TAGAWA, Hiroyuki

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拡張されたナラヤナ多項式の合成積についてOn convolutions of extended Narayana polynomials田川 裕之 ∗TAGAWA Hiroyuki(和歌山大学教育学部)　ナラヤナ多項式は, カタラン数の拡張となる多項式である. 本稿では,ナラヤナ多項式の拡張となる多項式の合成積の証明を目的とする. 一般に, 母関数のべき乗における係数として合成積は定義されるため, 合成積の分析には母関数の利用が有効ではあるが, 本稿では, 二重和の等式, 超幾何級数の等式等の計算を主体とした手法を用いる.1 序以下, C を複素数全体の集合, Z を整数全体の集合とする. まず, a ∈ C, n ∈ Z に対して(a)n =∏n−1i=0 (a+ i) if n > 0,1 if n = 0,1∏−n−1i=0 (a+n+i)if n < 0とおき, r ≥ 2, a1, a2, . . . , ar, b1, b2, . . . , br−1 ∈ C に対してrFr−1(a1, a2, . . . , arb1, b2, . . . , br−1; z)=∑k≥0zk∏ri=1(ai)kk!∏r−1i=1 (bi)kと定義する. (a)n はポッホハマー記号, rFr−1(a1, a2, . . . , arb1, b2, . . . , br−1; z)は超幾何級数と呼ばれている. 特に,(a)−1 =1a−1 であり, m,n ∈ Z に対して, (a)n(a + n)m = (a)m+n が成り立っている. また, a ∈ C, n ∈ Z(n ≥ 0) に対して (an)=(−1)n(−a)nn!とおく. なお, (a0)= 1 であり, m,n ∈ Z, m,n ≥ 0 の場合には(mn)=m!n!(m−n)! if n ≤ m,0 if n > mとなるので, (mn) は二項係数そのものである.0 ≤ k < n ≤ 0 に対してNn,k =1k + 1(nk)(n− 1k)とおき, さらに, n ≥ 0 に対してN0(z) = 1, Nn(z) =n−1∑k=0Nn,kzk (n ≥ 1)∗本研究の一部は, JSPS 科研費 JP16K05060 の助成を受けたものです.− 135−拡張されたナラヤナ多項式の合成積について2020 年 10 月 16 日受理和歌山大学教育学部紀要　自然科学　第71集　（2021）− 136−と定義する. Nn,k はナラヤナ数 (Narayana number), Nn(z) はナラヤナ多項式 (Narayana polynomial) と呼ばれている. 例えばN0(z) = N1(z) = 1, N2(z) = 1 + z, N3(z) = 1 + 3z + z2, N4(z) = 1 + 6z + 6z2 + z3であり, 超幾何級数を利用すると, Nn(z) は次のように表せる1.Nn(z) = 2F1(−n+ 1,−n2; z).ナラヤナ数 Nn,k は, 1, 2, . . . , n についての降下点が k 個の 231-回避順列の個数であり, (0, 0) から (n, n) への谷の個数が k 個のディック経路の個数とも一致することが知られている（詳細については, 例えば [1] 参照). また, ディック経路の総数はカタラン数であるので, Nn(1) はカタラン数 Cn = 1n+1(2nn) である. したがって, Cn を超幾何級数で表すとCn = 2F1(−n+ 1,−n2; 1)(1)であり, この等式は, Chu-Vandermonde identity2F1(−n, ab; 1)=(b− a)n(b)nからも容易に得られる. そこで, [2] で導入した n, s ≥ 0, m ≥ 1 に対して定義される拡張されたカタラン数Cn(m, s), i.e.Cn(m, s) =(s+ 1)(m+1)nn!(s+ 2)mnを Chu-Vandermonde identity を利用して, (1) の拡張となるように超幾何級数で表すことを試みるとCn(m, s) =(n+ ss)2F1(−n+ 1,−mns+ 2; 1)(2)と記述できることが容易にわかる. 