Хомченко, А. Н. Скінченні елементи біквадратичної інтерполяції: стандарти та альтернативи = Final elements of bikvadratic interpolation: standards and alternatives / А. Н. Хомченко, А. В. Варшамов // Зб. наук. пр. НУК. – Миколаїв : НУК, 2020. – № 1 (479). –
С. 97–102.Анотація. Робота присвячується скінченним елементам (СЕ) біквадратичної інтерполяції, які разом із трикутними СЕ вважаються найбільш популярними у прикладних задачах. Мова йде про ізопараметричні елементи, відомі як елементи серендипового класу. Головний недолік стандартних серендипових елементів, на думку прихильників механічних аналогій, полягає у фізичній неадекватності еквівалентних вузлових «навантажень» від рівномірної масової сили. Це явище «гравітаційного відштовхування» інколи називають парадоксом Зенкевича, який вперше у 1971 р. звернув увагу на протиприродний спектр еквівалентних вузлових сил і жорстко критикував цей феномен. Треба зазначити, що сам Зенкевич як співавтор відкриття стандартних серендипових СЕ вважав, що цей недолік усунути неможливо, і радив змиритися з ним. Ми спробуємо реабілітувати стандартні ізопараметричні СЕ шляхом іншої інтерпретації інтегральних характеристик функцій впливу вузлів СЕ. Крім того, ми вкажемо на причини виникнення від’ємних вузлових навантажень та запропонуємо спосіб конструювання альтернативних базисів, які вільні від цього недоліка. Цікаво, що конструктивна теорія серендипових апроксимацій дає змогу генерувати в необмеженій кількості математично обґрунтовані і фізично адекватні альтернативні моделі. Мета роботи – конструктивно довести факт існування альтенативних моделей серендипових скінченних елементів біквадратичної інтерполяції. Приклад скінченного елемента другого порядку Q8 ілюструє змогу обирати спектр еквівалентних вузлових навантажень на замовлення користувача. При цьому забезпечується математична обґрунтованість моделей (у рамках інтерполяційної гіпотези Лагранжа) та їх фізична адекватність. Методика побудови нових базисних функцій (функцій впливу) використовує нематричну процедуру статичної конденсації (редукції). На відміну від стандартної процедури («рецепт» Джордана, 1970) нова процедура генерує множину нових працездатних моделей скінченних елементів. Наявність невузлового параметру дає змогу керувати формоутворенням серендипових поверхонь. Оптимізація локальних та інтегральних характеристик моделі відбувається саме шляхом зміни рельєфу поверхні функції форми. В цьому полягає наукова новизна отриманих результатів. Новий підхід зберігає міжелементну неперервність. Це означає, що на практиці можна без небажаних наслідків ансамблювати стандартні та альтернативні моделі. Нові скінченні елементи суттєво поповнюють модельний ряд елементів бікваратичної інтерполяції. Практична значення полягає у змозі експериментувати з метою покращення інтерполяційних властивостей та обчислювальних якостей моделі. Дослідження важливе для оновлення модельного ряду скінченних елементів у пакетах прикладних програм.Abstract. The paper deals with finite element (CE) biquadratic interpolation, which together with triangular CE are considered to be the most popular in applied problems. These are isoparametric elements known as serendipity class elements. The main drawback of standard serendipity elements, according to proponents of mechanical analogies, is the physical inadequacy of equivalent nodal “loads” of uniform mass force. This phenomenon of “gravitational repulsion” is sometimes called the Zenkevic paradox, which for the first time in 1971 drew attention to the unnatural spectrum of equivalent nodal forces and severely criticized the phenomenon. It should be noted that Zenkevich, as a co-author of the discovery of standard serendipity CEs, believed that this deficiency could not be eliminated and advised her to put up with it. We will try to rehabilitate standard isoparametric CEs by another interpretation of the integral characteristics of the functions of the influence of the SE nodes. In addition, we will highlight the causes of negative nodal loads and provide a way to construct alternative bases that are free from this drawback. Interestingly, the constructive theory of serendipity approximations allows us to generate mathematically sound and physically adequate alternative models in an unlimited number. The purpose of this work is to constructively prove the existence of alternative models of serendipity finite elements of bicquadratic interpolation. The example of a second-order Q8 finite element illustrates the ability to select a range of equivalent node loads at the user’s request. The mathematical validity of the models (within the framework of the Lagrange interpolation hypothesis) and their physical adequacy are ensured. The technique of constructing new basis functions (influence functions) uses a non-matrix procedure of static condensation (reduction). Unlike the standard procedure (Jordan’s 1970 recipe), the new procedure generates many new workable finite element models. The presence of a non-nodal parameter makes it possible to control the shaping of serendipity surfaces. Optimization of local and integral characteristics of the model occurs precisely by changing the relief of the surface of the form function. This is the scientific novelty of the results. Note that the new approach preserves cross-element continuity. This means that in practice, standard and alternative models can be assembled without undesirable consequences. The new finite elements significantly add to the lineup of biquarian interpolation elements. The practical value is the ability to experiment to improve the interpolation properties and computational properties of the model. But it’s important to update the finite element lineup in application packages
