The approxımatıon propertıes of q − generalızatıons of some lınear posıtıve operator sequences

Abstract

Korovkin tipli yaklaşım teoremleri yaklaşımlar teorisinde önemli bir yere sahiptir. İstatistiksel yakınsaklık kavramı yardımıyla Korovkin tipli yaklaşım teoremleri geliştirilmiştir [Gadjiev ve Orhan, 2002; Duman ve ark. 2003]. Bu teoremler kullanılarak birçok lineer pozitif operatörün q − genelleşmelerinin veya integral tipli genelleşmelerinin yaklaşım özellikleri araştırılabilmiştir. Bu tezde ise, Aral ve Gupta (2006) tarafından tanımlanan q − Szasz-Mirakjan operatörlerinin Kantorovich tipli genelleşmesi verilmiş ve istatistiksel yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Yaklaşım teorisinde operatörlerin düzgün yakınsaklığının araştırılması kadar bu yakınsamanın hızının değerlendirilmesi de oldukça önemli bir konudur. Bu tezde, ilk olarak oluşturulan operatörler dizisi için Voronovskaja tipli teorem bu yüzden verilmiştir. Daha sonra süreklilik modülü yardımıyla istatistiksel yaklaşım hızı elde edebilmek için q − Szasz-Mirakjan operatörlerinin yeni bir Kantorovich tipli genelleşmesi oluşturulmuştur. Ayrıca pozitif bir operatör olan Riemann tipli q − integral yardımıyla q − Szasz-Mirakjan-Kantorovich operatörleri geliştirilip ağırlıklı süreklilik modülü yardımıyla yaklaşım oranı elde edilmiştir. Bunun yanında Riemann tipli q − integral yardımıyla oluşturulan operatörlerin iki değişkenli genelleşmesinin istatistiksel yaklaşım özellikleri de verilmiştir. Yukarıda sözü edilen operatörlerin q = 1 olması durumunda klasik operatörlerin integral tipli genelleşmelerine dönüşmesi ve q yerine ( ) n q dizisi alınarak bu dizinin seçimine göre yaklaşım hızının uygun şekilde ayarlanabilir olması tezin önemini artırmaktadır.Korovkin type approximation theorems have fundamental role in the approximation theory. By the aid of the concept of statistical approximation, Korovkin type theorems are developed [Gadjiev and Orhan, 2002; Duman et all, 2003]. Using these theorems, the approximation properties of the q − generalizations and integral-type generalizations of many linear positive operators can be investigated. In this thesis, Kantorovich-type generalization of q − Szasz-Mirakjan operators defined by Aral and Gupta (2006) is given and statistical approximation properties of this generalization are investigated. In the approximation theory, evaluation of approximation rate is as important subject as an investigation of uniform convergence of operators. Hence, Voronovskaja type theorem is given for constructed operators' sequence in this thesis. Then, a new Kantorovich type generalization of the q − Szasz-Mirakjan operators is defined to obtain statistical approximation rate by means of modulus of continuity. Furthermore, q − Szasz-Mirakjan-Kantorovich operators are developed with the aid of Riemann type q − integral and the approximation rate is obtained by the weighted modulus of continuity. Also, statistical approximation properties of two variable generalizations of operators constructed by the Riemann type q − integral are given. In the case of q = 1 , since our operators are reduced to the integral type generalization of the classical operators, and since the approximation rate can properly be calibrated by a proper choose of ( ) n q instead of q , increase the importance of this thesis