特に, Cn(1, 0) = Cn である.さて, r ≥ 1, n ≥ 0, 数列 {an} に対して∑i1+i2+···+ir=ni1,i2,...,ir≥0r∏k=1aikは {an} の (r 次の)合成積 (convolution) と呼ばれている. 言い換えると, F (x) =∑i≥0 akxk としたとき,F (x)r の xn の係数が合成積である. Narayana polynomial の合成積については, [3] に∑i1+i2+···+ir=ni1,i2,...,ir≥0r∏k=1Nik(z) =n∑k=0rn+ r(n− 1k)(n+ rk + r)zk (3)と記載されており, 右辺を超幾何級数で表すと (n+r−1n)2F1(−n+ 1,−nr + 1; z)である. また, Cn(m, s) の合成積は, [2] において∑i1+i2+···+ir=ni1,i2,...,ir≥0r∏k=1Cik(m, s) =(r(s+ 1))(m+1)nn!(r(s+ 1) + 1)mn(4)となることが証明されている.本稿では, Nn(z), Cn(m, s) の拡張となる多項式 Nn,m(s; z) をNn,m(s; z) =(n+ ss)2F1(−n+ 1,−mns+ 2; z)と定義し, Nn,m(s; z) の合成積を表す等式であり, (3), (4) の拡張となる次の等式の証明を目的とする.12F1(1, 02; z)= 1 に注意拡張されたナラヤナ多項式の合成積について− 137−Proposition 1.1. r,m ≥ 1, n, s ≥ 0 に対して∑i1+i2+···+ir=ni1,i2,...,ir≥0r∏k=1Nik,m(s; z) =(n+ r(s+ 1)− 1n)2F1(−n+ 1,−mnr(s+ 1) + 1; z). (5)なお, 合成積の証明には母関数の利用が一般的であると思われるが, 本稿では, 超幾何級数の等式, 和の等式等を利用した証明を行う. そのため, 計算はかなり複雑になるが, 証明の鍵となる次節で紹介する二重和の等式については, 今後の拡張, 一般化等が期待できる.以降, 次節において, 鍵となる二重和の等式及び関連した等式の証明を行い, 最終節で Proposition 1.1 を証明する.2 鍵となる等式本節では, Proposition 1.1 の証明の鍵となる次の等式の証明を行う.Proposition 2.1. m,n ≥ 0, r ≥ 1, a, b ∈ C に対してm∑i=0n∑j=0(−m)i(−n)j(b+m)j(a)i+j(ra+ 1)ri+rj(rb+ n)ri+(r−1)ji!j!(a+ 1)j(b+ 1)i+j(rb)ri+rj(ra+ 1)ri+(r−1)j=(b− a+m+ n)(b− a+ 1)m−1(r(b− a))n(b+m+ n)(b+ 1)m−1(rb)n. (6)以下, m,n ≥ 0, r ≥ 1, a, b, c, d, e, f, g, h ∈ C に対してPm,n(a, b, c, d, e, f, g, h, r; z) =m∑i=0n∑j=0(−m)i(−n)j(a)j(b)i+j(c)ri+(r−1)j(d)ri+rjzi+ji!j!(e)j(f)i+j(g)ri+(r−1)j(h)ri+rjとおく. 特に, (6) の左辺は Pm,n(b+m, a, rb+ n, ra+ 1, a+ 1, b+ 1, ra+ 1, rb, r; 1) である. (6) を m+ nの帰納法で証明するための鍵となる Pm,n(a, b, c, d, e, f, g, h, r; z) の関係式は次である.Lemma 2.2. m,n, r ≥ 1, a, b, c, d, e, f, g, h ∈ C に対してPm,n(a, b, c, d, e, f, g, h, r; z)= Pm−1,n(a− 1, b, c, d, e, f, g, h, r; z)− bz(e+ n)(c)r(d)ref(g)r(h)rPm−1,n(a, b+ 1, c+ r, d+ r, e+ 1, f + 1, g + r, h+ r, r; z)+bnz(c− g)(c)r−1(d)ref(g)r(h)rPm−1,n−1(a, b+ 