Daniela Zubović

Šefket Arslanagić

Croatian

Arslanagić, Šefket

Zubović, Daniela

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

   39Tri teorema za konveksne četverokuteTri teorema za konveksne četverokuteŠefket Arslanagić1, Daniela Zubović2U ovom radu ćemo dokazati tri zanimljiva teorema koji vrijede za konveksne četverokute. Pri tome ćemo za dokaz drugog teorema koristiti prvi. Prvi teorem glasi:Teorem 1. Neka je ABCD konveksni četverokut čije su duljine stranica a, b, c, d i du-ljine dijagonala e i f. Tada vrijedi nejednakost:2 2 2 2 2e f b d ac    .                                                 (1)Dokaz: Neka su točke P i Q središta stranica BC  i AD .ABPCKafbecdDQPromatrajmo trokute DABC i DBCD čije su težišnice AP i DP . Imamo poznate for-mule za duljine težišnica trokuta:  2 2 22 2AP a e b                                                (2)i  2 2 2 21 2 24DP c f b   .                                            (3)Slično, za težišnicu PQ  trokuta DPAD imamo:2 2 2 21 2 24PQ AP PD d    ,a odavde zbog (2) i (3): 2 2 2 2 2 2 24 PQ a c b d e f      .                                   (4)Neka je točka K  središte dijagonale BD ; imamo 2cKP   i 2aKQ  .Za trokut KPQD  vrijedi da je KP KQ PQ  , tj.1Šefket Arslanagić, Sarajevo2Daniela Zubović, SarajevoPoučak 8340  2a cPQ ,a odavde je  2 2 2 24 2PQ a c a ac c     .                                     (5)Sada iz (4) i (5) dobivamo: 2 2 2 2 2 2 2 22a c b d e f a ac c        ,a odavde je2 2 2 2 2e f b d ac    ,što je nejednakost (1), q.e.d.Drugi teorem odnosi se na tetivni četverokut. Napomenimo da su u tetivnom če-tverokutu nasuprotni kutovi suplementarni i da za njega vrijedi Ptolemejev teorem: ac bd ef  .                                                       (6)Teorem 2. Za tetivni četverokut ABCD  vrijedi nejednakost:  22 2 2 2 2 2a b c d e f e f       .                                (7)Dokaz: U Teoremu 1. dokazali smo da vrijedi nejednakost2 2 2 22b d ac e f    .Potpuno analogno dokazuje se da vrijedi i nejednakost:2 2 2 22a c bd e f    .Nakon zbrajanja ovih dviju nejednakosti dobivamo zbog (6):   2 2 2 2 2 22 2a b c d ac bd e f       , tj.2 2 2 2 2 2 2 22a b c d e ef f e f         ili 22 2 2 2 2 2a b c d e f e f       ,a ovo je nejednakost (7), q.e.d.Teorem 3. (Eulerov teorem). Za konveksni četverokut ABCD vrijedi sljedeća jednakost: 2 2 2 2 2 2 24 EF AB BC CD DA AC BD      ,                  (8)gdje su točke E i F središta dijagonala AC  i BD .Dokaz: Dužine ,DE BE  i EF  težišnice su trokuta DADC, DABC i DDEB. Imamo poznate formule:   41Tri teorema za konveksne četverokute 2 2 2 21 2 24DE DA CD AC   ,  2 2 2 21 2 24BE AB BC AC   ,i  2 2 2 21 2 24EF BE DE BD   . ABCDF EUvrštavanjem formula za 2DE i 2BE u 2EF dobivamo:   2 2 2 2 2 2 2 21 1 12 2 2 24 2 2EF AB BC AC DA CD AC BD         , tj.2 2 2 2 2 2 24 EF AB BC CD DA AC BD      ,a ovo je jednakost (8), q.e.d.Posljedica: Budući da je 2 0EF  , slijedi iz (9):2 2 2 2 2 2AB BC CD DA AC BD     .Ako  je E F , tj. ako se dijagonale četverokuta ABCD raspolavljaju, tada je četvero-kut ABCD paralelogram. Budući da je tada 0EF  , dobivamo iz (8):2 2 2 2 2 2AB BC CD DA AC BD     .  Napomena: Može se pokazati da ovaj teorem vrijedi i za nekonveksne četverokute.Literatura:1. Š. Arslanagić, Matematika za nadarene, Bosanska riječ, Sarajevo, 2005.2. A. Marić, Planimetrija - Zbirka riješenih zadataka, Element, Zagreb, 1996.3. O.T. Pop, N. Minculete, M. Bencze, An introduction to quadrilateral geometry, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti (Romania), 2013. 

TRI TEOREMA ZA KONVEKSNE ČETVEROKUTE

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia