Jensen, Jens Højgaard

Danish

Roskilde Universitet

RoskildeUniversityAtlanterhavsbølger- breddeopgave 67 med didaktisk kommentarJensen, Jens HøjgaardPublished in:KvantPublication date:2015Document VersionOgså kaldet Forlagets PDFCitation for published version (APA):Jensen, J. H. (2015). Atlanterhavsbølger- breddeopgave 67 med didaktisk kommentar. Kvant, 2015(4), 29-30.http://kvant.dk/upload/kv-2015-4/kv-2015-4-JHJ-breddeopgave67.pdfGeneral rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.            • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research.            • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain.            • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact rucforsk@ruc.dk providing details, and we will remove access to thework immediately and investigate your claim.Download date: 02. Dec. 2021Atlanterhavsbølger– breddeopgave 67 med didaktisk kommentarAf Jens Højgaard Jensen, IMFUFA, NSM, RUC.Mit formål med artikelserien om breddeopgaver er – udover at gøre opmærksom på RUCs fysikuddan-nelse – dobbelt: Dels udvælger jeg opgaverne, så de kan have interesse som fysikproblemer i egen ret.Dels udvælger jeg dem med henblik på at kunne knytte didaktiske overvejelser til dem af interesse forfysikundervisere. I første omgang i forhold til universitetsundervisning. Men i anden omgang kunne dermåske også trækkes paralleller til andre undervisningsniveauer.Her bringes løsning og kommentar til opgaven fraforrige nummer samt en ny opgave. Opgaven i sidstenummer af KVANT var denne breddeopgave (nr. 67 irækken her i KVANT):Breddeopgave 67. AtlanterhavsbølgerHvordan er sammenhængen mellem bølgehastighed ogbølgelængde for bølgerne på Atlanterhavet? Begrundsvaret ud fra en dimensionsanalyse.LøsningI atlanterhavsbølger bevæger vandmasserne sig i tyng-defeltet. Tyngdefeltstyrken g må derfor være bestem-mende for bølgernes hastighed. Hvis der var vand påMånen, ville tilsvarende tyngdebølger dér bevæge sigmed en anden hastighed end på Jorden. Vi må ogsåantage, at bølgehastigheden varierer med bølgelængdenλ. Det kan også tænkes, at bølgehastigheden afhængeraf bølgehøjden a. Men den eventuelle afhængighed kanvi se bort fra, når a er lille i forhold til λ, da vi ved,at bølgehastigheden ikke går mod nul for a/λ gåendeimod nul. Derfor kan vi se bort fra a som bestemmendestørrelse, når vi begrænser os til at udtale os om ikke forskrappe bølger. Havdybden ser vi bort fra som noget,der har indflydelse på bølgerne, i betragtning af denstore afstand til bunden af Atlanterhavet sammenlignetmed størrelsesordenen af de bølgelængder, vi vil findebølgehastigheder for. Endelig kunne vi måske ogsåumiddelbart tænke os, at vandets massefylde % harindflydelse på vandbevægelserne. Altså, at bølgeha-stigheden for bølger i et kviksølvhav ville have andrebølgehastigheder end tilsvarende bølger i Atlanterhavet.Med disse udgangspunkter er bølgehastigheden afbølgerne på Atlanterhavet, v, en funktion alene af g, λog %, v(g, λ, %). Da g, λ og % ikke kan kombineres tilen dimensionsløs størrelse og kun kombinationen√gλaf g, λ og %, har dimensionen hastighed har vi følgeligmed nødvendighed:v(g, λ, %) = b√gλ, (1)hvor b er et dimensionsløst tal. Hastigheden af bølgernepå Atlanterhavet er derfor proportional med kvadrat-roden af deres bølgelængder, og den er uafhængig af% i overensstemmelse med, at alle legemer falder ligehurtigt.KommentarDimensionsanalyse med det formål at udtrykke enfysisk størrelse Q1 som funktion af en række andrebestemmende fysiske størrelser, Q2, Q3, Q4, ..., altsåat finde en formel for Q1(Q2, Q3, Q4, ...), består ialmindelighed af to skridt.Fysiske størrelser med forskellig dimension, f.eks.en længde og en masse, kan ikke meningsfuldt læggessammen. Derimod kan de ganges sammen og divideresmed hinanden til en ny størrelse med en ny dimension,f.eks. massefylde med dimensionen masse divideretmed længde i tredje potens. Derfor skal de dimensions-mæssigt mulige formler søges blandt:Q1(Q2, Q3, Q4, ...) = p Qα2 Qβ3 Qγ4 ..., (2)hvor p er et dimensionsløst tal eller en dimensionsløsfunktion af dimensionsløse