1, c+ r − 1, d+ r, e+ 1, f + 1, g + r, h+ r, r; z). (7)Proof. まず, (7) の両辺の定数項については, Pm,n(a, b, c, d, e, f, g, h, r; z) の定数項が 1 であるため一致していることが容易にわかる. したがって, (7) を示すためには, 両辺の zk (1 ≤ k ≤ m+ n) の係数の一致を示せばよい. そこで, m,n ≥ 0, r ≥ 1, 0 ≤ k ≤ m+ n に対してP (k)m,n(a, b, c, d, e, f, g, h, r;x)=(a)k(b)k(c)(r−1)k(d)rkk!(e)k(f)k(g)(r−1)k(h)rkk∑i=0(−1)i(−k)i(−m)i(−n)k−i(c+ (r − 1)k)i(−e− k + 1)ixii!(−a− k + 1)i(g + (r − 1)k)iとおく. このとき, 直接の計算により, P (k)m,n(a, b, c, d, e, f, g, h, r; 1) は, Pm,n(a, b, c, d, e, f, g, h, r; z) の zk の和歌山大学教育学部紀要　自然科学　第71集　（2021）− 138−係数であることが容易にわかる. また, m,n, r ≥ 1, 1 ≤ k ≤ m+ n に対してP (k)m,n(a, b, c, d, e, f, g, h, r;x)= P(k)m−1,n(a− 1, b, c, d, e, f, g, h, r;x)− bx(e+ n)(c)r(d)ref(g)r(h)rP(k−1)m−1,n(a, b+ 1, c+ r, d+ r, e+ 1, f + 1, g + r, h+ r, r;x)+bnx(c− g)(c)r−1(d)ref(g)r(h)rP(k−1)m−1,n−1(a, b+ 1, c+ r − 1, d+ r, e+ 1, f + 1, g + r, h+ r, r;x)+bn(x− 1)(c)r−1(d)ref(g)r−1(h)rP(k−1)m−1,n−1(a, b+ 1, c+ r − 1, d+ r, e+ 1, f + 1, g + r − 1, h+ r, r;x) (8)も成立している. 実際, (8) の両辺の xi (0 ≤ i ≤ k) の係数の一致については, 直接の計算及びm(a− i+ k − 1)(c+ i+ (r − 1)k − 1)(e− i+ k) + (a− 1)(c+ i+ (r − 1)k − 1)(e− i+ k)(i−m)− i(a− i+ k − 1)(c+ i+ (r − 1)k − 1)(e+ n) + i(a− i+ k − 1)(c− g)(i− k + n)+ i(a− i+ k − 1)(g + (r − 1)k + i− 1)(i− k + n)− (c+ i+ (r − 1)k − 1)(e+ k − i)(i− k)(i−m) = 0を利用することにより示せる. したがって, (8) において, x = 1 とした等式と P (k)m,n(a, b, c, d, e, f, g, h, r; 1)は, Pm,n(a, b, c, d, e, f, g, h, r; z) の zk の係数であることから, (7) の両辺の zk (1 ≤ k ≤ m+ n) の係数も一致することが分かる. 以上により, (7) は成立する.Proof of Proposition 2.1. (6)の左辺を Am,n(a, b, r)とおくと, Am,n(a, b, r) = Pm,n(b+m, a, rb+n, ra+1, a+ 1, b+ 1, ra+ 1, rb, r; 1) であるので, (7) から m,n ≥ 1 に対して, 次の関係式が成立している.Am,n(a, b, r) = Am−1,n(a, b, r)−ar(a+ n+ 1)(rb+ n)r(a+ 1)(rb)r+1Am−1,n(a+ 1, b+ 1, r)+anr(r(b− a) + n− 1)(rb+ n)r−1(a+ 1)(rb)r+1Am−1,n−1(a+ 1, b+ 1, r). (9)(9) を利用して, m+ n に関する帰納法で, (6) を証明する. m = 0 のとき, (6) はn∑j=0(−n)j(ra)rj(rb+ n)(r−1)jj!