The number of solutions in finite fields of a system of polynomial equations
obeys a very strong regularity, reflected for example by the rationality of the
zeta function of an algebraic variety defined over a finite field, or the
modularity of Hasse-Weil's L-function of an elliptic curve over \Q. Since
two decades, efficient methods have been invented to compute effectively this
number of solutions, notably in view of cryptographic applications.
This expos\'e presents some of these methods, generally relying on the use of
Lefshetz's trace formula in an adequate cohomology theory and discusses their
respective advantages.
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Le nombre de solutions dans les corps finis d'un syst\`eme d'\'equations
polynomiales ob\'eit \`a une tr\`es forte r\'egularit\'e, refl\'et\'ee par
exemple par la rationalit\'e de la fonction z\^eta d'une vari\'et\'e
alg\'ebrique sur un corps fini, ou la modularit\'e de la fonction L de
Hasse-Weil d'une courbe elliptique sur \Q.
Depuis une vingtaine d'ann\'ees des m\'ethodes efficaces ont \'et\'e
invent\'ees pour calculer effectivement ce nombre de solutions, notamment en
vue d'applications
\`a la cryptographie.
L'expos\'e en pr\'esentera quelques-unes, g\'en\'eralement fond\'ees
l'utilisation de la formule des traces de Lefschetz dans une th\'eorie
cohomologique convenable, et expliquera leurs avantages respectifs.Comment: S\'eminaire Bourbaki, 50e ann\'ee, expos\'e 968, Novembre 2006. 48
pages, in french. Final version to appear in Ast\'erisqu