bestemmende fysiske stør-relser eller dimensionsløse kombinationer af bestem-mende fysiske størrelser.Det andet skridt i dimensionsanalyse består derfori, dels at finde ud af hvilke værdier af α, β, γ...,der giver ligning (2) samme dimension på begge sideraf lighedstegnet, dels at finde ud af om der findesdimensionsløse kombinationer af Q2, Q3, Q4, ..., ogi givet fald hvilke, som p da kan afhænge af. I dennæste artikel i rækken vil jeg uddybe dette. Her vil jegkommentere det første skridt.Det første skridt i dimensionsanalyse er valget af debestemmende fysiske størrelser,Q2,Q3,Q4, ..., for denstørrelse Q1, der ønskes udviklet en formel for. Oftester det dette skridt, der volder mine studerende størstvanskeligheder. Til en start vil de typisk mene, at mankun kan vælge de bestemmende fysiske størrelser, hvisman ad anden vej kender det resultat, man vil udlede.Så hvilke fysiske størrelser kan en utrænet, uden atkende svaret på forhånd, tænke, at bølgehastigheden afbølgerne i Atlanterhavet afhænger af?Alt inkluderet, har jeg oplevet følgende anførte for-slag til bestemmende fysiske størrelser for bølgehastig-heden:v = v(g, λ, %, η, γ, a, h, f, x, y, t) (3)Her står g for tyngdefeltstyrke, λ for bølgelængde,% for massefylde, η for viskositet, γ for overfladespæn-ding, a for bølgeamplitude, h for havdybde, f for bøl-gefrekvens, x og y for rumkoordinater, t for tid. Hvilkeer da argumenterne for blandt disse fysiske størrelserat nøjes med g, λ og %, som gjort ved løsningen afopgaven?Argument 1. Resultatet af en modelberegning af-hænger af modellens parametre, ikke af dens variable.Dimensionsanalyse er en metaanalyse af, hvilken artresultater forestillede modelberegninger er begrænsetKVANT, december 2015 – www.kvant.dk 29til at kunne føre til, uden at foretage beregningerne,afhængig af de antagelser, som modellerne er baseredepå. De fysiske størrelser x, y og t indgår i modelbe-regning af bølger. Men de indgår ikke i det resultat viefterspørger. Det er givet ved modellens parametre ogikke dens variable x, y, og t. På samme måde som, hvisvi skulle modellere en bygningskonstruktion ved hjælpaf en ret linje, y = ax, og en cirkel, x2 + y2 = r2, forat finde højden h af deres skæringspunkt. Her har a ogr rolle af parameter, x og y rolle af variable i modellen.Resultatet, h = ar/√a2 + 1, afhænger af parametrenea og r, ikke af variablene x og y. Tilsvarende er detmisforstået (og meningsløst) at medtage x, y og t sombestemmende for v.Argument 2. De bestemmende fysiske størrelser skalrepræsentere indbyrdes uafhængige fysiske forhold. Forfrekvensen f gælder det, at den matematisk er bundetsammen med v og λ, idet v = fλ. Vi kan derfor ikkevælge f og λ uafhængigt af hinanden som bestemmen-de for v. Indsættes λ = v/f i ligning (1), fåsv(g, f, %) = b2g/f (4)Ligningerne (1) og (4) er begge fysiske ligninger. Deviser en sammenhæng i naturen. Derimod er v = fλen matematisk ligning. Den viser en logisk konsekvensaf, at vi taler om periodiske bølger. Fysisk set fortællerligningerne (1) og (4) det samme. Forskellen imellemdem har alene med en matematisk reformulering atgøre. Ved dimensionsanalysen kan vi vælge at regnef for bestemmende input parameter. I så fald vil vi nåfrem til ligning (4), hvis vi undlader at regne med λsom bestemmende input parameter samtidigt. Vi kanikke regne både f og λ for bestemmende uafhængigtaf hinanden.Argument 3. Valget af bestemmende fysiske størrel-ser afhænger af rækkevidden af den ønskede formel.Vi kan nøjes med at interessere os for bølger medbølgelængder, der er små i forhold til havdybden. Såafhænger v ikke af h. Tilsvarende afhænger v ikke afbølgehøjden a, hvis vi nøjes med at interessere os forbølger, hvor bølgehøjden er lille i forhold til bølgelæng-den. Endelig kan vi se bort fra overfladespændingen γsom bestemmende, ved at forudsætte bølgelængden stornok til, at tyngdekræfter dominerer over overfladespæn-dingskræfter.Argument 4. Kun relevante fysiske størrelser skaltages i betragtning. Vandets viskositet η er en egenskabved vandet, der fysisk set er uafhængig af f.eks. vandetsmassefylde %. Men