DIVCLUS-T is a descendant hierarchical clustering algorithm based on a monothetic bipartitional approach allowing the dendrogram of the hierarchy to be read as a decision tree. We propose in this paper a new version of this method called C-DIVCLUS-T which is able to take contiguity constraints into account. We apply C-DIVCLUS-T to hydrological areas described by agricultural and environmental variables, in order to take their geographical contiguity into account in the monothetic clustering process

CHAVENT, Marie

LECHEVALLIER, Yves

PETIT, Kévin

VERNIER, Françoise

Oskar Bordeaux

Classification divisive sous contraintes. Application au bassin de la Charente

[Departement_IRSTEA]Territoires [TR1_IRSTEA]DTAMNational audienceDIVCLUS-T is a descendant hierarchical clustering algorithm based on a monothetic bipartitional approach allowing the dendrogram of the hierarchy to be read as a decision tree. We propose in this paper a new version of this method called C-DIVCLUST which is able to take contiguity constraints into account. We apply C-DIVCLUS-T to hydrological areas described by agricultural and environmental variables, in order to take their geographical contiguity into account in the monothetic clustering process.DIVCLUS-T est une méthode de classification hiérarchique descendante et monothétique qui cherche à optimiser à chaque étape un critère d'homogénéité défini sur la partition construite. Le dendrogramme a la particularité d'être expliqué, à chaque palier, par une question binaire. Nous proposons dans ce papier une nouvelle version de cette méthode appelée C-DIVCLUS-T qui est capable de prendre en compte les contraintes de contigüıté. Nous appliquons C-DIVCLUS-T sur un ensemble zones hydrologiques qui sont décrites par des variables agricoles et environnementales

Chavent, Marie

Lechevallier, Yves

Petit, Kévin

Vernier, Françoise

INRIA a CCSD electronic archive server

Classification divisive sous contraintes : Application au bassin de la Charente

International audienceDIVCLUS-T is a descendant hierarchical clustering algorithm based on a monothetic bipartitional approach allowing the dendrogram of the hierarchy to be read as a decision tree. We propose in this paper a new version of this method called C-DIVCLUS-T which is able to take contiguity constraints into account. We apply C-DIVCLUS-T to hydrological areas described by agricultural and environmental variables, in order to take their geographical contiguity into account in the monothetic clustering process

