. 4.4.1,3. Algoritmo Ao enirar com as p variáveis vari .....varp e selecionar as que serão consideradas parciais: ver! ver q varq+ 1 ver]) onde q + 1 ................varp são consideradas parciais calcular S = X(l - if n *D*D)*X particionar S em blncos correspondentes a q e p. 12 L S21 s zz Onde: Si 1 q x q matriz de variãncias e covariàncias das variáveis Si 2q x (p-q) matriz das covariâncias entre as variáveis e as variáveis consideradas parciais S22(p-q) x (p-q) matriz de variãncias e covariâncias das variáveis consideradas parciais Embrapa Informática Agropecuã ria 	 5 Comunicado Técnico • Cálculo da matriz de variâncias e covariãncias removendo o efeito das parciais: SP = 511 -512-Si 2521 • Substituir Sp no lugar de 3 e proceder aos cálculos. • Para calcular o vetor das médias obter: Onde Ml é q x 1 e M2 é (p-q) x 1 • Calcular o vetor de médias parciais: MP=M1 512522-1M2,ondeMpéqxi • Para cálculo dos escores corrigidos, fazer: ESCORES = lxi D(MP')I • Para o cálculo dos escores não corrigidos, fazer: ESCORES = (X1 Mi) 4.4.2. Utilizando a Matriz de Correlação (R) Temos os mesmos parâmetros de entrada e saída conforme a situaçâo anterior e pequena alteração no algoritmo, conforme especificado a seguir: • Calcular DPC = (diagSP) 1/2 CORRP = (DPC)-I SPIDPC)-1 Formar A no lugar de 5 e proceder a partir do cálculo para parciais. S. Referências Bibliográficas EMBRAPA. Centro Nacional de Pesquisa Tecnológica em Informática para a Agricultura. Software NTIA: manuais do usuário. Campinas, 1997. 4v. não paginado FEAREIRA; A. M. Apostila de técnicas multivariodas, São Carlos: Universidade Federal de São Carlos, $P. Departamento de Estatística, 1988.   JOHNSON, NA.; WICHERN, D.W. Apliedmultivariatestatisticalanalysis. 2.ed. Prentice-Hall, 1982, MARDIA, K.V.; KENT, J. T,; BIBBY, J .M. Mu/tivariate analysis. London: Academic PresslHarcourt Brace Jovanovich, 1982. MORAN, R.C.C,P,; MARTINEZ, E.; CARVALHO, J.R.P. de; SUGHAWARA, M.; KOMI, A. Desenvolvimento de algoritmos relacionados a metodologia de análise rnultivariada. Campinas: Embrapa Informática Agropecuária, 1997. 1 Op. (EMBRAPA. Programa 14. Intercâmbio de Informação em Apoio às Ações de Pesquisa e Desenvolvimento. Subprojeio 14.0.97.362-04). 6 	 Enibrapa Informática Agropecuáda IMPRESSO mo Empresa Brasileira de Pesquise Agropecudria Embrepa InformAtica AgropecuáNa Ministério da Agricultura e do Abastecimento Rua Di. André Tose/lo, sin' Caixa Poste) 6041 - Sarâo Gero/do 13083-9 70 - Campinas, SP Fone (19) 289-9800 For (19) 289-9594 E-mail. soe ©cnpti&embrapa.b, http://www.cnptia.embrapabf  GOVERNOFE li FEDERALIM  

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