(rb+ 1)rj(ra+ 1)(r−1)j=(b− a+ n)(r(b− a) + 1)n−1(b+ n)(rb+ 1)n−1(10)であり, この等式は, すでに [2] の Lemma 2.3 で証明した等式n∑k=0(−n)k(a)(m+1)k(b)mkk!(a+ 1)mk(b− n+ 1)(m+1)k=(b− a+mn)(a− b+ 1)n−1(b+mn)(−b+ 1)n−1(11)において, (a, b,m) を (ra, rb+n, r− 1) と置き換えて整理した等式であるので成立している. また, n = 0 のときには, (6) はm∑i=0(−m)i(a)ii!(b+ 1)i=(b− a+ 1)m(b+ 1)m(12)であり, この等式は, Chu-Vandermonde identity そのものであるため成立している. m+ n − 1 まで成立したと仮定する (m+ n ≥ 2). このとき, (9) と帰納法の仮定, 及び(a+ 1)(b− a+m+ n− 1)(b+m− 1)(b+m+ n)− a(a+ n+ 1)(b− a+m+ n− 1)(b+m+ n− 1)+ an(b− a+m+ n− 2)(b+m+ n) = (a+ 1)(b− a+m− 1)(b− a+m+ n)(b+m+ n− 1)を利用して, 直接計算することで, (6) が得られる.(7) を利用すると次も成立する.Corollary 2.3. m,n ≥ 0, r ≥ 1, a, b, c ∈ C に対してm∑i=0n∑j=0(−m)i(−n)j(b+m)j(a)i+j(rb+ n)ri+(r−1)j(c)ri+rji!j!(a)j(b+ 1)i+j(rb)ri+rj(c)ri+(r−1)j=(b− a+ 1)m(rb− c+ 1)n(b+m+ n)(b+ 1)m−1(rb)n. (13)拡張されたナラヤナ多項式の合成積について− 139−Proof. (13) の左辺を Bm,n(a, b, c, r) とおくと, Bm,n(a, b, c, r) = Pm,n(b+m, a, rb+n, c, a, b+1, c, rb, r; 1)であるので, (7) から m,n ≥ 1 に対して, 次の関係式が成立している.Bm,n(a, b, c, r) = Bm−1,n(a, b, c, r)−r(a+ n)(rb+ n)r(rb)r+1Bm−1,n(a+ 1, b+ 1, c+ r, r)+nr(rb− c+ n)(rb+ n)r−1(rb)r+1Bm−1,n−1(a+ 1, b+ 1, c+ r, r). (14)(14) を利用して, m+ n に関する帰納法で, (13) を証明する. m = 0 のとき, (13) はn∑j=0(−n)j(rb+ n)(r−1)j(c)rjj!(rb+ 1)rj(c)(r−1)j=b(rb− c+ 1)n(b+ n)(rb)n(15)であり, この等式は, [4] に掲載された等式n∑k=0(−n)k(a)(m+1)k(b)mkk!(a)mk(b− n+ 1)(m+1)k= − (a− b)n(b+mn)(−b+ 1)n−1(16)において, (a, b,m) を (c, rb+n, r− 1) と置き換えて整理した等式であるので, 成立している. また, n = 0 のときには, (13) はm∑i=0(−m)i(a)ii!(b+ 1)i=(b− a+ 1)m(b+ 1)m(17)であり, この等式も Chu-Vandermonde identity そのものであるため成立している. m+ n− 1 まで成立したと仮定する (m+ n ≥ 2). このとき, (14) と帰納法の仮定, 及び(b+m− 1)(b+m+ n)− (a+ n)(b+m+ n− 1) + n(b+m+ n) = (b+m+ n− 1)(b− a+m)を利用して, 直接計算することで, (13) が得られる.特に, (6), (13) において, r = 1 とすると次が得られる.Corollary 2.4. m,n ≥ 0, a, b ∈ C に対して, 次が成立する.m∑i=0n∑j=0(−m)i(−n)j(b+ n)i(b+m)j(a)i+j(a+ 1)i+ji!j!