HAL Id: inria-00386792https://hal.inria.fr/inria-00386792Submitted on 22 May 2009HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.Classification divisive sous contraintes. Application aubassin de la CharenteMarie Chavent, Yves Lechevallier, Kévin Petit, Françoise VernierTo cite this version:Marie Chavent, Yves Lechevallier, Kévin Petit, Françoise Vernier. Classification divisive sous con-traintes. Application au bassin de la Charente. 41èmes Journées de Statistique, SFdS, May 2009,Bordeaux, France. ￿inria-00386792￿Classification divisive sous contraintes.Application au bassin de la CharenteMarie Chavent & Yves Lechevallier & Kevin Petit & Francoise VernierMarie ChaventUniversité Bordeaux 2, Institut de Mathématiques de Bordeaux, UMR 5251.146, Rue Léo Saignat, 33076 Bordeaux cedex, FranceYves LechevallierINRIA, Paris-Rocquencourt 78153 Le Chesnay cedex, FranceKevin Petit et Francoise VernierCEMAGREF-Bordeaux, Unité de recherche ADER 50,Avenue de Verdun, 33612 Cestas, FranceRésumé : DIVCLUS-T est une méthode de classification hiérarchique descendante etmonothétique qui cherche à optimiser à chaque étape un critère d’homogénéité défini sur lapartition construite. Le dendrogramme a la particularité d’être expliqué, à chaque palier,par une question binaire. Nous proposons dans ce papier une nouvelle version de cetteméthode appelée C-DIVCLUS-T qui est capable de prendre en compte les contraintes decontigüıté. Nous appliquons C-DIVCLUS-T sur un ensemble zones hydrologiques qui sontdécrites par des variables agricoles et environnementales.Abstract: DIVCLUS-T is a descendant hierarchical clustering algorithm based on amonothetic bipartitional approach allowing the dendrogram of the hierarchy to be read asa decision tree. We propose in this paper a new version of this method called C-DIVCLUS-T which is able to take contiguity constraints into account. We apply C-DIVCLUS-T tohydrological areas described by agricultural and environmental variables, in order to taketheir geographical contiguity into account in the monothetic clustering process.1 IntroductionLa méthode DIV [4] est une méthode de classification descendante hiérarchique quis’applique sur l’ensemble des objects à classer, noté Ω , par divisions successives ets’articule autour des trois points suivants:• Les divisions s’arrêtent après K étapes. On obtient donc le ”haut” du dendro-gramme c’est à dire les partitions de 2 à K + 1 classes.• A chaque étape cette méthode choisit de diviser la classe telle que la nouvelle parti-tion ainsi obtenue maximise le gain entre le critère d’homogénéité de la classe diviséeet la somme des critères d’homogénéité des deux classes issues de cette division.1• Le principe de DIV dans l’étape de bi-partitionnement d’une classe à n éléments endeux sous-classes est d’éviter d’évaluer l’homogénéité des 2n−1−1 bi-partitions possi-bles pour en retenir la meilleure, mais d’évaluer uniquement ce critère d’homogénéitésur l’ensemble de toutes les bi-partitions induites par toutes les questions binairesqui peuvent être générées à partir des variables descriptives. On utilise donc, ici,l’approche monothétique des arbres de décisions et de régression [2] mais dans uncadre non supervisé. Les différences sont nombreuses et, en particulier, il n’y a pasde variable à expliquer et pas d’élagage.La méthode DIVCLUS-T [3] est une méthode simple qui suit les principes de laméthode DIV et dont la principale propriété est de fournir une interprétation immédiateet monothétique du dendrogramme et des classes de la hiérarchie.Dans ce papier, nous proposons une extension de DIVCLUS-T, appelée C-DIVCLUS-T qui est capable de prendre en compte les contraintes de contigüıté. Pour cela nousallons définir un nouveau critère d’homogénéité à partir de la distance mais qui inclusaussi ces contraintes de contigüıté. De ce fait C-DIVCLUS-T sera en mesure de traiterdes données complexes. Plusieurs travaux introduisant contraintes de contigüıté dans laméthode de classification automatique ont déja été réalisés [6], [7]. La méthode proposéeici à la spécificité d’être monothétique.2 Définition du nouveau critère d’homogénéitéSoit PK = {C1, . . . , Ck, . . . , CK} une partition de K classes de Ω et D = (dii′)n×n lamatrice des distances. Sans les contraintes de contigüıté le critère d’homogénéité [4] estdéfini par :W (PK) =K∑k=1D(Ck),avecD(Ck) =∑i∈Ck∑i′∈Ckwiwi′2µkd2ii′ , (1)et µk =∑i∈Ckwi. Maintenant nous allons introduire les contraintes géographiques sous laforme de contraintes de contigüıté dans ce critère d’homogénéité.2.1 Modélisation des contraintes géographiquesDans notre application les objets de Ω que nous voulons classer sont des zones hy-drologiques possédant des contraintes géographiques représentant les zones limitrophes.Nous allons modéliser ces contraintes par un graphe G = (Ω, E) où E est l’ensemble des2arêtes (i, i′) entre deux objets de Ω. Ici il y a une arête entre i et i′ si la zone i′ estlimitrophe de i.Soit Q = (qii′)n×n la matrice d’incidence de G oùqii′ = 1 si (i, i′) ∈ E (i est limitrophe de i′) (2)qii′ = 0 sinon.2.2 Nouvelle distance entre deux objetsSans les contraintes le critère d’homogénéité D(Ck) de la classe k est égal à :D(Ck) =∑i∈Ckwi2µkDi(Ck) avec Di(Ck) =∑i′∈Ckwi′d2ii′ (3)Avec les contraintes ce critère d’homogénéité Di(Ck) est modifié et s’écrit maintenantcomme :Di(Ck) = αai(Ck) + (1− α)bi(Ck) (4)avec,ai(Ck) =∑i′∈Ckwi′(1− qii′)d2ii′ (5)bi(Ck) =∑i′ 6∈Ckwi′qii′(1− d2ii′), (6)et α ∈ [0, 1].Nous pouvons noter qu’en absence de contraintes la matrice d’incidence Q est unen× n nulle et que D̃i(Ck) = αDi(Ck). Sinon D̃i(Ck) est décomposée en deux parties.La première partie ai(Ck) mesure la cohérence entre i et sa classe Ck. Cette valeur estpetite quand i est proche des autres objets de la classe Ck(dii′ ≈ 0) et que ces objets sontses voisins (qii′ = 1).La seconde partie bi(Ck) mesure l’éloignement de i aux autres classes. Cette valeurest petite quand i est distant des objets n’appartement pas à Ck (dii′ ≈ 1) et quand cesobjets ne sont pas voisins de i (qii′ = 0).Wα(PK) =K∑k=1∑i∈Ckwi2µk(αai(Ck) + (1− α)bi(Ck)). (7)3Figure 1: Partition en 5 classes avec α = 0.5 associé au dengrogramme obtenu avecC-DIVCLUS-T3 ApplicationLes 140 zones hydrologiques sont les unités spatiales et sont connectées entre elles. L’objectifest de partitionner ces zones hydrologiques en classes homogènes par rapport aux variablesdéscriptives utilisées (variables agricoles ou environnementales) et en essayant de prendreen compte les contraintes géographiques.Nous avons retenu la partition en 5 classes et la figure 3(a) donne la carte du bassinde la Charente avec cette classification et l’arbre des questions binaires est représenté parla figure3(b).Nous pouvons observer que les cinq classes sont facilement interprétables. En effet surla zone côtière les trois classes sont bien délimitées et une région urbaine (deux unités)est mise en valeur.References[1] Bock, H.-H. and Diday, E. (eds.): Analysis of symbolic data. Exploratory methodsfor extracting statistical information from complex data. Springer Verlag, Heidelberg(2000)[2] Breiman, L., Friedman, J.H., Olshen, R.A., and Stone, C.J.: Classification andregression Trees. C.A:Wadsworth (1984)[3] Chavent, M, Briant, O. and Lechevallier, Y.: DIVCLUS-T: a monothetic divisivehierarchical clustering method. Computational Statistics and Data Analysis, 52 (2),687-701 (2007)4[4] Chavent, M.: Analyse des données symboliques. Une méthode divisive de classifica-tion, Thèse de Université Paris-IX Dauphine (1997)[5] Chavent, M.: A monothetic clustering method. Pattern Recognition Letters, 19,989-996 (1998)[6] Murtagh, F.: A Survey of Algorithm for Contiguity-constrained clustering and Re-lated Problems. The computer journal, 28(1), 82-88 (1985)[7] Gordon A. D.: A survey of constrained classification. Computational statistics anddata analysis, 21 (1), 17-29 (1996)[8] Zahm, F. and Vernier F.: Contribution to the zoning of territorial agri-environmentalmeasures within the context of the Rural Development Program for the 2007-2013period: Application of the statistical model RA-SPACE to the river basin district ofAdour-Garonne in order to implement a pesticide indicator. Cemagref report to theFrench Ministry of Agriculture,122 p (2007)5

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