den er umiddelbart irrelevant forbestemmelsen af v. Viskositeten har først og fremmestbetydning for dæmpningen af bølgerne ved, at deresmekaniske energi i det lange løb bliver til termiskenergi, ikke for bølgernes hastighed. Derimod er derforskelligt indhold af mekanisk energi i ens bølger ivæsker med forskellig massefylde. Derfor er det ogsåumiddelbart relevant at antage, at v afhænger af %. Deter da også tilfældet for kappilarbølger. For Atlanterha-vets tyngdebølger – som er det, vi har udviklet formlerfor – udgik derimod ifølge dimensionsanalysen også %som bestemmende for v. For mange mekaniske fæno-mener drevet af netop tyngdekræfter udgår størrelsenaf involverede masser af beregningerne, da de optræderens på begge sider af lighedstegnet i Newtons II lov.Af de to skridt, som dimensionsanalyse består af, erdet valget af inputstørrelser gennem overvejelser somde her antydede, der er det svære skridt. Det kræverforståelse af den begrebslige forskel imellem modellersparametre og variable, forståelse af forskellen imellemmatematiske lighedstegn (udsagn om logisk sammen-hæng) og fysiske lighedstegn (udsagn om empirisksammenhæng), sans for modellering ved hjælp af ide-aliseringer, og overblik over, hvilke fysiske størrelser,der er relevante for givne fænomener. Når først Q2, Q3,Q4, ... er valgt, er det i forhold hertil en ret formel ogoverkommelig sag at gennemføre analysen ved hjælp afligning (2).Når den (fejlagtige) opfattelse findes, at dimensions-analyse kun kan benyttes til at finde resultater, som erfundet på anden måde i forvejen, hænger det sammenmed vanskelighederne ved valget af inputstørrelser. Deter måske disse vanskeligheder, der er grunden til, atdimensionsanalyse ikke er ret hyppigt forekommendei indledende universitetsundervisning i fysik? Det anta-ges måske, at man, for at dimensionsanalysen skal givemening, først må forberedes fysikmæssigt ad anden vej.Imidlertid er det en overvejelse værd, om vanskelig-hederne ved valg af inputstørrelser ved en dimensions-analyse ikke modsvarer nogle af de afgørende vanske-ligheder på vejen til at lære at tænke, som fysikere gør,i det hele taget. I så fald er dimensionsanalysen måskeden oplagte indgang til at lære fysik, forud for, at derudbygges med matematik.Forståelsen af forskellen imellem parametre og va-riable i en model, forståelsen af forskellen imellemmatematiske og fysiske lighedstegn, og forståelsen afforskellen imellem at overse og at se bort fra, er alleafgørende ved modellering og fysisk problemløsning. Istedet for at forudsætte disse forståelser for at give sig ikast med dimensionsanalyse, kan man spørge om sagenikke kan vendes på hovedet: Måske er arbejde meddimensionsanalyse en af de mere direkte veje til at træ-ne disse forståelser? Samtidig kan dimensionsanalysenundervisningsmæssigt bruges til at introducere mangedele af fysikken forud for, at der senere udbygges medden matematik, der for tidligt indført kan komme til atoverskygge fysikindholdet.Breddeopgave 68. Bohrs atommodelInden næste nummer af KVANT udkommer, kan læser-ne eventuelt træne dimensionsanalyse ved løsningen afdenne opgave fra breddekurset på RUC (fra eksamenjuni 2009, nummer 68 i rækken her i KVANT):Niels Bohr blev i 1913 ført på sporet af sin modelfor brintatomet ved at bemærke, at det ikke er muligtat danne en karakteristisk længde svarende til ato-mets størrelse fra naturkonstanterne me, elektronensmasse, og e2/4πε0, konstanten i Coulombs lov, derer de naturkonstanter, der kan indgå i resultatet af enklassisk beregning. Hvis derimod h, Plancks konstant,inddrages, fremgår der herved en karakteristisk længdeaf den rigtige størrelsesorden. Hvordan er Bohrradiusgivet ved me, h, og e2/4πε0? Begrund svaret.Løsning og kommentar bringes i næste nummer.30 Atlanterhavsbølger: breddeopgave 67 med didaktisk kommentar

Atlanterhavsbølger- breddeopgave 67 med didaktisk kommentar

https://forskning.ruc.dk/files/56496193/kv_2015_4_JHJ_breddeopgave67.pdf

Atlanterhavsbølger- breddeopgave 67 med didaktisk kommentar

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Roskilde Universitet