(a+ 1)i(a+ 1)j(b)i+j(b+ 1)i+j=(b− a+m+ n)(b− a+ 1)m−1(b− a)n(b+m+ n)(b+ 1)m−1(b)n. (18)m∑i=0n∑j=0(−m)i(−n)j(b+ n)i(b+m)j(a)i+j(c)i+ji!j!(a)j(c)i(b)i+j(b+ 1)i+j=(b− a+ 1)m(b− c+ 1)n(b+m+ n)(b+ 1)m−1(b)n. (19)なお, (18), (19) を超幾何級数を利用して書き直すとm∑i=0(−m)i(a)i(b+ n)ii!(b)i(b+ 1)i4F3(−n, a+ i, a+ i+ 1, b+ma+ 1, b+ i, b+ i+ 1; 1)=(b− a+m+ n)(b− a+ 1)m−1(b− a)n(b+m+ n)(b+ 1)m−1(b)n,(20)m∑i=0(−m)i(a)i(b+ n)ii!(b)i(b+ 1)i4F3(−n, a+ i, b+m, c+ ia, b+ i, b+ i+ 1; 1)=(b− a+ 1)m(b− c+ 1)n(b+m+ n)(b+ 1)m−1(b)n. (21)3 Proposition 1.1 の証明特に, s = 0 の場合の Nm,n(0; z) を Nm,n(z), i.e.Nm,n(z) = 2F1(−n+ 1,−mn2; z),で表すことにする. (5) を示すためには, 次が有効である.和歌山大学教育学部紀要　自然科学　第71集　（2021）− 140−Lemma 3.1. m, r ≥ 1 とする.(i) n ≥ 1 に対して∑i1+i2+···+ir=ni1,i2,...,ir≥1r∏k=1Nik,m(z) =(n− 1r − 1)2F1(−n+ r,−mnr + 1; z). (22)(ii) n ≥ 0 に対して∑i1+i2+···+ir=ni1,i2,...,ir≥0r∏k=1Nik,m(z) =(n+ r − 1r − 1)2F1(−n+ 1,−mnr + 1; z). (23)Proof. (i) n < r のときには, 両辺ともに 0 となり成立しているので, 以下, n ≥ r とする. まず, (22) の右辺を H(r)n,m(z), i.e.H(r)n,m(z) =(n− 1r − 1)2F1(−n+ r,−mnr + 1; z),とおき, 2 ≤ r ≤ n, m ≥ 1, 1 ≤ a ≤ r − 1 に対してn−1∑s=1H(a)s,m(z)H(r−a)n−s,m(z) = H(r)n,m(z) (24)を証明する. そのためには, 0 ≤ k ≤ n− r に対して, (24) の両辺の zk の係数が一致することを示せばよい.以下, (24) の左辺の zk の係数を L(k) とおく. まず, H(r)n,m(z) の定義からL(k) =n−1∑s=1k∑j=0(s− 1a− 1)(n− s− 1−a+ r − 1)(a− s)j(−ms)j(−a− n+ r + s)k−j(m(s− n))k−jj!(k − j)!(a+ 1)j(−a+ r + 1)k−j(25)である. ここで, (a− s)j(−a− n+ r+ s)k−j が分子にかかっていることから, s を 0 ≤ s− a− j ≤ n− r− kを満たす範囲に制限してもよいことに注意して, s を a+ i+ j と置き換えて, (25) の右辺を整理するとL(k) =(r − a)(r − a+ k + 1)−k+n−r−1(r − n)k(m(a− n))kk!(n− r)!×n−k−r∑i=0k∑j=0(k − n+ r)i(−k)j(a− k − r)j(a)i+j(ma+ 1)m(i+j)(m(a− n) + k)mi+(m−1)ji!j!(a+ 1)j(a− n+ 1)i+j(ma+ 1)mi+(m−1)j(m(a− n))mi+mj(26)と書き換えることができる. (6) において, (b,m, n, r) を (a− n, n− k − r, k,m) と置き換えた等式を利用して, (26) を書き直すとL(k) =(r − a)(r − a+ k + 1)−k+n−r−1(r − n)k(m(a− n))kk!(n− r)!× r(−n+ 1)−k+n−r−1(−mn)k(r − a)(a− n+ 1)−k+n−r−1(m(a− n))k=(n− 1r − 1)(−n+ r)k(−mn)kk!(r + 1)k= (24) の右辺の zk の係数となるので, (24) が成立する. 次に, (24) を利用して, r に関する帰納法で (22) を証明する. r = 1 のときには, (22) の両辺ともに Nn,m(z) となり成立している. r − 1 まで成立したと仮定する (r ≥ 2). このとき, 帰納法の仮定と (24) を利用すると(22) の左辺 =∑i1+i2+···+ir=ni1,i2,...,ir≥1r∏k=1Nik,m(z) =n−1∑i1=1Ni1,m(z)∑i2+···+ir=n−i1i2,...,ir≥1r∏k=2Nik,m(z)=n−1∑i1=1H(1)i1,m(z)H(r−1)n−i1,m(z) = H(r)n,m(z) = (22) の右辺拡張されたナラヤナ多項式の合成積について− 141−となり成立する. (ii) n = 0 のときには, (23) の両辺ともに 1 となり成立しているので, 以下, n ≥ 1 とする.(23) の左辺を (22) を利用して書き直すと(23) の左辺 =∑i1+i2+···+ir=ni1,i2,...,ir≥0r∏k=1Nik,m(z) =r−1∑i=0(ri) ∑i1+i2+···+ir−i=ni1,i2,...,ir−i≥1r−i∏k=1Nik,m(z)=r−1∑i=0(ri)(n− 1r − i− 1)2F1(−n+ r − i,−mnr − i+ 1; z)=∑k≥0r(−n+ 1)k(−mn)kzkk!(k + 1)!r−1∑i=0(−r + 1)r−1−i(−n+ k + 1)r−1−i(r − 1− i)!(k + 2)r−1−iChu-Vandermonde identity を利用して, 整理すると=(n+ r − 1r − 1)2F1(−n+ 1,−mnr + 1; z)= (23) の右辺となり成立する.以上の準備の下で Proposition 1.1 の証明を行う.Proof of Proposition 1.1.(23) において, r を s+ 1 と置き換えると∑i1+i2+···+is+1=ni1,i2,...,is+1≥0s+1∏k=1Nik,m(z) =(n+ ss)2F1(−n+ 1,−mns+ 2; z)= Nn,m(s; z)と記述できるので(5) の左辺 =∑i1+i2+···+ir=ni1,i2,...,ir≥0r∏k=1Nik,m(s; z) =∑i1+i2+···+ir=ni1,i2,...,ir≥0r∏k=1( ∑j(k)1 +j(k)2 +···+j(k)s+1=ikj(k)1 ,j(k)2 ,...,j(k)s+1≥0s+1∏u=1Nj(k)u ,m(z))=∑j1+j2+···+jr(s+1)=nj1,j2,...,jr(s+1)≥0r(s+1)∏k=1Njk,m(z)再度, (23) から=(n+ r(s+ 1)− 1n)2F1(−n+ 1,−mnr(s+ 1) + 1; z)= (5) の右辺が成り立つ. したがって, 本稿の目的である (5) の成立が証明された.参考文献[1] 石川雅雄, “二項係数の代数的側面”, 数学セミナー 2020年 7月号, 18-24.[2] 田川裕之, “拡張されたカタラン数の合成積について”, 和歌山大学教育学部紀要-自然科学-, 第 70 集(2020), 11-15.[3] https://math.stackexchange.com/questions/1997791/convolution-of-narayana-polynomials[4] http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/HypergeometricPFQ/03/01/05/0018/

On convolutions of extended Narayana polynomials

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